System dziesiątkowy, duże liczby, złote i grosze - Matematyka z plusem 4

1.Jak dawniej zapisywano liczby?

Ludzie pierwotni robili nacięcia na kościach. Majowie używali kropek i poziomych kresek: kropka oznaczała 1, kreska - 5, a znak muszli - 0. Na przykład dwie kreski i trzy kropki to $5 + 5 + 3 = 13$. Egipcjanie mieli osobne znaki m.in. dla 1 (pionowa kreska), 10 (łuk), 100 (zwinięta lina) i 1000 (kwiat lotosu) i dodawali ich wartości. W Europie jeszcze 500 lat temu powszechnie używano systemu rzymskiego.

2.Liczby naturalne i system dziesiątkowy

Liczby naturalne to 0, 1, 2, 3, 4 i tak dalej. Zapisujemy je za pomocą dziesięciu cyfr: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Ten sposób zapisywania liczb to system dziesiątkowy. Wymyślono go w Indiach ponad 1500 lat temu i używamy go do dziś.

3.Wartość cyfry zależy od jej miejsca w liczbie

W systemie dziesiątkowym ta sama cyfra znaczy co innego na różnych miejscach. W liczbie 444 pierwsza czwórka oznacza 4 setki, czyli 400, druga - 4 dziesiątki, czyli 40, a ostatnia - 4 jedności. Dlatego 307 i 370 to różne liczby, choć mają te same cyfry.

4.Z ilu setek, dziesiątek i jedności składa się liczba?

W liczbie trzycyfrowej kolejne cyfry mówią, z ilu setek, z ilu dziesiątek i z ilu jedności składa się liczba. Na przykład $629 = 6 \cdot 100 + 2 \cdot 10 + 9$: 6 to cyfra setek, 2 - cyfra dziesiątek, a 9 - cyfra jedności. W liczbie dwucyfrowej są tylko dziesiątki i jedności: $58 = 5 \cdot 10 + 8$.

5.Zero w zapisie liczby

W liczbie czterocyfrowej kolejne cyfry mówią, z ilu tysięcy, setek, dziesiątek i jedności składa się liczba. Zero pokazuje, że czegoś brakuje, ale zajmuje swoje miejsce. Na przykład $4072 = 4 \cdot 1000 + 0 \cdot 100 + 7 \cdot 10 + 2$, czyli liczba 4072 nie ma setek. Bez zera wyszłoby 472 - zupełnie inna liczba.

6.Nazwy cyfr w liczbie wielocyfrowej

Cyfry nazywamy od prawej strony: cyfra jedności, cyfra dziesiątek, cyfra setek, cyfra tysięcy, cyfra dziesiątek tysięcy, cyfra setek tysięcy, cyfra milionów i tak dalej. Na przykład w liczbie 38 516 cyfra 3 to cyfra dziesiątek tysięcy, 8 - cyfra tysięcy, 5 - cyfra setek, 1 - cyfra dziesiątek, a 6 - cyfra jedności.

7.Najmniejsza i największa liczba o danej liczbie cyfr

Liczby jednocyfrowe to liczby od 0 do 9, dwucyfrowe - od 10 do 99, trzycyfrowe - od 100 do 999, a czterocyfrowe - od 1000 do 9999. Największa liczba o danej liczbie cyfr składa się z samych dziewiątek. Najmniejsza to jedynka z samymi zerami - oprócz liczb jednocyfrowych, wśród których najmniejsze jest 0. Na przykład najmniejsza liczba sześciocyfrowa to 100 000, a największa - 999 999.

8.Tysiąc, milion, miliard

Liczby 10, 100, 1000, 10 000, 100 000 i 1 000 000 to kolejno: dziesięć, sto, tysiąc, dziesięć tysięcy, sto tysięcy i milion. Każda następna jest 10 razy większa od poprzedniej i ma o jedno zero więcej. Tysiąc ma 3 zera, milion - 6 zer (to tysiąc tysięcy), a miliard - 9 zer (to tysiąc milionów): 1 000 000 000.

9.Jak przeczytać dużą liczbę?

Cyfry dzielimy od prawej strony na grupy po trzy: grupa jedności, grupa tysięcy, grupa milionów, grupa miliardów. Potem czytamy od lewej: każdą grupę jak liczbę co najwyżej trzycyfrową i dodajemy nazwę grupy. Na przykład 7 205 340 czytamy: siedem milionów dwieście pięć tysięcy trzysta czterdzieści.

10.Jak czytamy grupy z zerami?

Grupy z samych zer w ogóle nie czytamy, a zer na początku grupy nie wymawiamy. Na przykład 5 000 016 czytamy: pięć milionów szesnaście, a 12 008 500 - dwanaście milionów osiem tysięcy pięćset.

11.Jak zapisać cyframi liczbę podaną słowami?

Zapisujemy po kolei grupy: miliardy, miliony, tysiące i jedności. Każda grupa oprócz pierwszej z lewej musi mieć dokładnie trzy cyfry, więc brakujące miejsca uzupełniamy zerami z przodu. Gdy jakiejś grupy nie ma w nazwie, piszemy 000. Na przykład „trzy miliony czterdzieści tysięcy sześć” to 3 040 006.

12.Tysiąc, tysiące czy tysięcy?

Jeden tysiąc to po prostu tysiąc - tak samo milion i miliard. Po 2, 3 i 4 mówimy: tysiące, miliony, miliardy, np. trzy miliony. Po 5 i więcej - tysięcy, milionów, miliardów, np. pięć tysięcy, dwanaście milionów. Gdy liczba kończy się na 2, 3 albo 4 (ale nie na 12, 13 ani 14), też mówimy „tysiące”: dwadzieścia trzy tysiące, ale czternaście tysięcy.

13.Skróty tys., mln i mld

Duże liczby można zapisywać krócej: tys. oznacza tysiące, mln - miliony, a mld - miliardy. Po skrócie tys. stawiamy kropkę, a po mln i mld - nie. Zamieniając skrót na cyfry, dopisujemy zera: przy tys. trzy, przy mln sześć, a przy mld dziewięć. Na przykład $40\text{ tys.} = 40\,000$, $7\text{ mln} = 7\,000\,000$, a $1250\text{ tys.} = 1\,250\,000$.

14.Odczytywanie liczb na osi liczbowej

Najpierw ustalamy, ile wynosi jeden odstęp między kreskami: różnicę dwóch podpisanych liczb dzielimy przez liczbę odstępów między nimi. Na przykład od 4000 do 5000 jest 5 odstępów, więc jeden odstęp to $1000 : 5 = 200$. Punkt A leży 2 odstępy za liczbą 4000, więc jego współrzędna to $4000 + 2 \cdot 200 = 4400$.

15.Bilion, biliard, trylion

To nazwy liczb większych od miliarda. Bilion to jedynka i 12 zer (tysiąc miliardów), biliard - jedynka i 15 zer, a trylion - jedynka i 18 zer. Każda kolejna nazwa oznacza liczbę 1000 razy większą, czyli z trzema zerami więcej.

16.Liczby palindromiczne

To liczby, które czytane od końca dają tę samą liczbę: gdy zapiszemy ich cyfry w odwrotnej kolejności, nic się nie zmienia. Na przykład 66, 474, 8338 i 50 105 to liczby palindromiczne, a 456 - nie, bo od końca daje 654.

17.Znaki nierówności

Gdy porównujemy liczby, używamy znaków $<$ i $>$. Zapis $36 < 41$ czytamy: liczba 36 jest mniejsza od liczby 41, a zapis $905 > 859$ - liczba 905 jest większa od liczby 859. Znak jest zawsze otwarty w stronę większej liczby.

18.Jak porównać dwie liczby naturalne?

Najpierw liczymy cyfry: większa jest ta liczba, która ma więcej cyfr, np. $10\,001 > 9998$. Gdy liczby mają tyle samo cyfr, porównujemy odpowiednie cyfry od lewej strony. Rozstrzyga pierwsza para różnych cyfr: w liczbach 58 316 i 58 361 różnią się dopiero cyfry dziesiątek, a $1 < 6$, więc $58\,316 < 58\,361$.

19.Porządkowanie liczb od najmniejszej do największej

Najpierw grupujemy liczby według liczby cyfr: na początku stawiamy te, które mają najmniej cyfr. Potem w każdej grupie porównujemy cyfry od lewej. Na przykład liczby 4103, 987, 12 000 i 4013 ustawiamy tak: 987, 4013, 4103, 12 000. Od największej do najmniejszej - w odwrotnej kolejności.

20.Największa i najmniejsza liczba z podanych cyfr

Największą liczbę otrzymamy, ustawiając cyfry od największej do najmniejszej. Najmniejszą - ustawiając je od najmniejszej do największej, ale zero nie może stać na początku. Na przykład z cyfr 0, 3, 7, 1 (każda raz) największa liczba to 7310, a najmniejsza to 1037.

21.Porównywanie sum bez obliczania

Gdy dwie sumy mają jeden taki sam składnik, większa jest ta suma, w której drugi składnik jest większy. Na przykład $418 + 263 > 418 + 236$, bo $263 > 236$. Kolejność składników nie zmienia sumy, więc $517 + 90 = 90 + 517$.

22.Porównywanie różnic bez obliczania

Gdy od tej samej liczby odejmujemy różne liczby, większa różnica wychodzi przy mniejszym odjemniku. Na przykład $735 - 48 > 735 - 84$, bo odejmujemy mniej. Gdy odjemnik jest ten sam, większa jest różnica z większą odjemną: $640 - 75 < 690 - 75$.

23.Dodawanie i odejmowanie pełnych tysięcy

Liczby z trzema zerami na końcu traktujemy jak tysiące i liczymy w pamięci jak małe liczby. Na przykład $46\,000 + 9000$ to $46\text{ tys.} + 9\text{ tys.} = 55\text{ tys.}$, czyli 55 000. Tak samo $63\,000 - 28\,000$ to $63\text{ tys.} - 28\text{ tys.} = 35\text{ tys.}$, czyli 35 000.

24.Przekraczanie pełnego tysiąca

Gdy wynik przekracza pełny tysiąc, drugą liczbę rozkładamy na dwie części: najpierw dopełniamy do pełnego tysiąca, potem dodajemy resztę. Na przykład $4700 + 600 = 4700 + 300 + 300 = 5000 + 300 = 5300$. Przy odejmowaniu tak samo: $8200 - 500 = 8200 - 200 - 300 = 8000 - 300 = 7700$.

25.Ile brakuje do 10 000?

Liczymy w dwóch krokach: najpierw dopełniamy do pełnego tysiąca, potem do 10 000, a na końcu dodajemy oba kroki. Na przykład dla 7400: $7400 + 600 = 8000$ i $8000 + 2000 = 10\,000$, więc brakuje $600 + 2000 = 2600$. Sprawdzenie: $7400 + 2600 = 10\,000$.

26.Mnożenie dużych liczb z zerami na końcu

Mnożymy liczby bez końcowych zer, a do wyniku dopisujemy tyle zer, ile razem mają oba czynniki. Na przykład przy $400 \cdot 7000$ liczymy $4 \cdot 7 = 28$, a zer jest $2 + 3 = 5$, więc iloczyn to 2 800 000. Tak samo $3 \cdot 2400 = 7200$, bo $3 \cdot 24 = 72$. Uwaga: przy $5000 \cdot 80$ mamy $5 \cdot 8 = 40$ - zero z liczby 40 zostaje, więc wynik to 400 000.

27.Dzielenie liczb z zerami na końcu

W dzielnej i w dzielniku skreślamy tyle samo końcowych zer, a potem dzielimy to, co zostało - iloraz się nie zmienia. Na przykład przy $72\,000 : 900$ skreślamy po dwa zera i liczymy $720 : 9 = 80$. Tak samo $4\,800\,000 : 1000 = 4800$. Wynik sprawdzamy mnożeniem: $80 \cdot 900 = 72\,000$.

28.Liczba 10 razy większa i 100 razy mniejsza

Liczba 10 razy większa ma na końcu o jedno zero więcej, a liczba 100 razy mniejsza - o dwa zera mniej (gdy liczba kończy się co najmniej dwoma zerami). Na przykład liczba 10 razy większa od 30 mln to 300 mln, a liczba 100 razy mniejsza od 30 mln to 300 tys., bo $30\,000\,000 : 100 = 300\,000$.

29.Kwadrat i sześcian liczby z zerami

Kwadrat liczby to iloczyn dwóch takich samych czynników, a sześcian - trzech. Gdy liczba kończy się zerami, liczymy bez zer i dopisujemy zera wszystkich czynników. Na przykład $600^2 = 600 \cdot 600 = 360\,000$, bo $6 \cdot 6 = 36$ i dopisujemy 4 zera. A $200^3 = 200 \cdot 200 \cdot 200 = 8\,000\,000$, bo $2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$ i dopisujemy 6 zer.

30.Dzielenie z resztą przez 20 i 200

Sprawdzamy, ile razy dzielnik mieści się w dzielnej, a to, co zostaje, jest resztą. Na przykład przy $870 : 200$: $4 \cdot 200 = 800$, a $5 \cdot 200 = 1000$ to za dużo. Reszta to $870 - 800 = 70$, więc $870 : 200 = 4 \text{ r } 70$. Sprawdzenie: $4 \cdot 200 + 70 = 870$. Reszta musi być mniejsza od dzielnika. Przy dzieleniu z resztą nie skreślamy zer: z $87 : 20$ wyszłaby reszta 7 zamiast 70.

31.Denominacja złotego

Denominacja to wymiana pieniędzy, w której stare pieniądze zastępuje się nowymi. W Polsce przeprowadzono ją w 1995 roku: 1 nowy złoty odpowiadał 10 000 starych złotych. Aby zamienić stare złote na nowe, dzielimy przez 10 000, np. 50 000 starych złotych to 5 nowych złotych.

32.Jednostki monetarne - złote i grosze

Polskie jednostki monetarne to złote (zł) i grosze (gr): $1\text{ zł} = 100\text{ gr}$. Monety mają nominały 1 gr, 2 gr, 5 gr, 10 gr, 20 gr i 50 gr oraz 1 zł, 2 zł i 5 zł. Banknoty mają nominały 10 zł, 20 zł, 50 zł, 100 zł, 200 zł i 500 zł.

33.Zamiana złotych i groszy

Złote zamieniamy na grosze, mnożąc przez 100: 6 zł 45 gr to $600 + 45 = 645$ gr, a 23 zł 8 gr to 2308 gr (nie 238 gr). Grosze zamieniamy na złote, dzieląc przez 100: dwie ostatnie cyfry to grosze, a cyfry przed nimi - złote. Na przykład 4006 gr to 40 zł 6 gr, a 3500 gr to 35 zł.

34.Ile złotych jest w monetach?

Mnożymy liczbę monet przez nominał, a grosze zamieniamy na złote. 100 jednakowych monet groszowych to tyle złotych, ile groszy ma jedna moneta, np. 100 monet po 5 gr to 500 gr, czyli 5 zł. A 30 monet po 50 gr to $30 \cdot 50 = 1500$ gr, czyli 15 zł.

35.Porównywanie kwot

Kwoty porównujemy w tych samych jednostkach: wszystkie zamieniamy na grosze albo wszystkie na złote. Na przykład porównujemy 18 zł i 1900 gr: 18 zł to 1800 gr, a $1800 < 1900$, więc 18 zł to mniej niż 1900 gr.

36.Dodawanie kwot - trzy sposoby

Możemy dodać osobno złote i grosze, a 100 gr zamienić na 1 zł: $6\text{ zł }50\text{ gr} + 2\text{ zł }80\text{ gr} = 8\text{ zł }130\text{ gr} = 9\text{ zł }30\text{ gr}$. Możemy też dodać najpierw złote (8 zł 50 gr), a potem grosze (80 gr). Albo najpierw dopełnić do pełnego złotego: $6\text{ zł }50\text{ gr} + 50\text{ gr} = 7\text{ zł}$, a potem dodać to, co zostało, czyli 2 zł 30 gr. Za każdym razem wychodzi 9 zł 30 gr.

37.Odejmowanie kwot - trzy sposoby

Gdy w odjemnej jest za mało groszy, rozmieniamy 1 zł na 100 gr: $9\text{ zł }20\text{ gr} - 4\text{ zł }60\text{ gr} = 8\text{ zł }120\text{ gr} - 4\text{ zł }60\text{ gr} = 4\text{ zł }60\text{ gr}$. Możemy też odjąć najpierw złote (5 zł 20 gr), a potem grosze. Albo najpierw odjąć 20 gr, żeby dojść do pełnych złotych (9 zł), a potem resztę odjemnika, czyli 4 zł 40 gr.

38.Reszta przy płaceniu

Reszta to różnica między kwotą, którą dajemy, a ceną. Wygodnie liczyć ją przez dopełnianie: od ceny dochodzimy do pełnych złotych, a potem do danej kwoty. Na przykład płacimy 50 zł za zakupy za 32 zł 45 gr: $32\text{ zł }45\text{ gr} + 55\text{ gr} = 33\text{ zł}$ i $33\text{ zł} + 17\text{ zł} = 50\text{ zł}$, więc reszta to 17 zł 55 gr.

39.Cena kilku sztuk, pół i półtora kilograma

Cenę kilku sztuk obliczamy mnożeniem - osobno złote i osobno grosze: 3 zeszyty po 4 zł 30 gr kosztują 12 zł 90 gr, bo $3 \cdot 4 = 12$ i $3 \cdot 30 = 90$. Gdy groszy wyjdzie 100 albo więcej, każde 100 gr zamieniamy na 1 zł. Pół kilograma kosztuje połowę ceny 1 kg, a półtora kilograma - cenę 1 kg i jeszcze jej połowę. Gdy 1 kg kosztuje 4 zł 60 gr, pół kilograma kosztuje 2 zł 30 gr, a półtora kilograma - 6 zł 90 gr.

40.Ile sztuk kupimy za daną kwotę?

Kwotę i cenę zamieniamy na grosze i dzielimy z resztą. Iloraz to liczba sztuk, a reszta - pieniądze, które zostaną. Na przykład batoniki kosztują po 60 gr, a mamy 5 zł, czyli 500 gr: $500 : 60 = 8 \text{ r } 20$, więc kupimy 8 batoników i zostanie nam 20 gr.