Małopolski Konkurs Matematyczny - algebra, równania, nierówności

1.Wyrażenie algebraiczne

Zapis złożony z liczb, liter (zmiennych) i znaków działań, np. $3x + 5$, $2ab$, $\frac{x - 1}{2}$. Litery zastępują liczby, których jeszcze nie znamy albo które mogą się zmieniać. Wyrażeniem zapisujemy zależności: obwód prostokąta o bokach $a$ i $b$ to $2a + 2b$, a cena $n$ zeszytów po $4$ zł to $4n$ zł. Znak mnożenia między liczbą a literą zwykle pomijamy: $4 \cdot n = 4n$. Nazwę wyrażenia bierzemy od ostatniego działania: $x + 5$ to suma, $3x$ to iloczyn, $\frac{a}{2}$ to iloraz.

2.Wartość liczbowa wyrażenia

Liczba, którą otrzymujemy po wstawieniu konkretnych liczb w miejsce zmiennych i wykonaniu działań. Przykład: dla $x = -2$ wyrażenie $3x^2 - 4x + 1$ ma wartość $3 \cdot (-2)^2 - 4 \cdot (-2) + 1 = 12 + 8 + 1 = 21$. Liczbę ujemną wstawiamy w nawiasie: $(-2)^2 = 4$, a $-2^2 = -4$. Przy kilku zmiennych podstawiamy każdą osobno: dla $a = 3$ i $b = -1$ wyrażenie $2a - 5b$ ma wartość $6 + 5 = 11$.

3.Jednomian

Wyrażenie, które jest liczbą, zmienną albo iloczynem liczb i zmiennych, np. $7$, $x$, $-3ab$, $\frac{1}{2}x^2y$. Nie ma w nim dodawania ani odejmowania. Jednomian porządkujemy: mnożymy liczby i zapisujemy wynik na początku, litery ustawiamy alfabetycznie, a jednakowe litery zapisujemy jako potęgę. Przykłady: $2a \cdot 3b \cdot a = 6a^2b$ oraz $x \cdot (-4) \cdot y \cdot x = -4x^2y$.

4.Współczynnik liczbowy jednomianu

Czynnik liczbowy stojący na początku uporządkowanego jednomianu. W jednomianie $6a^2b$ współczynnikiem jest $6$, a w $-\frac{2}{3}xy$ jest nim $-\frac{2}{3}$. Gdy liczby nie widać, współczynnik wynosi $1$ albo $-1$: $x = 1 \cdot x$, $-ab = -1 \cdot ab$ - jedynki nie zapisujemy. Jeśli współczynnik jest równy $0$, cały jednomian jest równy $0$, np. $0 \cdot x^2 = 0$.

5.Jednomiany podobne (wyrazy podobne)

Jednomiany, które różnią się najwyżej współczynnikiem liczbowym, czyli mają te same zmienne w tych samych potęgach. Podobne są $3x^2y$ i $-5x^2y$ oraz $4ab$ i $ba$ (kolejność czynników nie ma znaczenia). Nie są podobne $2x$ i $2x^2$ ani $3ab$ i $3a$. Liczby bez liter, np. $7$ i $-2$, też są wyrazami podobnymi. Jednomiany podobne można dodać w jeden jednomian: $3x^2y - 5x^2y = -2x^2y$.

6.Suma algebraiczna

Wyrażenie powstałe przez dodanie jednomianów; te jednomiany to wyrazy sumy. Odejmowanie traktujemy jak dodawanie liczby przeciwnej, więc $2x - 3y + 5 = 2x + (-3y) + 5$ ma wyrazy $2x$, $-3y$ i $5$. Znak należy do wyrazu, który po nim stoi. Suma dwóch wyrazów to dwumian, np. $a + 4$, a trzech - trójmian, np. $x^2 - 2x + 1$. Wyrazy można przestawiać razem z ich znakami: $5 - 3y + 2x = 2x - 3y + 5$.

7.Redukcja wyrazów podobnych

Zastąpienie wyrazów podobnych jednym wyrazem: dodajemy współczynniki, a część literową przepisujemy bez zmian. Przykład: $5x + 3y - 2x + 4y = (5 - 2)x + (3 + 4)y = 3x + 7y$. Wyrazów niepodobnych nie łączymy, więc $3x + 7y$ zostaje w tej postaci. Inny przykład: $4a^2 - a + 2a^2 + 6a - 3 = 6a^2 + 5a - 3$. Gdy współczynniki dają zero, wyraz znika: $2b - 2b = 0$.

8.Dodawanie i odejmowanie sum algebraicznych - opuszczanie nawiasów

Gdy przed nawiasem stoi plus (albo nie stoi nic), opuszczamy nawias bez zmiany znaków. Gdy stoi minus, zmieniamy znak każdego wyrazu w nawiasie na przeciwny. Potem redukujemy wyrazy podobne. Dodawanie: $(3x + 2) + (x - 5) = 3x + 2 + x - 5 = 4x - 3$. Odejmowanie: $(3x + 2) - (x - 5) = 3x + 2 - x + 5 = 2x + 7$. Sprawdzenie odejmowania dla $x = 1$: $5 - (-4) = 9$ oraz $2 + 7 = 9$.

9.Mnożenie sumy algebraicznej przez jednomian

Każdy wyraz sumy mnożymy przez ten jednomian (rozdzielność mnożenia względem dodawania): $a(b + c) = ab + ac$. Przykład: $3x(2x - 5) = 6x^2 - 15x$. Mnożąc przez jednomian ujemny, zmieniamy znaki wszystkich wyrazów: $-2(a - 4b + 1) = -2a + 8b - 2$. Sprawdzenie pierwszego przykładu dla $x = 2$: $6 \cdot (4 - 5) = -6$ oraz $24 - 30 = -6$.

10.Dodawanie wyrażeń powstałych z mnożenia sum przez jednomiany

Najpierw wymnażamy każdy nawias przez jego jednomian, potem redukujemy wyrazy podobne. Przykład: $2(3x + 1) - 4(x - 2) = 6x + 2 - 4x + 8 = 2x + 10$. Uwaga na minus przed drugim nawiasem: $-4 \cdot (-2) = 8$. Inny przykład: $x(x + 3) + 2(x^2 - x) = x^2 + 3x + 2x^2 - 2x = 3x^2 + x$. Sprawdzenie pierwszego przykładu dla $x = 1$: $2 \cdot 4 - 4 \cdot (-1) = 12$ oraz $2 + 10 = 12$.

11.Mnożenie dwumianu przez dwumian

Każdy wyraz pierwszego nawiasu mnożymy przez każdy wyraz drugiego: $(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd$. Powstają cztery iloczyny, które potem redukujemy. Przykład: $(x + 3)(x - 5) = x^2 - 5x + 3x - 15 = x^2 - 2x - 15$. Inny przykład: $(2a - 1)(a + 4) = 2a^2 + 8a - a - 4 = 2a^2 + 7a - 4$. Sprawdzenie pierwszego dla $x = 1$: $4 \cdot (-4) = -16$ oraz $1 - 2 - 15 = -16$.

12.Wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias

Zamiana sumy na iloczyn - działanie odwrotne do mnożenia sumy przez jednomian: $ab + ac = a(b + c)$. Szukamy czynnika, przez który dzieli się każdy wyraz, zapisujemy go przed nawiasem, a w nawiasie zostawiamy wyniki dzielenia. Przykład: $6x + 9 = 3(2x + 3)$, bo $6x : 3 = 2x$ i $9 : 3 = 3$. Z literą: $4a^2 - 6a = 2a(2a - 3)$. Wynik sprawdzamy, wymnażając nawias z powrotem.

13.Największy wspólny czynnik i wyłączanie minusa przed nawias

Przed nawias najlepiej wyłączyć największy wspólny czynnik: największy wspólny dzielnik współczynników i każdą wspólną zmienną w najniższej potędze. Przykład: $12x^2y - 18xy^2 = 6xy(2x - 3y)$. Gdy wyłączamy cały wyraz, w nawiasie zostaje po nim $1$: $5a + 5 = 5(a + 1)$. Wyłączając liczbę ujemną, zmieniamy wszystkie znaki w nawiasie: $-2x + 8 = -2(x - 4)$.

14.Ułamek algebraiczny

Ułamek, w którego liczniku lub mianowniku występuje wyrażenie algebraiczne, np. $\frac{6x + 9}{3}$, $\frac{a - b}{2}$, $\frac{5}{x}$. Kreska ułamkowa zastępuje dzielenie i nawias: $\frac{6x + 9}{3} = (6x + 9) : 3$. Mianownik nie może być równy $0$, więc $\frac{5}{x}$ ma sens tylko dla $x$ różnego od zera. Wartość liczymy przez podstawienie: dla $x = 2$ ułamek $\frac{6x + 9}{3}$ ma wartość $\frac{21}{3} = 7$.

15.Skracanie ułamka algebraicznego

Licznik i mianownik dzielimy przez ten sam czynnik różny od zera. Skracać wolno tylko czynnik całego licznika i całego mianownika, dlatego najpierw wyłączamy wspólny czynnik przed nawias: $\frac{6x + 9}{3} = \frac{3(2x + 3)}{3} = 2x + 3$. Inny przykład: $\frac{4a - 8}{6} = \frac{4(a - 2)}{6} = \frac{2(a - 2)}{3}$. Błędem jest skrócenie tylko jednego wyrazu sumy: $\frac{6x + 9}{3}$ to nie $2x + 9$. Sprawdzenie dla $x = 1$: $\frac{15}{3} = 5$ oraz $2 + 3 = 5$.

16.Kwadrat sumy

$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Kwadrat sumy dwóch wyrażeń to kwadrat pierwszego, plus podwojony iloczyn obu, plus kwadrat drugiego. Wzór wynika z mnożenia dwumianów: $(a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2$. Przykłady: $(x + 5)^2 = x^2 + 10x + 25$ oraz $(2a + 3)^2 = 4a^2 + 12a + 9$. Sprawdzenie pierwszego dla $x = 1$: $6^2 = 36$ oraz $1 + 10 + 25 = 36$.

17.Kwadrat różnicy

$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Od kwadratu sumy różni się tylko znakiem środkowego wyrazu; ostatni wyraz $b^2$ jest dodawany, bo $(-b) \cdot (-b) = b^2$. Przykłady: $(x - 4)^2 = x^2 - 8x + 16$ oraz $(3a - 2)^2 = 9a^2 - 12a + 4$. Sprawdzenie pierwszego dla $x = 1$: $(-3)^2 = 9$ oraz $1 - 8 + 16 = 9$. Warto pamiętać, że $(a - b)^2 = (b - a)^2$, bo liczby przeciwne mają równe kwadraty.

18.Różnica kwadratów

$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$. Iloczyn różnicy i sumy tych samych dwóch wyrażeń daje różnicę ich kwadratów - wyrazy środkowe $ab$ i $-ab$ się znoszą. Wzór działa w obie strony: $(x - 3)(x + 3) = x^2 - 9$ oraz $4a^2 - 25 = (2a - 5)(2a + 5)$. Sprawdzenie dla $x = 5$: $2 \cdot 8 = 16$ oraz $25 - 9 = 16$. Sumy kwadratów $a^2 + b^2$ tym wzorem nie rozłożymy.

19.Wzory skróconego mnożenia w rachunku pamięciowym

Liczbę zapisujemy jako sumę lub różnicę z okrągłą liczbą i stosujemy wzór. Kwadrat sumy: $31^2 = (30 + 1)^2 = 900 + 60 + 1 = 961$. Kwadrat różnicy: $49^2 = (50 - 1)^2 = 2500 - 100 + 1 = 2401$. Różnica kwadratów: $47 \cdot 53 = (50 - 3)(50 + 3) = 2500 - 9 = 2491$ oraz $65^2 - 35^2 = (65 - 35)(65 + 35) = 30 \cdot 100 = 3000$.

20.Typowy błąd: kwadrat sumy to nie suma kwadratów

Wyrażenie $(a + b)^2$ nie jest równe $a^2 + b^2$ - brakuje podwojonego iloczynu $2ab$. Widać to na liczbach: $(3 + 4)^2 = 7^2 = 49$, a $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$; różnica $24$ to właśnie $2 \cdot 3 \cdot 4$. Tak samo $(a - b)^2$ nie jest równe $a^2 - b^2$: $(5 - 2)^2 = 9$, a $5^2 - 2^2 = 21$. Równość $(a + b)^2 = a^2 + b^2$ zachodzi tylko wtedy, gdy $a = 0$ lub $b = 0$.

21.Równanie pierwszego stopnia z jedną niewiadomą

Równość dwóch wyrażeń, w której niewiadoma (np. $x$) występuje tylko w pierwszej potędze. Przykłady: $2x + 3 = 11$, $5 - x = 3x + 1$. Po uporządkowaniu ma postać $ax + b = 0$, gdzie $a$ jest liczbą różną od zera, i wtedy ma dokładnie jedno rozwiązanie $x = -\frac{b}{a}$. Przykład: $2x + 3 = 11$ to inaczej $2x - 8 = 0$, stąd $x = 4$. Równaniem pierwszego stopnia nie jest $x^2 = 9$, bo niewiadoma jest w drugiej potędze.

22.Rozwiązanie (pierwiastek) równania

Liczba, która wstawiona w miejsce niewiadomej zamienia równanie w równość prawdziwą - mówimy, że spełnia równanie. Sprawdzamy to, licząc osobno lewą stronę ($L$) i prawą ($P$). Dla równania $2x + 3 = 11$ i $x = 4$: $L = 2 \cdot 4 + 3 = 11$, $P = 11$, więc $L = P$ i liczba $4$ jest rozwiązaniem. Liczba $5$ nim nie jest, bo wtedy $L = 13$. Tak samo sprawdzamy liczbę w równaniu wyższego stopnia: $-2$ spełnia $x^3 + 8 = 0$, bo $(-2)^3 + 8 = 0$.

23.Metoda równań równoważnych

Równania równoważne mają te same rozwiązania. Równanie zastępujemy kolejnymi, coraz prostszymi równaniami równoważnymi, wykonując to samo działanie po obu stronach: dodajemy lub odejmujemy to samo wyrażenie albo mnożymy lub dzielimy obie strony przez tę samą liczbę różną od zera. Przykład: $5x - 7 = 2x + 8$; odejmujemy $2x$: $3x - 7 = 8$; dodajemy $7$: $3x = 15$; dzielimy przez $3$: $x = 5$. Sprawdzenie: $L = 18$, $P = 18$.

24.Równanie sprzeczne i równanie tożsamościowe

Równanie sprzeczne nie ma żadnego rozwiązania: po przekształceniach niewiadoma znika i zostaje równość fałszywa. Przykład: $2x + 3 = 2x + 5$ daje $3 = 5$, czyli $0 \cdot x = 2$. Równanie tożsamościowe spełnia każda liczba: zostaje równość prawdziwa. Przykład: $3(x + 2) = 3x + 6$ daje $6 = 6$, czyli $0 \cdot x = 0$. Równanie $2x = 0$ nie jest ani sprzeczne, ani tożsamościowe - ma jedno rozwiązanie $x = 0$.

25.Równanie z nawiasami i ułamkami sprowadzane do pierwszego stopnia

Porządkujemy je w stałej kolejności: mnożymy obie strony przez wspólny mianownik, opuszczamy nawiasy, redukujemy wyrazy podobne, przenosimy niewiadome na jedną stronę, a liczby na drugą i dzielimy przez współczynnik przy niewiadomej. Przykład: $\frac{x + 1}{2} = \frac{x}{3} + 1$; mnożymy przez $6$: $3(x + 1) = 2x + 6$, czyli $3x + 3 = 2x + 6$, stąd $x = 3$. Sprawdzenie: $L = \frac{4}{2} = 2$, $P = 1 + 1 = 2$.

26.Zapisywanie treści zadania równaniem lub wyrażeniem arytmetycznym

Szukaną wielkość oznaczamy literą, pozostałe wielkości wyrażamy przez nią i zapisujemy równość opisaną w treści. Przykład: Ola ma $x$ lat, mama jest od niej $3$ razy starsza, razem mają $48$ lat: $x + 3x = 48$, więc $x = 12$ (Ola $12$ lat, mama $36$). Gdy wszystkie dane są liczbami, wystarcza wyrażenie arytmetyczne: koszt $3$ zeszytów po $4$ zł i długopisu za $5$ zł to $3 \cdot 4 + 5 = 17$ zł. Wynik sprawdzamy z treścią zadania.

27.Liczba parzysta $2n$ i liczba nieparzysta $2n + 1$

Liczbę parzystą zapisujemy jako $2n$, a nieparzystą jako $2n + 1$, gdzie $n$ jest liczbą całkowitą. Dla $n = 7$ to $14$ i $15$. Wyrażenia algebraiczne pozwalają zapisywać informacje i uogólniać spostrzeżenia. Suma dwóch liczb nieparzystych jest parzysta: $(2n + 1) + (2k + 1) = 2n + 2k + 2 = 2(n + k + 1)$. Podobnie liczbę podzielną przez $3$ zapisujemy jako $3n$, a liczbę, która przy dzieleniu przez $5$ daje resztę $2$, jako $5n + 2$.

28.Kolejne liczby naturalne w zapisie algebraicznym

Kolejne liczby naturalne różnią się o $1$: $n$, $n + 1$, $n + 2$. Kolejne liczby parzyste i kolejne liczby nieparzyste różnią się o $2$: $2n$, $2n + 2$, $2n + 4$ oraz $2n + 1$, $2n + 3$. Uogólnienie spostrzeżenia: suma trzech kolejnych liczb naturalnych to $n + (n + 1) + (n + 2) = 3n + 3 = 3(n + 1)$, więc dzieli się przez $3$. Na liczbach: $7 + 8 + 9 = 24 = 3 \cdot 8$.

29.Nierówność liniowa z jedną niewiadomą

Dwa wyrażenia z niewiadomą w pierwszej potędze połączone jednym ze znaków $<$, $>$, $\le$, $\ge$, np. $2x - 3 < 7$. Rozwiązaniem jest każda liczba, która spełnia nierówność - zwykle jest ich nieskończenie wiele. Rozwiązujemy podobnie jak równanie: $2x - 3 < 7$; dodajemy $3$: $2x < 10$; dzielimy przez $2$: $x < 5$. Sprawdzenie: $x = 4$ daje $5 < 7$ (prawda), $x = 6$ daje $9 < 7$ (fałsz), a $x = 5$ daje $7 < 7$ (fałsz).

30.Nierówność ostra i nierówność nieostra

Nierówność ostra ma znak $<$ albo $>$ - liczba graniczna nie należy do rozwiązań. Nierówność nieostra ma znak $\le$ (mniejsze lub równe, czyli nie większe) albo $\ge$ (większe lub równe, czyli nie mniejsze) - liczba graniczna należy do rozwiązań. Przykład: liczba $3$ spełnia nierówność $x \ge 3$, ale nie spełnia $x > 3$. Sformułowanie „co najmniej $5$” zapisujemy $x \ge 5$, a „mniej niż $5$” zapisujemy $x < 5$.

31.Zmiana zwrotu nierówności

Gdy obie strony nierówności mnożymy lub dzielimy przez liczbę ujemną, zmieniamy zwrot nierówności na przeciwny: $<$ na $>$, a $\le$ na $\ge$. Przykład: $-3x < 12$; dzielimy przez $-3$: $x > -4$. Sprawdzenie: $x = 0$ daje $0 < 12$ (prawda), a $x = -5$ daje $15 < 12$ (fałsz). Na liczbach: $2 < 5$, ale po pomnożeniu przez $-1$ mamy $-2 > -5$. Dodawanie i odejmowanie tej samej liczby oraz mnożenie i dzielenie przez liczbę dodatnią zwrotu nie zmieniają.

32.Zbiór rozwiązań nierówności na osi liczbowej

Zbiór rozwiązań nierówności liniowej to zwykle półprosta, którą zaznaczamy na osi liczbowej. Liczbę graniczną oznaczamy kółkiem zamalowanym, gdy należy do zbioru ($\le$, $\ge$), a pustym, gdy nie należy ($<$, $>$). Od kółka prowadzimy linię w prawo dla liczb większych, w lewo dla mniejszych. Przykład: $x \ge 1{,}5$ - zamalowane kółko w $1{,}5$ i linia w prawo; $x < -2$ - puste kółko w $-2$ i linia w lewo.

33.Układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi

Dwa równania pierwszego stopnia z tymi samymi niewiadomymi $x$ i $y$, spięte klamrą. Rozwiązaniem jest para liczb $(x, y)$, która spełnia oba równania jednocześnie. Przykład: układ $x + y = 7$ i $x - y = 1$ ma rozwiązanie $x = 4$, $y = 3$, bo $4 + 3 = 7$ i $4 - 3 = 1$. Para $x = 5$, $y = 2$ spełnia tylko pierwsze równanie ($5 - 2 = 3$), więc rozwiązaniem układu nie jest.

34.Metoda podstawiania

Z jednego równania wyznaczamy jedną niewiadomą i wstawiamy otrzymane wyrażenie do drugiego równania - powstaje równanie z jedną niewiadomą. Przykład: $y = 2x - 1$ i $3x + y = 9$. Podstawiamy: $3x + (2x - 1) = 9$, czyli $5x = 10$, $x = 2$. Wtedy $y = 2 \cdot 2 - 1 = 3$. Sprawdzenie w drugim równaniu: $3 \cdot 2 + 3 = 9$. Metoda jest wygodna, gdy przy jednej z niewiadomych stoi współczynnik $1$ albo $-1$.

35.Metoda przeciwnych współczynników

Równania mnożymy przez takie liczby, aby przy jednej niewiadomej stały współczynniki przeciwne, np. $3$ i $-3$. Potem dodajemy równania stronami i ta niewiadoma znika. Przykład: $2x + 3y = 12$ i $x - y = 1$. Drugie równanie mnożymy przez $3$: $3x - 3y = 3$. Dodajemy stronami: $5x = 15$, $x = 3$. Z równania $x - y = 1$ mamy $y = 2$. Sprawdzenie: $2 \cdot 3 + 3 \cdot 2 = 12$ i $3 - 2 = 1$.

36.Układ oznaczony, nieoznaczony i sprzeczny

Układ oznaczony ma dokładnie jedno rozwiązanie (jedną parę liczb), np. $x + y = 5$ i $x - y = 1$ daje $x = 3$, $y = 2$. Układ nieoznaczony ma nieskończenie wiele rozwiązań - oba równania mówią to samo, np. $x + y = 5$ i $2x + 2y = 10$; po przekształceniach wychodzi $0 = 0$. Układ sprzeczny nie ma rozwiązań - równania sobie przeczą, np. $x + y = 5$ i $x + y = 7$; po odjęciu stronami wychodzi równość fałszywa $0 = 2$.

37.Układ równań w zadaniu tekstowym

Dwie szukane wielkości oznaczamy $x$ i $y$, a dwie informacje z treści zapisujemy jako dwa równania. Przykład: za $2$ bułki i $1$ rogalik zapłacono $7$ zł, a za $1$ bułkę i $1$ rogalik - $5$ zł. Układ: $2x + y = 7$ i $x + y = 5$. Odejmując równania stronami, otrzymujemy $x = 2$, a wtedy $y = 3$: bułka kosztuje $2$ zł, rogalik $3$ zł. Sprawdzenie: $2 \cdot 2 + 3 = 7$ i $2 + 3 = 5$.

38.Środek odcinka w układzie współrzędnych

Środek $S$ odcinka o końcach $(x_1, y_1)$ i $(x_2, y_2)$ ma współrzędne $S = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$ - to średnie arytmetyczne odpowiednich współrzędnych końców. Przykład: dla $P = (1, 2)$ i $Q = (5, 4)$ środek to $S = \left(\frac{1 + 5}{2}, \frac{2 + 4}{2}\right) = (3, 3)$. Współrzędne środka nie muszą być całkowite: dla końców $(0, 0)$ i $(3, 1)$ środkiem jest $\left(\frac{3}{2}, \frac{1}{2}\right)$.

39.Drugi koniec odcinka przy danym końcu i środku

Jeśli $S = (x_S, y_S)$ jest środkiem odcinka o końcu $P = (x_1, y_1)$, to drugi koniec $Q$ ma współrzędne $x_2 = 2x_S - x_1$ i $y_2 = 2y_S - y_1$. Wynika to ze wzoru na środek: $\frac{x_1 + x_2}{2} = x_S$. Przykład: $P = (1, 2)$, $S = (3, 5)$, więc $Q = (2 \cdot 3 - 1, 2 \cdot 5 - 2) = (5, 8)$. Sprawdzenie: środek odcinka o końcach $(1, 2)$ i $(5, 8)$ to $\left(\frac{6}{2}, \frac{10}{2}\right) = (3, 5)$.

40.Długość odcinka o końcach w punktach kratowych

Punkt kratowy ma obie współrzędne całkowite. Odcinek ukośny jest przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych równoległych do osi; ich długości to wartości bezwzględne różnic współrzędnych końców. Z twierdzenia Pitagorasa: $d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$. Przykład: $P = (1, 2)$, $Q = (4, 6)$: przyprostokątne $3$ i $4$, $d^2 = 9 + 16 = 25$, $d = 5$. Dla końców $(0, 0)$ i $(2, 3)$: $d^2 = 4 + 9 = 13$, $d = \sqrt{13}$.