Małopolski Konkurs Matematyczny - bryły, zliczanie, prawdopodobieństwo

1.Prostopadłościan i sześcian - budowa

Prostopadłościan to graniastosłup prosty, którego wszystkie ściany są prostokątami. Ma 6 ścian (naprzeciwległe są przystające i równoległe), 12 krawędzi i 8 wierzchołków. Jego wymiary to długości trzech krawędzi wychodzących z jednego wierzchołka: $a$, $b$, $c$. Sześcian to prostopadłościan, którego wszystkie ściany są kwadratami - każda krawędź ma tę samą długość $a$. Przykład: prostopadłościan o wymiarach 2, 3, 5 ma po 4 krawędzie każdej długości, więc suma długości krawędzi to $4 \cdot (2 + 3 + 5) = 40$.

2.Objętość prostopadłościanu i sześcianu

Objętość prostopadłościanu o wymiarach $a$, $b$, $c$ to iloczyn trzech wymiarów: $V = abc$. Dla sześcianu o krawędzi $a$: $V = a^3$. Wymiary muszą być w tej samej jednostce, a wynik podajemy w jednostkach sześciennych ($\mathrm{cm^3}$, $\mathrm{dm^3}$, $\mathrm{m^3}$; $1~\mathrm{dm^3}$ to 1 litr). Przykład: prostopadłościan 2 cm, 3 cm, 5 cm ma $V = 2 \cdot 3 \cdot 5 = 30~\mathrm{cm^3}$, a sześcian o krawędzi 4 cm ma $V = 4^3 = 64~\mathrm{cm^3}$.

3.Pole powierzchni prostopadłościanu i sześcianu

Pole powierzchni prostopadłościanu to suma pól jego 6 ścian. Ściany tworzą trzy pary jednakowych prostokątów, więc $P_c = 2(ab + bc + ac)$. Sześcian ma 6 jednakowych kwadratów: $P_c = 6a^2$. Przykład: dla wymiarów 2 cm, 3 cm, 5 cm mamy $P_c = 2 \cdot (6 + 15 + 10) = 2 \cdot 31 = 62~\mathrm{cm^2}$. Sześcian o krawędzi 4 cm: $P_c = 6 \cdot 16 = 96~\mathrm{cm^2}$.

4.Przekątna ściany prostopadłościanu i sześcianu

Przekątna ściany to odcinek łączący dwa przeciwległe wierzchołki jednej ściany. Ściana jest prostokątem, więc przekątna dzieli ją na dwa trójkąty prostokątne i z twierdzenia Pitagorasa: $d = \sqrt{a^2 + b^2}$, gdzie $a$, $b$ to boki tej ściany. W sześcianie każda ściana jest kwadratem o boku $a$, więc $d = a\sqrt{2}$. Przykład: ściana o bokach 6 i 8 ma przekątną $\sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$; w sześcianie o krawędzi 5 przekątna ściany to $5\sqrt{2}$.

5.Graniastosłup prosty - budowa

Graniastosłup prosty ma dwie podstawy - przystające wielokąty leżące w płaszczyznach równoległych - oraz ściany boczne, które są prostokątami. Krawędzie dzielimy na krawędzie podstaw i krawędzie boczne, a punkty, w których spotykają się krawędzie, to wierzchołki. Wysokość graniastosłupa $H$ to odległość między podstawami; w graniastosłupie prostym jest równa długości krawędzi bocznej. Nazwę bierzemy od podstawy: graniastosłup trójkątny, czworokątny, pięciokątny. Przykład: graniastosłup prosty trójkątny ma 2 podstawy i 3 ściany boczne, razem 5 ścian.

6.Graniastosłup prawidłowy (trójkątny, czworokątny, sześciokątny)

Graniastosłup prawidłowy to graniastosłup prosty, którego podstawą jest wielokąt foremny (wszystkie boki i wszystkie kąty równe). Jego ściany boczne są przystającymi prostokątami. Graniastosłup prawidłowy trójkątny ma w podstawie trójkąt równoboczny, prawidłowy czworokątny - kwadrat, prawidłowy sześciokątny - sześciokąt foremny. Przykład: w graniastosłupie prawidłowym czworokątnym o krawędzi podstawy 3 i wysokości 7 każda ściana boczna to prostokąt 3 na 7 o polu 21, a cztery ściany boczne mają razem pole $4 \cdot 21 = 84$.

7.Graniastosłup prosty, który nie jest prawidłowy

Graniastosłup prosty nie jest prawidłowy, gdy jego podstawa nie jest wielokątem foremnym, np. jest trójkątem prostokątnym, trapezem lub rombem (innym niż kwadrat) albo prostokątem o różnych bokach. Ściany boczne dalej są prostokątami, ale mogą mieć różne wymiary: każda ma jeden bok równy wysokości $H$, a drugi równy kolejnemu bokowi podstawy. Przykład: podstawa to trójkąt prostokątny o bokach 3, 4, 5, a $H = 10$. Ściany boczne mają pola $3 \cdot 10 = 30$, $4 \cdot 10 = 40$ i $5 \cdot 10 = 50$, razem 120.

8.Krawędzie i wysokość graniastosłupa prostego

W graniastosłupie prostym krawędzie boczne są prostopadłe do podstaw i wszystkie mają tę samą długość, równą wysokości $H$. Graniastosłup n-kątny ma $2n$ krawędzi podstaw (po $n$ w każdej podstawie) i $n$ krawędzi bocznych. Suma długości wszystkich krawędzi to dwa obwody podstawy i $n$ wysokości. Przykład: graniastosłup prawidłowy trójkątny o krawędzi podstawy 4 i wysokości 10 ma sumę długości krawędzi $2 \cdot (3 \cdot 4) + 3 \cdot 10 = 24 + 30 = 54$.

9.Pole powierzchni graniastosłupa

Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa to suma pól dwóch podstaw i pola powierzchni bocznej: $P_c = 2P_p + P_b$. W graniastosłupie prostym ściany boczne są prostokątami o wspólnej wysokości $H$, więc $P_b$ to obwód podstawy razy $H$. Przykład: podstawa to trójkąt prostokątny o bokach 3, 4, 5, a $H = 10$. Wtedy $P_p = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6$, $P_b = (3 + 4 + 5) \cdot 10 = 120$ i $P_c = 2 \cdot 6 + 120 = 132$.

10.Objętość graniastosłupa

Objętość graniastosłupa to iloczyn pola podstawy i wysokości: $V = P_p \cdot H$. Wzór działa dla graniastosłupa o dowolnej podstawie - najpierw liczymy pole podstawy odpowiednim wzorem (trójkąt, trapez, romb, kwadrat), potem mnożymy przez wysokość bryły. Przykład: podstawa to trójkąt prostokątny o przyprostokątnych 3 i 4, a $H = 10$. Wtedy $P_p = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6$ i $V = 6 \cdot 10 = 60$. Wzór $V = abc$ dla prostopadłościanu to ten sam wzór: $P_p = ab$, $H = c$.

11.Pole i objętość graniastosłupa prawidłowego

Pole podstawy graniastosłupa prawidłowego o krawędzi podstawy $a$: trójkątnego $P_p = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$, czworokątnego $P_p = a^2$, sześciokątnego $P_p = 6 \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$ (sześć trójkątów równobocznych). Pole boczne n-kątnego: $P_b = n \cdot a \cdot H$. Przykład: graniastosłup prawidłowy sześciokątny, $a = 2$, $H = 5$: $P_p = 6 \cdot \frac{4\sqrt{3}}{4} = 6\sqrt{3}$, $V = 6\sqrt{3} \cdot 5 = 30\sqrt{3}$, $P_b = 6 \cdot 2 \cdot 5 = 60$, $P_c = 12\sqrt{3} + 60$.

12.Pole i objętość graniastosłupa prostego o podstawie rombu lub trapezu

W graniastosłupie, który nie jest prawidłowy, pole podstawy liczymy wzorem na daną figurę: romb $P_p = \frac{e \cdot f}{2}$ ($e$, $f$ - przekątne), trapez $P_p = \frac{(a + b) \cdot h}{2}$. Brakujący bok podstawy często wyznaczamy z twierdzenia Pitagorasa. Przykład: podstawa to romb o przekątnych 6 i 8, $H = 10$. $P_p = \frac{6 \cdot 8}{2} = 24$, bok rombu $\sqrt{3^2 + 4^2} = 5$, $V = 24 \cdot 10 = 240$, $P_b = 4 \cdot 5 \cdot 10 = 200$, $P_c = 2 \cdot 24 + 200 = 248$.

13.Ostrosłup - budowa

Ostrosłup ma jedną podstawę, która jest wielokątem, oraz ściany boczne - trójkąty o wspólnym wierzchołku, nazywanym wierzchołkiem ostrosłupa. Krawędzie dzielimy na krawędzie podstawy i krawędzie boczne (łączą wierzchołki podstawy z wierzchołkiem ostrosłupa). Nazwę bierzemy od podstawy: ostrosłup trójkątny, czworokątny, sześciokątny. Ostrosłup n-kątny ma $n$ ścian bocznych. Przykład: ostrosłup czworokątny ma 1 podstawę i 4 ściany boczne, razem 5 ścian, oraz $4 + 4 = 8$ krawędzi.

14.Wysokość ostrosłupa i wysokość ściany bocznej

Wysokość ostrosłupa $H$ to odcinek łączący wierzchołek ostrosłupa z płaszczyzną podstawy, prostopadły do tej płaszczyzny; jego koniec w płaszczyźnie podstawy to spodek wysokości. Wysokość ściany bocznej $h$ to wysokość trójkąta będącego ścianą boczną, poprowadzona z wierzchołka ostrosłupa do krawędzi podstawy. W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym o krawędzi podstawy $a$: $H^2 + (\frac{a}{2})^2 = h^2$. Przykład: $a = 6$, $H = 4$, więc $h = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$.

15.Ostrosłup prawidłowy (trójkątny, czworokątny) i czworościan foremny

Ostrosłup prawidłowy ma w podstawie wielokąt foremny, a spodek jego wysokości leży w środku podstawy. Wszystkie krawędzie boczne są wtedy równe, a ściany boczne to przystające trójkąty równoramienne. Ostrosłup prawidłowy trójkątny ma w podstawie trójkąt równoboczny, prawidłowy czworokątny - kwadrat. Czworościan foremny to ostrosłup trójkątny, którego wszystkie 4 ściany są trójkątami równobocznymi, a wszystkie 6 krawędzi ma tę samą długość. Przykład: czworościan foremny o krawędzi 5 ma sumę długości krawędzi $6 \cdot 5 = 30$.

16.Ostrosłup, który nie jest prawidłowy

Ostrosłup nie jest prawidłowy, gdy jego podstawa nie jest wielokątem foremnym (np. prostokąt o różnych bokach, trójkąt prostokątny) albo gdy spodek wysokości nie leży w środku podstawy (np. w wierzchołku albo w środku boku podstawy). Ściany boczne mogą być wtedy różnymi trójkątami, więc ich pola liczymy osobno. Objętość liczymy tym samym wzorem co zawsze. Przykład: ostrosłup o podstawie prostokąta 6 na 8 i wysokości $H = 5$ ma $P_p = 48$ i $V = \frac{1}{3} \cdot 48 \cdot 5 = 80$.

17.Pole powierzchni ostrosłupa

Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa to suma pola podstawy i pola powierzchni bocznej: $P_c = P_p + P_b$, gdzie $P_b$ to suma pól trójkątnych ścian bocznych. Pole jednej ściany bocznej to $\frac{1}{2} \cdot a \cdot h$ ($a$ - krawędź podstawy, $h$ - wysokość tej ściany). Przykład: ostrosłup prawidłowy czworokątny o krawędzi podstawy 6 i wysokości ściany bocznej 5. $P_p = 36$, $P_b = 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 5 = 60$, $P_c = 36 + 60 = 96$.

18.Objętość ostrosłupa

Objętość ostrosłupa to jedna trzecia iloczynu pola podstawy i wysokości ostrosłupa: $V = \frac{1}{3} P_p \cdot H$. Ostrosłup ma więc objętość 3 razy mniejszą niż graniastosłup o takiej samej podstawie i takiej samej wysokości. We wzorze występuje wysokość ostrosłupa $H$, a nie wysokość ściany bocznej. Przykład: ostrosłup prawidłowy czworokątny o krawędzi podstawy 6 i wysokości $H = 4$ ma $P_p = 36$ i $V = \frac{1}{3} \cdot 36 \cdot 4 = 48$.

19.Pole powierzchni ostrosłupa prawidłowego i czworościanu foremnego

W ostrosłupie prawidłowym n-kątnym ściany boczne są przystające, więc $P_b = n \cdot \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$. Przykład: ostrosłup prawidłowy trójkątny o krawędzi podstawy 6 i wysokości ściany bocznej 5 ma $P_p = \frac{36\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3}$, $P_b = 3 \cdot \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 5 = 45$, $P_c = 9\sqrt{3} + 45$. Czworościan foremny o krawędzi $a$ ma 4 ściany - trójkąty równoboczne, więc $P_c = 4 \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = a^2\sqrt{3}$. Dla $a = 4$: $P_c = 16\sqrt{3}$.

20.Objętość ostrosłupa, który nie jest prawidłowy

Wzór jest ten sam: $V = \frac{1}{3} P_p \cdot H$. Wysokość $H$ zwykle wyznaczamy z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie prostokątnym, którego bokami są: wysokość ostrosłupa, krawędź boczna i odcinek na podstawie od spodka wysokości do wierzchołka podstawy. Przykład: podstawa to prostokąt 10 na 20, spodek wysokości leży w środku boku długości 10, a krawędź boczna wychodząca z końca tego boku ma długość 13. Wtedy $H = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{144} = 12$ i $V = \frac{1}{3} \cdot 200 \cdot 12 = 800$.

21.Liczba ścian, krawędzi i wierzchołków graniastosłupa i ostrosłupa n-kątnego

Graniastosłup n-kątny ma $n + 2$ ścian (2 podstawy i $n$ ścian bocznych), $3n$ krawędzi i $2n$ wierzchołków. Ostrosłup n-kątny ma $n + 1$ ścian (podstawa i $n$ ścian bocznych), $2n$ krawędzi i $n + 1$ wierzchołków. Przykład dla $n = 5$: graniastosłup pięciokątny ma 7 ścian, 15 krawędzi i 10 wierzchołków, a ostrosłup pięciokątny - 6 ścian, 10 krawędzi i 6 wierzchołków. W obu bryłach liczba wierzchołków plus liczba ścian to liczba krawędzi plus 2: $10 + 7 = 15 + 2$ oraz $6 + 6 = 10 + 2$.

22.Siatka bryły

Siatka bryły to płaska figura, która powstaje po rozcięciu powierzchni bryły wzdłuż niektórych krawędzi i rozłożeniu jej na płaszczyźnie. Siatka graniastosłupa prostego n-kątnego składa się z 2 przystających podstaw i $n$ prostokątów, a siatka ostrosłupa n-kątnego - z 1 podstawy i $n$ trójkątów. Siatka sześcianu to 6 kwadratów. Pole siatki jest równe polu powierzchni całkowitej bryły. Przykład: siatka prostopadłościanu 2 na 3 na 5 ma pole $2 \cdot (6 + 15 + 10) = 62$.

23.Zliczanie obiektów przez systematyczne wypisywanie

Gdy obiektów o danej własności jest niewiele, wypisujemy je wszystkie w ustalonym porządku (np. rosnąco), żeby żadnego nie pominąć i żadnego nie policzyć dwa razy, a potem liczymy. Przykład 1: liczby dwucyfrowe podzielne przez 7 to 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, 77, 84, 91, 98 - jest ich 13. Przykład 2: liczby dwucyfrowe o sumie cyfr równej 5 wypisujemy według cyfry dziesiątek: 14, 23, 32, 41, 50 - jest ich 5.

24.Zliczanie liczb w zakresie bez wypisywania

Liczb naturalnych od $a$ do $b$ włącznie jest $b - a + 1$. Liczb dwucyfrowych (od 10 do 99) jest $99 - 10 + 1 = 90$, a trzycyfrowych $999 - 100 + 1 = 900$. Wielokrotności liczby $k$ liczymy, zapisując je jako $k$ razy kolejne liczby naturalne i licząc te mnożniki. Przykład: dwucyfrowe liczby podzielne przez 7 to $7 \cdot 2 = 14$, ..., $7 \cdot 14 = 98$, więc jest ich $14 - 2 + 1 = 13$. Dwucyfrowe podzielne przez 5: od $5 \cdot 2$ do $5 \cdot 19$, czyli $19 - 2 + 1 = 18$.

25.Reguła mnożenia - zliczanie par elementów

Reguła mnożenia: jeśli pierwszy element pary możemy wybrać na $m$ sposobów, a drugi - niezależnie od pierwszego wyboru - na $n$ sposobów, to wszystkich par jest $m \cdot n$. Pary można też wypisać w tabeli o $m$ wierszach i $n$ kolumnach. Przykład: 3 koszulki i 4 pary spodni dają $3 \cdot 4 = 12$ różnych strojów. Dwa rzuty monetą: $2 \cdot 2 = 4$ wyniki (OO, OR, RO, RR).

26.Reguła mnożenia przy kilku kolejnych wyborach

Gdy wybieramy kolejno kilka elementów, mnożymy liczby możliwości dla każdego wyboru. Trzeba sprawdzić, czy elementy mogą się powtarzać. Przykłady: liczb dwucyfrowych jest $9 \cdot 10 = 90$ (cyfra dziesiątek bez zera - 9 możliwości, cyfra jedności - 10). Liczb dwucyfrowych o różnych cyfrach jest $9 \cdot 9 = 81$ (cyfra jedności dowolna z 10 poza już użytą). Trzycyfrowych kodów z cyfr od 0 do 9, które mogą się powtarzać, jest $10 \cdot 10 \cdot 10 = 1000$.

27.Reguła mnożenia - wybór bez powtórzeń i pary bez kolejności

Gdy elementy nie mogą się powtarzać, przy każdym kolejnym wyborze jest o jedną możliwość mniej. Przykład: przewodniczącego i zastępcę spośród 5 osób wybieramy na $5 \cdot 4 = 20$ sposobów. Trzy osoby ustawiamy w kolejce na $3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$ sposobów. Jeśli kolejność w parze nie ma znaczenia (np. dwuosobowy dyżur), każdą parę policzyliśmy dwa razy, więc wynik dzielimy przez 2: z 5 osób można utworzyć $20 : 2 = 10$ par.

28.Reguła dodawania

Reguła dodawania: jeśli obiekty dzielą się na przypadki, które się wzajemnie wykluczają (żaden obiekt nie należy do dwóch przypadków naraz), to liczby obiektów z poszczególnych przypadków dodajemy. Gdy wybieramy jedną rzecz spośród $m$ rzeczy pierwszego rodzaju albo $n$ rzeczy drugiego rodzaju, mamy $m + n$ możliwości. Przykład: w sklepie są 4 rodzaje soków i 3 rodzaje wody. Jeden napój można wybrać na $4 + 3 = 7$ sposobów (a zestaw sok i woda - na $4 \cdot 3 = 12$ sposobów).

29.Reguła dodawania i mnożenia - rozważanie kilku przypadków

W trudniejszych zadaniach dzielimy obiekty na rozłączne przypadki, w każdym liczymy regułą mnożenia, a wyniki dodajemy. Przykład: ile jest parzystych liczb dwucyfrowych o różnych cyfrach? Przypadek 1 - cyfra jedności 0: cyfrę dziesiątek wybieramy na 9 sposobów, jest 9 liczb. Przypadek 2 - cyfra jedności 2, 4, 6 lub 8: 4 możliwości, a cyfra dziesiątek różna od zera i od cyfry jedności - 8 możliwości, czyli $4 \cdot 8 = 32$ liczby. Razem $9 + 32 = 41$. Sprawdzenie: parzystych dwucyfrowych jest 45, odpadają 22, 44, 66, 88.

30.Doświadczenie losowe (rzut monetą, rzut kostką)

Doświadczenie losowe to czynność, której wyniku nie da się przewidzieć, ale można wypisać wszystkie możliwe wyniki. Rzut monetą ma 2 wyniki: orzeł, reszka. Rzut kostką sześcienną ma 6 wyników: 1, 2, 3, 4, 5, 6 oczek. Losowanie jednej kuli z pudełka ma tyle wyników, ile jest kul. W zadaniach szkolnych przyjmujemy, że moneta i kostka są symetryczne, a kule nierozróżnialne w dotyku - każdy wynik jest wtedy jednakowo prawdopodobny. Przykład: losowanie jednej kuli spośród 8 ma 8 wyników.

31.Zdarzenie i wynik sprzyjający

Zdarzenie to to, co może się stać w doświadczeniu losowym - opisujemy je zbiorem wyników. Wynik sprzyjający zdarzeniu to taki wynik doświadczenia, przy którym zdarzenie zachodzi. Przykład: w rzucie kostką zdarzeniu „wypadła liczba oczek większa od 4” sprzyjają 2 wyniki: 5 i 6. Zdarzeniu „wypadła liczba parzysta” sprzyjają 3 wyniki: 2, 4, 6. W losowaniu jednej kuli z pudełka, w którym są 3 kule białe i 5 czarnych, zdarzeniu „wylosowano kulę białą” sprzyjają 3 wyniki z 8.

32.Prawdopodobieństwo zdarzenia

Gdy wszystkie wyniki doświadczenia są jednakowo prawdopodobne, prawdopodobieństwo zdarzenia to liczba wyników sprzyjających podzielona przez liczbę wszystkich wyników: $P = \frac{k}{n}$, gdzie $k$ - liczba wyników sprzyjających, $n$ - liczba wszystkich wyników. Wynik zwykle skracamy. Przykład: rzut kostką, zdarzenie „wypadła liczba pierwsza”. Sprzyjają wyniki 2, 3, 5, więc $P = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$. Losowanie kuli białej z pudełka z 3 białymi i 5 czarnymi kulami: $P = \frac{3}{8}$.

33.Zdarzenie pewne i zdarzenie niemożliwe

Zdarzenie pewne zachodzi przy każdym wyniku doświadczenia - sprzyjają mu wszystkie wyniki, więc jego prawdopodobieństwo jest równe 1. Zdarzenie niemożliwe nie zachodzi przy żadnym wyniku - nie sprzyja mu żaden wynik, więc jego prawdopodobieństwo jest równe 0. Prawdopodobieństwo każdego zdarzenia spełnia warunek $0 \le P \le 1$. Przykład dla rzutu kostką: „wypadło mniej niż 7 oczek” to zdarzenie pewne, $P = \frac{6}{6} = 1$; „wypadło 8 oczek” to zdarzenie niemożliwe, $P = \frac{0}{6} = 0$.

34.Rzut dwiema kostkami - 36 wyników

W rzucie dwiema kostkami wynikiem jest para liczb (liczba oczek na pierwszej kostce, liczba oczek na drugiej kostce). Z reguły mnożenia wszystkich wyników jest $6 \cdot 6 = 36$ i są one jednakowo prawdopodobne. Kostki rozróżniamy, więc (2, 5) i (5, 2) to dwa różne wyniki. Wyniki wygodnie wypisać w tabeli 6 na 6. Przykład: zdarzeniu „na obu kostkach ta sama liczba oczek” sprzyja 6 wyników: (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6), więc $P = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$.

35.Suma oczek w rzucie dwiema kostkami

Suma oczek na dwóch kostkach może być równa od 2 do 12, ale sumy nie są jednakowo prawdopodobne. Liczba wyników dających sumy 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 to odpowiednio 1, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 4, 3, 2, 1 (razem 36). Najczęstsza jest suma 7: (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1), więc $P = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$. Suma 8: (2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2) - 5 wyników, $P = \frac{5}{36}$.

36.Losowanie dwóch elementów ze zwracaniem

W losowaniu ze zwracaniem wylosowany element wraca do puli przed drugim losowaniem, więc za drugim razem wybieramy znów spośród wszystkich $n$ elementów i ten sam element może trafić się dwa razy. Wszystkich wyników (par uporządkowanych) jest $n \cdot n$. Przykład: w pudełku są 3 kule białe i 2 czarne, losujemy dwa razy ze zwracaniem. Wszystkich wyników jest $5 \cdot 5 = 25$, wyników „obie białe” jest $3 \cdot 3 = 9$, więc $P = \frac{9}{25}$. Kule różnych kolorów: $3 \cdot 2 + 2 \cdot 3 = 12$ wyników, $P = \frac{12}{25}$.

37.Losowanie dwóch elementów bez zwracania

W losowaniu bez zwracania wylosowany element nie wraca do puli, więc za drugim razem wybieramy spośród $n - 1$ elementów i ten sam element nie może trafić się dwa razy. Wszystkich wyników (par uporządkowanych) jest $n \cdot (n - 1)$. Przykład: w pudełku są 3 kule białe i 2 czarne, losujemy dwie kule bez zwracania. Wszystkich wyników jest $5 \cdot 4 = 20$, wyników „obie białe” jest $3 \cdot 2 = 6$, więc $P = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}$. Kule różnych kolorów: $3 \cdot 2 + 2 \cdot 3 = 12$ wyników, $P = \frac{12}{20} = \frac{3}{5}$.

38.Tabela i diagram słupkowy

Tabela porządkuje dane w wierszach i kolumnach - odczytujemy liczbę na przecięciu właściwego wiersza i kolumny. Diagram słupkowy pokazuje te same dane słupkami: wysokość słupka odczytana ze skali na osi to wartość dla danej kategorii, więc łatwo wskazać wartość największą i najmniejszą. Przed odczytem sprawdzamy, ile wynosi jedna podziałka osi. Przykład: oceny ze sprawdzianu - trójek 4, czwórek 10, piątek 6. Razem $4 + 10 + 6 = 20$ uczniów, najwyższy słupek mają czwórki, a dostało je $\frac{10}{20} = 50\%$ klasy.

39.Diagram kołowy - procenty i kąty

Diagram kołowy pokazuje, jaką częścią całości jest każda kategoria: całe koło to $100\%$ i kąt $360^\circ$, a wycinek jest tym większy, im większa część. Jednemu procentowi odpowiada kąt $3{,}6^\circ$, więc kąt wycinka to liczba procentów razy $3{,}6^\circ$, a procent to kąt podzielony przez $3{,}6^\circ$. Przykłady: $25\%$ to $90^\circ$ (ćwierć koła), $50\%$ to $180^\circ$, $40\%$ to $40 \cdot 3{,}6^\circ = 144^\circ$. Wycinek o kącie $54^\circ$ to $54 : 3{,}6 = 15\%$ całości.

40.Wykres w układzie współrzędnych (np. droga w zależności od czasu)

Wykres pokazuje, jak jedna wielkość zmienia się wraz z drugą. Na wykresie drogi w zależności od czasu na osi poziomej jest czas, a na pionowej - przebyta droga. Każdy punkt wykresu odczytujemy jako parę (czas, droga). Odcinek wznoszący się oznacza ruch, odcinek poziomy - postój, a im bardziej stromy odcinek, tym większa prędkość. Przykład: wykres łączy punkty (0, 0), (2, 30), (3, 30) w godzinach i kilometrach. Przez 2 h pokonano 30 km, czyli prędkość to $30 : 2 = 15~\mathrm{km/h}$, a między 2. a 3. godziną był postój.