Kolejność działań, oś liczbowa i zadania tekstowe - Matematyka z plusem 4

1.Zadanie, które rozwiązujemy bez liczenia

Czasem nie trzeba wykonywać żadnych działań. Wystarczy uważnie przeczytać tekst i przeanalizować informacje. Na przykład: Ola jest wyższa od Ani, a Ania jest wyższa od Zosi. Najwyższa jest Ola, choć nie znamy wzrostu żadnej z dziewczynek.

2.Kto jest młodszy, gdy znamy tylko różnice wieku?

Porównujemy, o ile lat każda osoba jest młodsza od tej samej osoby. Jeśli Tomek jest o 3 lata starszy od Kuby i o 5 lat starszy od Oli, to Ola jest młodsza od Kuby, bo dzieli ją od Tomka więcej lat. Wieku Tomka nie musimy znać.

3.Czy różnica wieku zmienia się z upływem lat?

Nie. Co roku każda osoba jest o rok starsza, więc różnica wieku zostaje taka sama. Jeśli mama jest o 28 lat starsza od córki, to za 10 lat też będzie od niej o 28 lat starsza.

4.Długość kroków a liczba kroków

Im dłuższe kroki, tym mniej ich potrzeba na tę samą odległość. Jeśli Kasia przeszła pokój w 9 krokach, a jej tata w 5 krokach, to tata stawiał dłuższe kroki.

5.Ile kompletów można ułożyć?

Tyle, ile jest rzeczy, których jest najmniej, bo każdy komplet potrzebuje jednej sztuki każdego rodzaju. Z 14 łyżek, 12 widelców i 15 noży ułożymy 12 kompletów. Zostaną 2 łyżki i 3 noże.

6.Jak zmienia się różnica, gdy ktoś odda drugiej osobie jedną rzecz?

Różnica zmienia się o 2, bo jednej osobie ubywa 1 rzecz, a drugiej 1 przybywa. Jeśli Ela i Ola miały po 10 naklejek, a Ela dała Oli 1 naklejkę, to Ela ma 9, a Ola 11. Teraz Ola ma o 2 naklejki więcej.

7.Jak porównać kilka rzeczy opisanych względem jednej?

Każdą rzecz porównujemy z tą jedną, wspólną. Jeśli czerwona wstążka jest o 10 cm dłuższa od niebieskiej, a zielona o 10 cm krótsza od niebieskiej, to najdłuższa jest czerwona, a najkrótsza zielona. Długości niebieskiej wstążki nie musimy znać.

8.Jak znaleźć w tekście potrzebne informacje?

Czytamy pytanie i szukamy w tekście zdań, które pozwalają na nie odpowiedzieć. Nie każda liczba w tekście jest potrzebna. Na przykład: „Ala ma 9 lat i kupiła 3 zeszyty po 4 zł. Ile zapłaciła?” Wiek Ali jest tu niepotrzebny: Ala zapłaciła $3 \cdot 4 = 12$ zł.

9.Kiedy na pytanie nie da się odpowiedzieć?

Gdy w tekście brakuje potrzebnej informacji. Wtedy nie zgadujemy, tylko mówimy, że nie da się odpowiedzieć. Na przykład z tekstu „W klasie jest 26 uczniów” nie dowiemy się, ilu jest wśród nich chłopców.

10.Numeracja, która nie zaczyna się od 1

Jeśli pierwsza szafka ma numer 31, druga ma 32, trzecia 33 i tak dalej. Numer jest więc zawsze o 30 większy od miejsca szafki w kolejności. Ósma szafka ma numer $8 + 30 = 38$, a dziesiąta - numer 40.

11.Co ile godzin - jak obliczyć kolejne pory?

Gdy coś powtarza się co 6 godzin, do godziny dodajemy 6. Doba ma 24 godziny, więc gdy wynik przekroczy 24, odejmujemy 24 - to godzina następnego dnia. Lek wzięty o 7 rano bierzemy znów o 13, o 19 i o 1 w nocy. W ciągu doby co 6 godzin wypada 4 razy, bo $24 : 6 = 4$.

12.Kto jest starszy? Urodziny i rocznice

Kto urodził się wcześniej, jest starszy. Tak samo kto coś zaczął wcześniej, robi to dłużej. Jeśli Ela skończy 10 lat za rok, a Bartek skończył 10 lat rok temu, to Ela ma teraz 9 lat, a Bartek 11 lat. Starszy jest Bartek.

13.Zwroty „wszyscy oprócz” i „zwiększyła się o”

„Wysiedli wszyscy oprócz 4 osób” znaczy, że w autobusie zostały 4 osoby. „Liczba pasażerów zwiększyła się o 5” znaczy, że po przystanku jest o 5 osób więcej niż przed nim, nawet jeśli ktoś wysiadł.

14.Porządkowanie danych w zadaniu tekstowym

Gdy zadanie jest bardziej złożone, najpierw krótko zapisujemy podane informacje. Potem obliczamy po kolei to, czego brakuje, i na koniec odpowiadamy na pytanie. Na przykład: jabłek jest 12, gruszek o 5 więcej, czyli 17, a śliwek o 3 mniej niż gruszek, czyli 14. Razem $12 + 17 + 14 = 43$.

15.Jak zapisać rozwiązanie zadania tekstowego?

Zapisujemy dane, obliczenia i odpowiedź. Dane można najpierw wypisać, a potem liczyć, albo liczyć od razu przy każdej danej - oba sposoby są dobre. Odpowiedź piszemy pełnym zdaniem po skrócie „Odp.”. Na koniec sprawdzamy, czy wynik ma sens.

16.Porównanie od drugiej strony: „o 4 mniej niż”

Zdanie „Kotów jest o 4 mniej niż psów” znaczy to samo co „Psów jest o 4 więcej niż kotów”. Gdy kotów jest 9, psów jest $9 + 4 = 13$. Tak samo zdanie „Liczba 30 jest o 6 mniejsza od liczby A” znaczy, że $A = 30 + 6 = 36$.

17.Zwroty „razy krótszy” i „razy młodszy”

Jeśli trasa A jest 2 razy krótsza niż trasa B, to trasa B jest 2 razy dłuższa. Większą wielkość obliczamy mnożeniem, a mniejszą - dzieleniem. Gdy A ma 30 km, B ma $30 \cdot 2 = 60$ km. Jeśli Ola jest 3 razy młodsza od taty, który ma 36 lat, to Ola ma $36 : 3 = 12$ lat.

18.Ile osób stoi w kolejce?

Pomaga rysunek: osoby rysujemy jako kreski albo ludziki, a liczby zaznaczamy klamrami. Liczymy osoby przed kimś, tę osobę i osoby za nią. Jeśli przed Kasią stoi 6 osób, a za nią 9, to w kolejce jest $6 + 1 + 9 = 16$ osób.

19.Długość dwóch sklejonych pasków

Gdy paski zachodzą na siebie, dodajemy ich długości i odejmujemy część wspólną, bo policzyliśmy ją dwa razy. Dwa paski po 30 cm sklejone na długości 6 cm dają pasek długości $30 + 30 - 6 = 54$ cm. Na rysunku nowy pasek sięga od 0 do 54 cm: pierwszy pasek od 0 do 30 cm, a drugi od 24 do 54 cm. Pogrubiona jest część wspólna - od 24 do 30 cm.

20.Jak sprawić, żeby dwie osoby wydały po tyle samo?

Dzielimy całą kwotę na pół. Jeśli Ala dała na prezent 20 zł, a Ola 12 zł, to prezent kosztował 32 zł i każda powinna wydać $32 : 2 = 16$ zł. Ola oddaje więc Ali 4 zł, czyli połowę różnicy $20 - 12 = 8$ zł.

21.„O ile starszy” i „ile razy starszy” po latach

Różnica wieku się nie zmienia, ale to, ile razy ktoś jest starszy, zmienia się z latami. Dziadek ma 60 lat, a wnuk 10: dziadek jest 6 razy starszy i o 50 lat starszy. Pięć lat temu mieli 55 lat i 5 lat: dziadek był 11 razy starszy, ale nadal o 50 lat starszy.

22.Wyrażenie arytmetyczne i nawiasy

Wyrażenie arytmetyczne to zapis z liczbami i znakami działań, np. $3 \cdot (5 + 1)$. Jeśli są w nim nawiasy, działanie w nawiasie wykonujemy jako pierwsze: $3 \cdot (5 + 1) = 3 \cdot 6 = 18$. Bez nawiasu wynik jest inny: $3 \cdot 5 + 1 = 15 + 1 = 16$.

23.Mnożenie i dzielenie przed dodawaniem i odejmowaniem

Gdy nie ma nawiasów, mnożenie i dzielenie wykonujemy przed dodawaniem i odejmowaniem. Na przykład $7 + 3 \cdot 4 = 7 + 12 = 19$, a $20 - 12 : 4 = 20 - 3 = 17$.

24.Dodawanie i odejmowanie obok siebie

Występujące obok siebie dodawanie i odejmowanie wykonujemy w kolejności od lewej do prawej. Na przykład $15 - 6 + 4 = 9 + 4 = 13$. Nie wolno najpierw dodać $6 + 4$, bo wyszłoby błędnie $15 - 10 = 5$.

25.Mnożenie i dzielenie obok siebie

Występujące obok siebie mnożenie i dzielenie wykonujemy w kolejności od lewej do prawej. Na przykład $36 : 6 \cdot 2 = 6 \cdot 2 = 12$. Gdybyśmy najpierw pomnożyli $6 \cdot 2$, wyszłoby błędnie $36 : 12 = 3$.

26.Potęgi w wyrażeniu

Potęgi obliczamy przed wykonaniem innych działań. Na przykład $2 \cdot 3^2 = 2 \cdot 9 = 18$, a $6^2 - 2^3 = 36 - 8 = 28$. Błędem byłoby najpierw pomnożyć $2 \cdot 3$, a potem podnieść wynik do kwadratu.

27.Kolejność wykonywania działań

1. Działania w nawiasach. 2. Potęgi. 3. Mnożenie i dzielenie od lewej do prawej. 4. Dodawanie i odejmowanie od lewej do prawej. Na przykład $20 - 2 \cdot 3^2 = 20 - 2 \cdot 9 = 20 - 18 = 2$.

28.Działania w nawiasie i potęga nawiasu

W nawiasie też obowiązuje kolejność działań: $3 \cdot (20 - 2 \cdot 6) = 3 \cdot (20 - 12) = 3 \cdot 8 = 24$. Gdy potęga stoi przy nawiasie, najpierw liczymy nawias, a potem potęgę: $2 \cdot (1 + 3)^2 = 2 \cdot 4^2 = 2 \cdot 16 = 32$.

29.Kiedy można usunąć nawiasy?

Wtedy, gdy obejmują działanie, które i tak wykonalibyśmy jako pierwsze, np. $(6 \cdot 3) + 2 = 6 \cdot 3 + 2 = 20$. Nie można ich usunąć, gdy zmieniają kolejność działań: $6 \cdot (3 + 2) = 30$, a $6 \cdot 3 + 2 = 20$.

30.Jak dobrać wyrażenie do zadania tekstowego?

Sprawdzamy, co powtarza się kilka razy. Lód kosztuje 5 zł, a woda 3 zł. Za 4 lody i jedną wodę płacimy $4 \cdot 5 + 3 = 23$ zł. Za 4 zestawy, w których jest lód i woda, płacimy $4 \cdot (5 + 3) = 32$ zł.

31.Tuzin, mendel, kopa

To dawne miary liczby sztuk, np. jajek. Tuzin to 12 sztuk, mendel to 15 sztuk, a kopa to 60 sztuk. Kopa to 5 tuzinów albo 4 mendle, bo $5 \cdot 12 = 60$ i $4 \cdot 15 = 60$.

32.Zapis działań na klawiaturze komputera

Na komputerze mnożenie zapisujemy gwiazdką, dzielenie ukośnikiem, a potęgę daszkiem. Kolejność działań jest taka sama. Na przykład zapis $\verb|(2 + 6)/4*3^2|$ oznacza $(2 + 6) : 4 \cdot 3^2 = 8 : 4 \cdot 9 = 2 \cdot 9 = 18$.

33.Oś liczbowa

To prosta, na której w równych odstępach zaznaczamy kreski i podpisujemy je liczbami. Strzałka pokazuje, w którą stronę liczby rosną. Podobnie wygląda skala na termometrze.

34.Współrzędna punktu i odcinek jednostkowy

Każdemu punktowi na osi liczbowej odpowiada liczba, zwana jego współrzędną. Odcinek, którego końce mają współrzędne 0 i 1, to odcinek jednostkowy. Na rysunku odcinek jednostkowy jest pogrubiony, a punkt A leży przy kresce 5, więc jego współrzędna jest równa 5.

35.Jak odczytać współrzędną, gdy kreski rosną co 5?

Najpierw sprawdzamy, o ile rośnie liczba od kreski do kreski. Potem liczymy kreski od podpisanej liczby. Gdy kreski oznaczają 0, 5, 10 i tak dalej, punkt P na trzeciej kresce za 10 ma współrzędną $10 + 3 \cdot 5 = 25$.

36.Gdy podpisane kreski są oddalone o kilka odstępów

Różnicę podpisanych liczb dzielimy przez liczbę odstępów między nimi. Jeśli między kreskami 0 i 100 są 4 równe odstępy, to każdy odstęp to $100 : 4 = 25$. Kolejne kreski oznaczają więc 25, 50 i 75.

37.Jaką współrzędną ma punkt K?

Punkt K leży w połowie odstępu między kreskami 40 i 50. Odstęp ma 10, a połowa z 10 to 5, więc współrzędna punktu K jest równa $40 + 5 = 45$.

38.Jak zaznaczyć liczby na osi liczbowej?

Rysujemy oś ze strzałką i dobieramy odstęp między kreskami tak, żeby zmieściły się wszystkie liczby. Dla liczb 0, 100, 250 i 400 wygodnie przyjąć, że każda kreska oznacza o 50 więcej. Liczba 250 leży wtedy w połowie między 200 a 300.

39.Przesuwanie się po osi liczbowej

Na osi większa liczba leży bardziej w prawo, w stronę strzałki. Gdy dodajemy, przesuwamy się w prawo, a gdy odejmujemy - w lewo. Pionek z pola 12 po wyrzuceniu 7 oczek przesuwa się w prawo na pole $12 + 7 = 19$.

40.Cena jednej sztuki i cena kompletu

Aby porównać ceny, cenę kompletu dzielimy przez liczbę sztuk albo cenę jednej sztuki mnożymy przez liczbę sztuk w komplecie. Komplet 4 kubków za 36 zł to $36 : 4 = 9$ zł za kubek. Kubek kupiony osobno za 10 zł jest więc o 1 zł droższy, a 4 takie kubki kosztują o 4 zł więcej niż komplet.