Małopolski Konkurs Matematyczny - geometria płaska

1.Kąty przyległe - twierdzenie o sumie miar kątów przyległych

Kąty przyległe to dwa kąty, które mają wspólny wierzchołek i jedno wspólne ramię, a ich pozostałe ramiona tworzą razem prostą. Twierdzenie: suma miar kątów przyległych wynosi 180°, czyli $\alpha + \beta = 180^\circ$. Znając jeden kąt, drugi obliczasz przez odejmowanie od 180°. Przykład: kąt przyległy do kąta 130° ma $180^\circ - 130^\circ = 50^\circ$. Gdy oba kąty przyległe są równe, każdy z nich jest kątem prostym (90°).

2.Kąty wierzchołkowe - twierdzenie o równości kątów wierzchołkowych

Kąty wierzchołkowe powstają, gdy przecinają się dwie proste: mają wspólny wierzchołek, a ramiona jednego są przedłużeniami ramion drugiego. Twierdzenie: kąty wierzchołkowe mają równe miary. Uzasadnienie: oba są przyległe do tego samego kąta, więc każdy ma miarę 180° minus ten kąt. Przykład: jeśli jeden z czterech kątów przy przecięciu prostych ma 35°, to kąt wierzchołkowy też ma 35°, a dwa pozostałe mają po $180^\circ - 35^\circ = 145^\circ$.

3.Kąty odpowiadające przy prostych równoległych

Gdy trzecia prosta przecina dwie proste, kąty odpowiadające leżą po tej samej stronie prostej przecinającej i w tym samym położeniu względem przecinanych prostych (na przykład oba nad nimi). Twierdzenie o równości kątów odpowiadających: jeśli przecinane proste są równoległe, to kąty odpowiadające mają równe miary. Działa to też w drugą stronę: równe kąty odpowiadające oznaczają, że proste są równoległe. Przykład: kąt 70° przy pierwszej prostej równoległej ma kąt odpowiadający 70° przy drugiej.

4.Kąty naprzemianległe przy prostych równoległych

Kąty naprzemianległe leżą po przeciwnych stronach prostej przecinającej dwie proste: wewnętrzne - między przecinanymi prostymi, zewnętrzne - na zewnątrz nich. Twierdzenie o równości kątów naprzemianległych: jeśli przecinane proste są równoległe, to kąty naprzemianległe mają równe miary. Przykład: przy prostych równoległych kąt 110° ma kąt naprzemianległy 110°. Kąty leżące między prostymi równoległymi po tej samej stronie prostej przecinającej dają w sumie 180°, na przykład 110° i 70°.

5.Twierdzenie o sumie kątów wewnętrznych trójkąta

Suma miar kątów wewnętrznych dowolnego trójkąta wynosi 180°: $\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$. Znając dwa kąty, trzeci obliczasz przez odjęcie ich sumy od 180°. Przykład: kąty 50° i 60° dają trzeci kąt $180^\circ - (50^\circ + 60^\circ) = 70^\circ$. Wniosek: trójkąt może mieć najwyżej jeden kąt prosty albo rozwarty, a w trójkącie prostokątnym dwa kąty ostre dają razem 90°.

6.Kąt zewnętrzny trójkąta

Kąt zewnętrzny trójkąta to kąt przyległy do kąta wewnętrznego: tworzą go jeden bok i przedłużenie drugiego boku. Razem z kątem wewnętrznym przy tym samym wierzchołku ma 180°. Własność: kąt zewnętrzny jest równy sumie dwóch kątów wewnętrznych, które do niego nie przylegają. Przykład: w trójkącie o kątach 40°, 60° i 80° kąt zewnętrzny przy wierzchołku kąta 80° ma $40^\circ + 60^\circ = 100^\circ$; sprawdzenie: $180^\circ - 80^\circ = 100^\circ$.

7.Suma kątów czworokąta i wielokąta

Suma miar kątów wewnętrznych czworokąta wynosi 360°, bo przekątna dzieli go na dwa trójkąty: $2 \cdot 180^\circ$. Ogólnie suma kątów wewnętrznych wielokąta o $n$ bokach to $(n-2) \cdot 180^\circ$, bo w wielokącie wypukłym przekątne z jednego wierzchołka dzielą go na $n-2$ trójkąty. Przykłady: pięciokąt $3 \cdot 180^\circ = 540^\circ$, sześciokąt $4 \cdot 180^\circ = 720^\circ$. Wielokąt foremny ma wszystkie boki równe i wszystkie kąty równe, więc jeden kąt to suma podzielona przez $n$: w sześciokącie foremnym $720^\circ : 6 = 120^\circ$.

8.Trójkąt równoramienny - własności kątów

Trójkąt równoramienny ma dwa boki równej długości (ramiona); trzeci bok to podstawa. Kąty przy podstawie mają równe miary. Jeśli kąt między ramionami ma miarę $\alpha$, to każdy kąt przy podstawie ma $(180^\circ - \alpha) : 2$. Przykład: kąt między ramionami 40° daje kąty przy podstawie po $(180^\circ - 40^\circ) : 2 = 70^\circ$. Odwrotnie: kąty przy podstawie po 50° dają kąt między ramionami $180^\circ - 2 \cdot 50^\circ = 80^\circ$.

9.Trójkąt równoboczny i trójkąt prostokątny - własności kątów

Trójkąt równoboczny ma trzy równe boki i trzy równe kąty, każdy po $180^\circ : 3 = 60^\circ$. Trójkąt prostokątny ma jeden kąt prosty (90°); boki tworzące kąt prosty to przyprostokątne, a bok naprzeciw kąta prostego to przeciwprostokątna. Kąty ostre trójkąta prostokątnego dają razem 90°. Przykład: jeśli jeden kąt ostry ma 35°, to drugi ma $90^\circ - 35^\circ = 55^\circ$. Trójkąt prostokątny równoramienny ma kąty 45°, 45° i 90°.

10.Równoległobok, romb, prostokąt i kwadrat - własności kątów

W równoległoboku przeciwległe kąty są równe, a kąty przy jednym boku dają razem 180°. Przykład: kąt ostry 65° oznacza kąty 65°, 115°, 65°, 115°. Romb to równoległobok o czterech równych bokach: ma te same własności kątów, a jego przekątne są prostopadłe i dzielą kąty rombu na połowy. Prostokąt ma cztery kąty proste. Kwadrat to prostokąt o równych bokach: jego przekątna dzieli kąt prosty na dwa kąty po 45°.

11.Trapez i deltoid - własności kątów

Trapez to czworokąt, który ma co najmniej jedną parę boków równoległych (podstawy); pozostałe boki to ramiona. Kąty przy tym samym ramieniu dają razem 180°. Przykład: kąt 70° przy ramieniu oznacza drugi kąt przy tym ramieniu $180^\circ - 70^\circ = 110^\circ$. W trapezie równoramiennym kąty przy tej samej podstawie są równe. Deltoid ma dwie pary równych sąsiednich boków; kąty między bokami różnej długości są równe, a przekątne są prostopadłe.

12.Obwód wielokąta

Obwód wielokąta to suma długości wszystkich jego boków. Wzory dla najczęstszych figur: kwadrat i romb o boku $a$: $4a$; prostokąt i równoległobok o bokach $a$ i $b$: $2a + 2b$; trójkąt równoboczny o boku $a$: $3a$; deltoid o bokach $a$ i $b$: $2a + 2b$. Przykład: prostokąt o bokach 5 cm i 8 cm ma obwód $2 \cdot 5 + 2 \cdot 8 = 26$ cm. Obwód podajemy w jednostkach długości (cm, m), a pole - w jednostkach kwadratowych ($\mathrm{cm^2}$, $\mathrm{m^2}$).

13.Pole trójkąta

Pole trójkąta to połowa iloczynu długości boku i wysokości opuszczonej na ten bok: $P = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$. Wysokość to odcinek poprowadzony z wierzchołka prostopadle do przeciwległego boku lub jego przedłużenia. Przykład: $a = 10$ cm, $h = 6$ cm daje $P = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 6 = 30~\mathrm{cm^2}$. W trójkącie prostokątnym przyprostokątne są dla siebie podstawą i wysokością, więc pole to połowa ich iloczynu: dla 6 cm i 8 cm jest $\frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24~\mathrm{cm^2}$.

14.Pole prostokąta i pole kwadratu

Pole prostokąta o bokach $a$ i $b$ to iloczyn długości sąsiednich boków: $P = a \cdot b$. Pole kwadratu o boku $a$: $P = a^2$. Przykłady: prostokąt 4 cm na 7 cm ma pole $4 \cdot 7 = 28~\mathrm{cm^2}$, kwadrat o boku 6 cm ma pole $6^2 = 36~\mathrm{cm^2}$. Ze wzoru można wyznaczyć bok: prostokąt o polu $45~\mathrm{cm^2}$ i boku 5 cm ma drugi bok $45 : 5 = 9$ cm, a kwadrat o polu $81~\mathrm{cm^2}$ ma bok $\sqrt{81} = 9$ cm.

15.Pole równoległoboku

Pole równoległoboku to iloczyn długości boku i wysokości opuszczonej na ten bok: $P = a \cdot h$. Wysokość jest prostopadła do boku - nie należy jej mylić z długością drugiego, pochyłego boku. Przykład: bok 9 cm i wysokość 4 cm dają $P = 9 \cdot 4 = 36~\mathrm{cm^2}$. Równoległobok ma dwie długości wysokości odpowiadające dwóm parom boków. Jeśli drugi bok ma 12 cm, to wysokość opuszczona na niego wynosi $36 : 12 = 3$ cm.

16.Pole rombu

Romb jest równoległobokiem, więc $P = a \cdot h$. Drugi wzór korzysta z przekątnych $d_1$ i $d_2$, które są prostopadłe: $P = \frac{1}{2} \cdot d_1 \cdot d_2$. Przykład: przekątne 6 cm i 8 cm dają $P = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24~\mathrm{cm^2}$. Ten sam romb ma bok 5 cm (połówki przekątnych 3 cm i 4 cm tworzą trójkąt prostokątny), więc jego wysokość to $24 : 5 = 4{,}8$ cm. Wzór z przekątnymi działa też dla deltoidu i kwadratu.

17.Pole trapezu

Pole trapezu to połowa iloczynu sumy długości podstaw i wysokości: $P = \frac{1}{2} \cdot (a + b) \cdot h$, gdzie $a$ i $b$ to podstawy (boki równoległe), a $h$ to odległość między nimi. Przykład: podstawy 8 cm i 4 cm, wysokość 5 cm: $P = \frac{1}{2} \cdot (8 + 4) \cdot 5 = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 5 = 30~\mathrm{cm^2}$. Ze wzoru można wyznaczyć wysokość: $h = 2P : (a + b)$, tutaj $60 : 12 = 5$ cm.

18.Trójkąty przystające i cecha przystawania bbb (bok-bok-bok)

Trójkąty przystające mają ten sam kształt i te same wymiary: odpowiadające sobie boki są równej długości, a odpowiadające kąty mają równe miary. Jeden można nałożyć na drugi. Do stwierdzenia przystawania wystarczą trzy odpowiednie dane - to cechy przystawania trójkątów: bbb, bkb i kbk. Cecha bbb: jeśli trzy boki jednego trójkąta są równe trzem bokom drugiego, to trójkąty są przystające. Przykład: dwa trójkąty o bokach 4 cm, 5 cm i 7 cm są przystające, więc mają też równe kąty.

19.Cecha przystawania bkb (bok-kąt-bok)

Cecha bkb: jeśli dwa boki jednego trójkąta i kąt między nimi są równe dwóm bokom drugiego trójkąta i kątowi między nimi, to trójkąty są przystające. Kąt musi leżeć między tymi bokami - równość dwóch boków i innego kąta nie wystarcza. Przykład: dwa trójkąty, w których boki 5 cm i 8 cm tworzą kąt 60°, są przystające, więc mają też równe trzecie boki i równe pozostałe kąty.

20.Cecha przystawania kbk (kąt-bok-kąt)

Cecha kbk: jeśli bok jednego trójkąta i dwa kąty do niego przyległe są równe bokowi drugiego trójkąta i dwóm kątom do niego przyległym, to trójkąty są przystające. Przykład: dwa trójkąty z bokiem 6 cm i kątami 40° i 75° przy tym boku są przystające. Gdy znasz dwa kąty trójkąta, trzeci obliczysz z sumy 180°, tutaj $180^\circ - 115^\circ = 65^\circ$. Same trzy równe kąty nie dają przystawania - trójkąty mogą mieć różną wielkość.

21.Nierówność trójkąta

W trójkącie suma długości dwóch dowolnych boków jest większa od długości trzeciego boku: $a + b > c$. W praktyce wystarczy sprawdzić, czy suma dwóch krótszych odcinków jest większa od najdłuższego. Przykłady: z odcinków 3, 4 i 6 da się zbudować trójkąt, bo $3 + 4 = 7 > 6$; z odcinków 2, 3 i 6 nie, bo $2 + 3 = 5 < 6$. Dla dowolnych trzech punktów zachodzi $AB + BC \geq AC$; równość jest wtedy, gdy punkt $B$ leży na odcinku $AC$.

22.Twierdzenie Pitagorasa

W trójkącie prostokątnym suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej: $a^2 + b^2 = c^2$. Przyprostokątne $a$ i $b$ tworzą kąt prosty, przeciwprostokątna $c$ leży naprzeciw niego i jest najdłuższym bokiem. Przykład: $a = 6$, $b = 8$, więc $c^2 = 36 + 64 = 100$ i $c = 10$. Przyprostokątną obliczasz przez odejmowanie: $c = 13$, $a = 5$ daje $b^2 = 169 - 25 = 144$, czyli $b = 12$.

23.Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa

Jeśli w trójkącie o bokach $a$, $b$, $c$ zachodzi równość $a^2 + b^2 = c^2$, to trójkąt jest prostokątny, a kąt prosty leży naprzeciw boku $c$. Twierdzenie służy do sprawdzania, czy trójkąt jest prostokątny: sumę kwadratów dwóch krótszych boków porównujesz z kwadratem najdłuższego. Przykłady: boki 9, 12, 15 - $81 + 144 = 225 = 15^2$, trójkąt prostokątny; boki 4, 5, 6 - $16 + 25 = 41$, a $6^2 = 36$, więc trójkąt nie jest prostokątny.

24.Trójki pitagorejskie

Trójka pitagorejska to trzy liczby naturalne dodatnie spełniające równość $a^2 + b^2 = c^2$ - są długościami boków trójkąta prostokątnego. Najbardziej znane: 3, 4, 5 ($9 + 16 = 25$) oraz 5, 12, 13 ($25 + 144 = 169$); inne to 8, 15, 17 oraz 7, 24, 25. Pomnożenie wszystkich liczb trójki przez tę samą liczbę naturalną dodatnią daje nową trójkę: z 3, 4, 5 powstają 6, 8, 10 oraz 9, 12, 15. Znajomość trójek skraca obliczenia - przy przyprostokątnych 5 i 12 od razu wiadomo, że przeciwprostokątna ma 13.

25.Zastosowania twierdzenia Pitagorasa: przekątna prostokąta, wysokość trójkąta równoramiennego

Przekątna prostokąta dzieli go na dwa trójkąty prostokątne, więc dla boków $a$ i $b$ przekątna $d$ spełnia $d^2 = a^2 + b^2$. Przykład: prostokąt 6 cm na 8 cm ma przekątną $\sqrt{36 + 64} = 10$ cm. Wysokość trójkąta równoramiennego opuszczona na podstawę dzieli ją na połowy, więc dla ramienia $b$ i podstawy $a$ jest $h^2 = b^2 - (\frac{a}{2})^2$. Przykład: ramiona 5 cm, podstawa 6 cm: $h = \sqrt{25 - 9} = 4$ cm, a pole to $\frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 = 12~\mathrm{cm^2}$.

26.Trójkąt prostokątny równoramienny (45°, 45°, 90°)

Trójkąt prostokątny równoramienny ma kąty 45°, 45° i 90°. Jego przyprostokątne są równe, a boki mają długości $a$, $a$, $a\sqrt{2}$ - przeciwprostokątna jest $\sqrt{2}$ razy dłuższa od przyprostokątnej. Wynika to z twierdzenia Pitagorasa: $a^2 + a^2 = 2a^2$. Przykład: przyprostokątne po 3 cm dają przeciwprostokątną $3\sqrt{2}$ cm (około 4,24 cm). Odwrotnie: przeciwprostokątna 10 cm oznacza przyprostokątną $\frac{10}{\sqrt{2}} = 5\sqrt{2}$ cm.

27.Przekątna kwadratu

Przekątna kwadratu o boku $a$ ma długość $d = a\sqrt{2}$. Przekątna dzieli kwadrat na dwa trójkąty prostokątne równoramienne o kątach 45°, 45°, 90°, więc $d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$. Przykład: kwadrat o boku 5 cm ma przekątną $5\sqrt{2}$ cm, czyli około 7,07 cm. Odwrotnie: z przekątnej wyznaczasz bok $a = \frac{d}{\sqrt{2}}$, a pole kwadratu to $P = \frac{d^2}{2}$; dla $d = 8$ cm pole wynosi $\frac{64}{2} = 32~\mathrm{cm^2}$.

28.Trójkąt o kątach 30°, 60°, 90°

Trójkąt o kątach 30°, 60°, 90° to połowa trójkąta równobocznego. Jego boki mają długości $a$, $a\sqrt{3}$, $2a$: krótsza przyprostokątna $a$ leży naprzeciw kąta 30°, dłuższa przyprostokątna $a\sqrt{3}$ naprzeciw kąta 60°, a przeciwprostokątna $2a$ jest dwa razy dłuższa od krótszej przyprostokątnej. Przykład: przeciwprostokątna 10 cm oznacza przyprostokątne 5 cm i $5\sqrt{3}$ cm. Sprawdzenie: $5^2 + (5\sqrt{3})^2 = 25 + 75 = 100 = 10^2$.

29.Wysokość i pole trójkąta równobocznego

Trójkąt równoboczny o boku $a$ ma wysokość $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$ i pole $P = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$. Wysokość dzieli go na dwa trójkąty o kątach 30°, 60°, 90°, stąd pierwiastek z 3. Przykład: $a = 4$ cm daje $h = \frac{4\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$ cm oraz $P = \frac{16\sqrt{3}}{4} = 4\sqrt{3}~\mathrm{cm^2}$. Sprawdzenie ze wzoru $\frac{1}{2} \cdot a \cdot h$: $\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$.

30.Okrąg i koło: promień, średnica, cięciwa

Okrąg to zbiór wszystkich punktów płaszczyzny położonych w tej samej odległości $r$ od środka. Koło to okrąg razem z jego wnętrzem. Promień to odcinek łączący środek z punktem okręgu (i długość tego odcinka). Cięciwa to odcinek łączący dwa punkty okręgu. Średnica to cięciwa przechodząca przez środek - najdłuższa z cięciw, o długości $d = 2r$. Przykład: okrąg o promieniu 4 cm ma średnicę 8 cm, a każda cięciwa, która nie przechodzi przez środek, jest krótsza niż 8 cm.

31.Liczba $\pi$ i długość okręgu

Liczba $\pi$ to stosunek długości okręgu do jego średnicy - taki sam dla każdego okręgu. Jest liczbą niewymierną, w przybliżeniu $\pi \approx 3{,}14$ (czasem przyjmuje się $\frac{22}{7}$). Długość okręgu o promieniu $r$: $L = 2\pi r$, czyli $L = \pi d$ dla średnicy $d$. Przykład: $r = 5$ cm daje $L = 10\pi$ cm, około 31,4 cm. Odwrotnie: z długości wyznaczasz promień $r = \frac{L}{2\pi}$; okrąg o długości $12\pi$ cm ma promień 6 cm.

32.Pole koła

Pole koła o promieniu $r$: $P = \pi r^2$. Do wzoru wstawiasz promień, nie średnicę - gdy dana jest średnica, najpierw podziel ją przez 2. Przykład: koło o średnicy 6 cm ma promień 3 cm i pole $\pi \cdot 3^2 = 9\pi~\mathrm{cm^2}$, około $28{,}26~\mathrm{cm^2}$. Odwrotnie: koło o polu $49\pi~\mathrm{cm^2}$ ma $r^2 = 49$, czyli promień 7 cm i średnicę 14 cm. Promień dwa razy dłuższy daje pole cztery razy większe.

33.Kąt środkowy i długość łuku okręgu

Kąt środkowy to kąt, którego wierzchołkiem jest środek okręgu, a ramiona zawierają promienie. Wyznacza on na okręgu łuk. Długość łuku to taka część długości okręgu, jaką częścią kąta pełnego jest kąt środkowy $\alpha$: $\frac{\alpha}{360^\circ} \cdot 2\pi r$. Przykład: $r = 9$ cm, $\alpha = 120^\circ$: $\frac{120^\circ}{360^\circ} = \frac{1}{3}$, więc łuk ma $\frac{1}{3} \cdot 18\pi = 6\pi$ cm. Kąt 180° wyznacza półokrąg, a 90° - ćwierć okręgu.

34.Pole wycinka koła

Wycinek koła to część koła ograniczona dwoma promieniami i łukiem między nimi (kształt kawałka pizzy). Jego pole to odpowiednia część pola koła: $\frac{\alpha}{360^\circ} \cdot \pi r^2$, gdzie $\alpha$ to kąt środkowy wycinka. Przykład: $r = 6$ cm, $\alpha = 60^\circ$: $\frac{60^\circ}{360^\circ} = \frac{1}{6}$, więc pole to $\frac{1}{6} \cdot 36\pi = 6\pi~\mathrm{cm^2}$. Dla $\alpha = 90^\circ$ wycinek jest ćwiartką koła, a dla $\alpha = 180^\circ$ - półkolem.

35.Symetralna odcinka

Symetralna odcinka to prosta prostopadła do odcinka, która przechodzi przez jego środek. Dzieli odcinek na dwie równe części i jest jego osią symetrii. Przykład: symetralna odcinka o długości 10 cm przecina go pod kątem prostym w punkcie odległym o 5 cm od każdego końca. Konstrukcja cyrklem: z obu końców odcinka kreślisz łuki o tym samym promieniu, większym niż połowa odcinka; prosta przechodząca przez dwa punkty przecięcia łuków to symetralna.

36.Własność symetralnej odcinka

Każdy punkt symetralnej odcinka jest równo odległy od obu końców tego odcinka: jeśli $P$ leży na symetralnej odcinka $KL$, to $PK = PL$. I odwrotnie - punkt równo odległy od końców odcinka leży na jego symetralnej. Symetralna to zbiór wszystkich punktów równo odległych od końców odcinka. Przykład: odcinek $KL$ ma 6 cm, punkt $P$ leży na symetralnej 4 cm od środka odcinka; wtedy $PK = PL = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$ cm.

37.Dwusieczna kąta i jej własność

Dwusieczna kąta to półprosta wychodząca z wierzchołka kąta, która dzieli go na dwa kąty o równych miarach. Przykład: dwusieczna kąta 70° dzieli go na dwa kąty po 35°. Własność: każdy punkt dwusiecznej jest równo odległy od ramion kąta (odległość mierzymy wzdłuż odcinka prostopadłego do ramienia). Jeśli punkt dwusiecznej leży 3 cm od jednego ramienia, to od drugiego też 3 cm. Prosta zawierająca dwusieczną jest osią symetrii kąta.

38.Trójkąty podobne i skala podobieństwa

Trójkąty podobne mają ten sam kształt, ale mogą mieć różną wielkość: odpowiadające kąty są równe, a odpowiadające boki proporcjonalne. Skala podobieństwa $k$ to stosunek długości boku jednego trójkąta do długości odpowiadającego boku drugiego. Przykład: trójkąt o bokach 6, 8, 10 jest podobny do trójkąta o bokach 3, 4, 5 w skali $k = \frac{6}{3} = \frac{8}{4} = \frac{10}{5} = 2$. Obwody też są w stosunku $k$: 24 i 12. Skala $k = 1$ oznacza trójkąty przystające.

39.Cecha podobieństwa trójkątów kkk (kąt-kąt)

Cecha kkk: jeśli kąty jednego trójkąta są równe kątom drugiego trójkąta, to trójkąty są podobne. Wystarczy sprawdzić dwie pary kątów (stąd nazwa kąt-kąt), bo trzeci kąt wynika z sumy 180°. Przykład: trójkąt o kątach 40° i 65° oraz trójkąt o kątach 65° i 75° są podobne - trzecie kąty to $180^\circ - 105^\circ = 75^\circ$ i $180^\circ - 140^\circ = 40^\circ$, więc oba mają kąty 40°, 65°, 75°. Dwa trójkąty prostokątne z równym kątem ostrym też są podobne.

40.Cechy podobieństwa trójkątów bkb i bbb

Cecha bbb: jeśli trzy boki jednego trójkąta są proporcjonalne do trzech boków drugiego, to trójkąty są podobne. Przykład: boki 4, 5, 6 oraz 8, 10, 12 - każdy stosunek wynosi 2. Cecha bkb: jeśli dwa boki jednego trójkąta są proporcjonalne do dwóch boków drugiego, a kąty między tymi bokami są równe, to trójkąty są podobne. Przykład: boki 3 i 5 z kątem 50° między nimi oraz boki 6 i 10 z kątem 50° między nimi - skala 2. W przystawaniu boki mają być równe, w podobieństwie - proporcjonalne.