Ile razy więcej, reszta z dzielenia, kwadraty, sześciany - Matematyka z plusem 4

1.Nazwy liczb w mnożeniu i dzieleniu

W mnożeniu liczby, które mnożymy, to czynniki, a wynik to iloczyn: w $7 \cdot 5 = 35$ czynniki to 7 i 5, a iloczyn to 35. W dzieleniu $35 : 5 = 7$ liczba 35 to dzielna, 5 to dzielnik, a 7 to iloraz.

2.Mnożenie w pamięci przez rozkład na dziesiątki i jedności

Większy czynnik rozkładamy na dziesiątki i jedności, każdą część mnożymy osobno, a potem dodajemy wyniki. Na przykład $7 \cdot 34 = 7 \cdot 30 + 7 \cdot 4 = 210 + 28 = 238$.

3.Dzielenie w pamięci przez rozkład dzielnej

Dzielną rozkładamy na dwie liczby, które łatwo podzielić przez dzielnik, dzielimy każdą z nich i dodajemy wyniki. Na przykład $91 = 70 + 21$, więc $91 : 7 = 70 : 7 + 21 : 7 = 10 + 3 = 13$.

4.Zgadywanie wyniku dzielenia i sprawdzanie mnożeniem

Wynik dzielenia można odgadnąć, a potem sprawdzić mnożeniem: iloraz pomnożony przez dzielnik musi dać dzielną. Na przykład $75 : 15 = 5$, bo $5 \cdot 15 = 75$.

5.Sprytne dodawanie kolejnych liczb

Liczby łączymy w pary: pierwszą z ostatnią, drugą z przedostatnią i tak dalej. Każda para ma tę samą sumę, więc wystarczy pomnożyć ją przez liczbę par. Na przykład w sumie $1 + 2 + \ldots + 20$ jest 10 par po 21, czyli $10 \cdot 21 = 210$.

6.Iloczyn trzech liczb

Mnożymy dwie liczby, a otrzymany wynik mnożymy przez trzecią. Kolejność czynników nie zmienia iloczynu, więc warto zacząć od wygodnej pary, np. $5 \cdot 9 \cdot 2 = 10 \cdot 9 = 90$.

7.Działania, które nie zmieniają liczby

Dodanie zera i odjęcie zera nie zmieniają liczby: $53 + 0 = 53$ i $53 - 0 = 53$. Tak samo działa mnożenie przez 1 i dzielenie przez 1: $53 \cdot 1 = 53$ i $53 : 1 = 53$.

8.Ile cyfr może mieć iloczyn dwóch liczb jednocyfrowych?

Największa liczba jednocyfrowa to 9, a $9 \cdot 9 = 81$. Dlatego iloczyn dwóch liczb jednocyfrowych ma najwyżej dwie cyfry - nigdy nie jest liczbą trzycyfrową.

9.„Razy więcej” i „razy mniej”

Zwrot „3 razy więcej” oznacza mnożenie przez 3, a „3 razy mniej” - dzielenie przez 3. Na przykład liczba 3 razy większa niż 24 to $24 \cdot 3 = 72$, a liczba 3 razy mniejsza niż 24 to $24 : 3 = 8$.

10.Odwracanie porównania „razy więcej”

Jeśli Ala ma 4 razy więcej naklejek niż Ola, to Ola ma 4 razy mniej naklejek niż Ala. Gdy Ala ma 20 naklejek, Ola ma $20 : 4 = 5$. Gdy Ola ma 6 naklejek, Ala ma $6 \cdot 4 = 24$.

11.Ile razy jedna liczba jest większa od drugiej?

Dzielimy większą liczbę przez mniejszą. Na przykład liczba 56 jest 7 razy większa od liczby 8, bo $56 : 8 = 7$. Tak samo liczba 8 jest 7 razy mniejsza od liczby 56.

12.O ile więcej, a ile razy więcej?

„O ile więcej” sprawdzamy odejmowaniem, a „ile razy więcej” - dzieleniem. Na przykład 35 to o 28 więcej niż 7, bo $35 - 7 = 28$, i zarazem 5 razy więcej niż 7, bo $35 : 7 = 5$.

13.Dwukrotnie, trzykrotnie, pięciokrotnie

„Dwukrotnie” znaczy 2 razy, „trzykrotnie” - 3 razy, a „pięciokrotnie” - 5 razy. Gdy cena 15 zł wzrośnie dwukrotnie, wyniesie 30 zł, bo $15 \cdot 2 = 30$. Zbiory trzykrotnie mniejsze są 3 razy mniejsze.

14.Razy dłuższy, cięższy, droższy

Inne słowa porównania działają tak samo. Słowa „4 razy dłuższy”, „cięższy”, „droższy” albo „starszy” oznaczają mnożenie przez 4, a „4 razy krótszy”, „lżejszy” albo „tańszy” - dzielenie przez 4. Odcinek 4 razy dłuższy od odcinka 3 cm ma 12 cm, bo $3 \cdot 4 = 12$.

15.Dzielenie z resztą

Dzielimy po równo, a to, czego nie da się już rozdzielić, nazywamy resztą. Zapisujemy ją słowem „reszta” albo krócej literą r. Na przykład 17 cukierków dla 5 dzieci: każde dostaje 3, a 2 zostają, więc $17 : 5 = 3 \text{ r } 2$. Na osi: trzy skoki po 5 dochodzą do 15, a od 15 do 17 zostają jeszcze 2 - to reszta.

16.Jak wykonać dzielenie z resztą?

Sprawdzamy, ile razy dzielnik mieści się w dzielnej: mnożymy go przez kolejne liczby, aż wynik byłby za duży. To, czego brakuje do dzielnej, jest resztą. Na przykład przy dzieleniu 45 przez 6: $6 \cdot 7 = 42$, a $6 \cdot 8 = 48$ to za dużo. Reszta to $45 - 42 = 3$, więc $45 : 6 = 7 \text{ r } 3$.

17.Reszta jest mniejsza od dzielnika

Reszta jest zawsze mniejsza niż liczba, przez którą dzielimy. Przy dzieleniu przez 5 reszta może wynosić 0, 1, 2, 3 albo 4. Jeśli reszta wyszła równa dzielnikowi albo większa, to iloraz jest za mały.

18.Dzielenie z resztą jako równość i jego sprawdzenie

Z zapisu $23 : 4 = 5 \text{ r } 3$ wynika równość $23 = 4 \cdot 5 + 3$. Tak sprawdzamy wynik: iloraz mnożymy przez dzielnik i dodajemy resztę - musimy otrzymać dzielną. Reszta musi być też mniejsza od dzielnika.

19.Liczba podzielna przez inną liczbę

Gdy reszta z dzielenia wynosi 0, mówimy, że liczba dzieli się bez reszty, czyli jest podzielna. Na przykład 35 jest podzielna przez 7, bo $35 : 7 = 5 \text{ r } 0$. Liczba 36 nie jest podzielna przez 7, bo $36 : 7 = 5 \text{ r } 1$.

20.Liczby parzyste i nieparzyste a dzielenie przez 2

Liczba parzysta dzieli się przez 2 bez reszty, np. $14 : 2 = 7 \text{ r } 0$. Liczba nieparzysta przy dzieleniu przez 2 daje resztę 1, np. $15 : 2 = 7 \text{ r } 1$. Innych reszt przy dzieleniu przez 2 nie ma.

21.Dzielna mniejsza od dzielnika

Dzielenie z resztą można wykonać także wtedy, gdy dzielna jest mniejsza od dzielnika. Iloraz wynosi wtedy 0, a reszta jest równa dzielnej, np. $5 : 9 = 0 \text{ r } 5$, bo $0 \cdot 9 + 5 = 5$.

22.Reszta z dzielenia przez 10 i przez 100

Reszta z dzielenia przez 10 to ostatnia cyfra liczby, a reszta z dzielenia przez 100 to liczba utworzona z dwóch ostatnich cyfr. Na przykład $347 : 10 = 34 \text{ r } 7$, a $347 : 100 = 3 \text{ r } 47$.

23.Jak znaleźć dzielną, gdy znamy dzielnik, iloraz i resztę?

Mnożymy iloraz przez dzielnik i dodajemy resztę. Na przykład jeśli $\square : 7 = 4 \text{ r } 3$, to w miejscu kratki jest $4 \cdot 7 + 3 = 31$.

24.Powtarzający się wzór a reszta z dzielenia

Gdy kolory albo dni powtarzają się co kilka, dzielimy numer elementu przez liczbę elementów wzoru. Reszta mówi, który to element wzoru, a reszta 0 oznacza ostatni. Na przykład przy chorągiewkach czerwona, żółta, niebieska 20. chorągiewka jest żółta, bo $20 : 3 = 6 \text{ r } 2$.

25.Potęga

Potęga to krótszy zapis iloczynu jednakowych czynników. Mała liczba u góry mówi, ile jest tych czynników. Na przykład $5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 5^4$ (czytamy: pięć do potęgi czwartej), a $5^4 = 625$.

26.Kwadrat liczby

Kwadrat liczby to iloczyn dwóch jednakowych czynników, np. $5^2 = 5 \cdot 5 = 25$. Zapis $5^2$ czytamy: pięć do kwadratu, kwadrat liczby pięć albo pięć do potęgi drugiej. Uwaga: $5^2$ to nie $5 \cdot 2$.

27.Sześcian liczby

Sześcian liczby to iloczyn trzech jednakowych czynników, np. $3^3 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$. Zapis $3^3$ czytamy: trzy do sześcianu, sześcian liczby trzy albo trzy do potęgi trzeciej. Z 27 małych kostek ułożymy sześcian, który ma 3 kostki wzdłuż każdej krawędzi: 3 warstwy po $3 \cdot 3 = 9$ kostek.

28.Kwadraty liczb od 1 do 10

$1^2 = 1$, $2^2 = 4$, $3^2 = 9$, $4^2 = 16$, $5^2 = 25$, $6^2 = 36$, $7^2 = 49$, $8^2 = 64$, $9^2 = 81$, $10^2 = 100$, a także $0^2 = 0$. Dzięki nim łatwo zapisać liczbę jako kwadrat innej liczby, np. $81 = 9^2$.

29.Sześciany liczb

$1^3 = 1$, $2^3 = 8$, $3^3 = 27$, $4^3 = 64$, $5^3 = 125$ i $10^3 = 1000$, a także $0^3 = 0$. Dzięki nim łatwo zapisać liczbę jako sześcian, np. $8 = 2^3$. Liczba 64 jest jednocześnie kwadratem i sześcianem: $64 = 8^2 = 4^3$.

30.Jak obliczyć potęgę krok po kroku?

Mnożymy po kolei: wynik każdego mnożenia mnożymy jeszcze raz przez tę samą liczbę, aż użyjemy wszystkich czynników. Na przykład $3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3$: $3 \cdot 3 = 9$, $9 \cdot 3 = 27$, $27 \cdot 3 = 81$.

31.Potęgi liczby 10

Potęga liczby 10 to jedynka z tyloma zerami, ile jest czynników 10. Na przykład $10^2 = 100$, $10^3 = 1000$, $10^4 = 10\,000$, a $10^6 = 1\,000\,000$, czyli milion.

32.Podwajanie a potęgi liczby 2

Gdy liczba za każdym razem się podwaja, wynik zapisujemy potęgą liczby 2. Każdy ma 2 rodziców, $2^2 = 4$ dziadków, $2^3 = 8$ pradziadków i $2^4 = 16$ prapradziadków.

33.Zwroty w zadaniach tekstowych i działania

„O 5 więcej” - dodajemy 5, „o 5 mniej” - odejmujemy 5, „5 razy więcej” - mnożymy przez 5, „5 razy mniej” - dzielimy przez 5. Na przykład dla liczby 40: $40 + 5 = 45$, $40 - 5 = 35$, $40 \cdot 5 = 200$, $40 : 5 = 8$.

34.Jak rozwiązać zadanie tekstowe?

Czytamy uważnie treść i ustalamy, co wiemy, a czego szukamy. Dobieramy działanie (np. „o ile” czy „ile razy”), obliczamy wynik i sprawdzamy, czy ma sens. Na koniec piszemy odpowiedź pełnym zdaniem.

35.Ile waży sama zawartość słoika?

Od masy pełnego słoika odejmujemy masę pustego słoika. Na przykład słoik z miodem waży 60 dag, a pusty słoik 25 dag, więc sam miód waży 35 dag ($60 - 25 = 35$).

36.Zadanie z kilkoma porównaniami po kolei

Liczymy po kolei. Każdą nową liczbę obliczamy od tej, z którą ją porównano w zadaniu. Na przykład Tomek ma 10 zł, Ania o 6 zł więcej niż Tomek, czyli 16 zł ($10 + 6 = 16$), a Kasia 2 razy mniej niż Ania, czyli 8 zł ($16 : 2 = 8$).

37.Ile opakowań potrzeba?

Gdy pakujemy rzeczy po kilka do opakowań i zostaje reszta, potrzebne jest jeszcze jedno, niepełne opakowanie. Na przykład 26 jajek pakujemy po 6: $26 : 6 = 4 \text{ r } 2$, więc potrzeba 5 wytłaczanek, choć pełne będą tylko 4.

38.Różnica wieku dwóch osób

Różnica wieku dwóch osób się nie zmienia, bo obie co roku są o rok starsze. Jeśli Ola ma 12 lat, a jej brat 7, to Ola jest o 5 lat starsza. Gdy brat się urodził, Ola miała 5 lat.

39.Cena przed obniżką i po obniżce

Cena po obniżce to cena przed obniżką minus obniżka. Dlatego cenę przed obniżką obliczamy dodawaniem: do ceny po obniżce dodajemy obniżkę. Na przykład buty po obniżce o 30 zł kosztują 95 zł, więc przed obniżką kosztowały 125 zł ($95 + 30 = 125$).

40.Ile w ciągu godziny, gdy wiemy, ile w ciągu minuty?

Godzina ma 60 minut, więc to, co dzieje się w ciągu jednej minuty, mnożymy przez 60. Na przykład z kranu wypływają 2 litry wody na minutę, więc w ciągu godziny wypłynie 120 litrów ($2 \cdot 60 = 120$).