Wojewódzki Konkurs Matematyczny (wielkopolskie) - bryły i statystyka

1.Bryła: wielościan i bryła obrotowa

Bryła to część przestrzeni ograniczona powierzchnią, np. pudełko albo piłka. Wielościan to bryła ograniczona wyłącznie wielokątami (ścianami) - należą do nich graniastosłupy (np. prostopadłościan i sześcian) oraz ostrosłupy. Bryły obrotowe powstają przez obrót figury płaskiej wokół prostej i mają powierzchnię zakrzywioną: walec, stożek i kula. Przykład: kostka do gry przypomina sześcian (wielościan), puszka - walec, a piłka - kulę (bryły obrotowe).

2.Ściany, krawędzie i wierzchołki wielościanu

Ściany to wielokąty ograniczające wielościan. Krawędź to bok ściany - odcinek, w którym stykają się dwie ściany. Wierzchołek to punkt, w którym spotykają się co najmniej trzy krawędzie. W graniastosłupie i ostrosłupie rozróżniamy krawędzie podstawy i krawędzie boczne. Przykład: sześcian ma $6$ ścian, $12$ krawędzi i $8$ wierzchołków. Sprawdzenie krawędzi: każda z $6$ ścian ma $4$ boki, a każda krawędź należy do dwóch ścian, więc $6 \cdot 4 : 2 = 12$.

3.Wysokość bryły i wysokość ściany bocznej

Wysokość graniastosłupa ($H$) to odcinek prostopadły do obu podstaw, łączący ich płaszczyzny; w graniastosłupie prostym jest równa krawędzi bocznej. Wysokość ostrosłupa ($H$) to odcinek poprowadzony z wierzchołka ostrosłupa prostopadle do płaszczyzny podstawy. Wysokość ściany bocznej ostrosłupa ($h$) to wysokość trójkąta - ściany bocznej - opuszczona z wierzchołka ostrosłupa na krawędź podstawy. To dwa różne odcinki: w ostrosłupie prawidłowym $h$ jest dłuższa niż $H$. Przykład: graniastosłup prosty o krawędzi bocznej $7~\mathrm{cm}$ ma $H = 7~\mathrm{cm}$.

4.Walec

Walec to bryła obrotowa, która powstaje z obrotu prostokąta wokół prostej zawierającej jeden z jego boków. Ma dwie podstawy - przystające koła leżące w równoległych płaszczyznach - i zakrzywioną powierzchnię boczną. Elementy: promień podstawy $r$ i wysokość $H$ (odległość między podstawami). Walec nie jest wielościanem i nie ma wierzchołków. Przykład: prostokąt o bokach $3~\mathrm{cm}$ i $5~\mathrm{cm}$ obrócony wokół boku $5~\mathrm{cm}$ daje walec o $r = 3~\mathrm{cm}$ i $H = 5~\mathrm{cm}$. Kształt walca mają puszka i świeca słupkowa.

5.Stożek

Stożek to bryła obrotowa, która powstaje z obrotu trójkąta prostokątnego wokół prostej zawierającej jedną z przyprostokątnych. Ma jedną podstawę - koło - i jeden wierzchołek; powierzchnia boczna jest zakrzywiona. Elementy: promień podstawy $r$, wysokość $H$ (od wierzchołka do środka podstawy, prostopadła do niej) i tworząca $l$ (od wierzchołka do okręgu podstawy). Przykład: trójkąt o przyprostokątnych $4$ i $3$ obrócony wokół przyprostokątnej $4$ daje stożek o $H = 4$, $r = 3$ i $l = 5$. Kształt stożka ma rożek do lodów.

6.Kula i sfera

Kula o środku $O$ i promieniu $r$ to bryła złożona ze wszystkich punktów przestrzeni, których odległość od $O$ jest nie większa niż $r$. Jej powierzchnia to sfera - punkty odległe od $O$ dokładnie o $r$. Kula powstaje z obrotu koła wokół prostej zawierającej jego średnicę. Nie ma ścian płaskich, krawędzi ani wierzchołków. Średnica kuli to $d = 2 \cdot r$. Przykład: piłka o średnicy $22~\mathrm{cm}$ ma promień $22 : 2 = 11~\mathrm{cm}$; sprawdzenie: $2 \cdot 11 = 22$.

7.Graniastosłup

Graniastosłup to wielościan, który ma dwie przystające podstawy - wielokąty leżące w równoległych płaszczyznach - a jego ściany boczne są równoległobokami. Krawędzie boczne są równoległe i mają równe długości. Nazwę bierze od podstawy: trójkątny, czworokątny, sześciokątny. Graniastosłup $n$-kątny ma $n + 2$ ścian, $3 \cdot n$ krawędzi i $2 \cdot n$ wierzchołków. Przykład: sześciokątny ma $6 + 2 = 8$ ścian, $3 \cdot 6 = 18$ krawędzi i $12$ wierzchołków; sprawdzenie krawędzi: $6 + 6 + 6 = 18$ (dwie podstawy i krawędzie boczne).

8.Graniastosłup prosty

Graniastosłup prosty to graniastosłup, którego krawędzie boczne są prostopadłe do podstaw. Jego ściany boczne są prostokątami, a wysokość jest równa krawędzi bocznej. Graniastosłup, który nie jest prosty, nazywamy pochyłym - jego krawędzie boczne są nachylone do podstaw, a wysokość jest krótsza od krawędzi bocznej. Przykład: graniastosłup prosty o podstawie trójkąta o bokach $3$, $4$, $5$ i krawędzi bocznej $10$ ma ściany boczne - prostokąty $3$ na $10$, $4$ na $10$ i $5$ na $10$, a suma jego krawędzi to $2 \cdot 12 + 3 \cdot 10 = 54$.

9.Graniastosłup prawidłowy

Graniastosłup prawidłowy to graniastosłup prosty o podstawie będącej wielokątem foremnym (wszystkie boki równe i wszystkie kąty równe). Prawidłowy trójkątny ma w podstawie trójkąt równoboczny, prawidłowy czworokątny - kwadrat, prawidłowy sześciokątny - sześciokąt foremny. Ściany boczne są przystającymi prostokątami. Prostopadłościan jest prawidłowy, gdy ma dwie przeciwległe ściany kwadratowe (to one są podstawami). Przykład: prawidłowy czworokątny o krawędzi podstawy $3$ i wysokości $5$ ma sumę krawędzi $8 \cdot 3 + 4 \cdot 5 = 24 + 20 = 44$.

10.Prostopadłościan i sześcian

Prostopadłościan to graniastosłup prosty o podstawie prostokąta: wszystkie jego $6$ ścian to prostokąty, a przeciwległe ściany są przystające. Ma $12$ krawędzi w trzech grupach po $4$ równe ($a$, $b$, $c$), więc suma krawędzi to $4 \cdot (a + b + c)$. Sześcian to prostopadłościan o wszystkich krawędziach równych - jego ściany to $6$ przystających kwadratów, a suma krawędzi to $12 \cdot a$. Każdy sześcian jest prostopadłościanem, ale nie odwrotnie. Przykład: $a = 2$, $b = 3$, $c = 5$: $4 \cdot 10 = 40$; sprawdzenie: $8 + 12 + 20 = 40$.

11.Ostrosłup

Ostrosłup to wielościan, którego jedna ściana - podstawa - jest dowolnym wielokątem, a pozostałe ściany (boczne) są trójkątami o wspólnym wierzchołku, zwanym wierzchołkiem ostrosłupa. Nazwę bierze od podstawy. Ostrosłup $n$-kątny ma $n + 1$ ścian, $2 \cdot n$ krawędzi ($n$ krawędzi podstawy i $n$ bocznych) oraz $n + 1$ wierzchołków. Ostrosłup trójkątny to czworościan - każda jego ściana może być podstawą. Przykład: ostrosłup pięciokątny ma $6$ ścian, $10$ krawędzi i $6$ wierzchołków; sprawdzenie krawędzi: $5 + 5 = 10$.

12.Ostrosłup prawidłowy

Ostrosłup prawidłowy ma w podstawie wielokąt foremny, a jego wysokość pada w środek podstawy; wtedy wszystkie krawędzie boczne są równe, a ściany boczne są przystającymi trójkątami równoramiennymi. W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym podstawą jest kwadrat, a spodek wysokości to punkt przecięcia jego przekątnych. Czworościan foremny ma $6$ równych krawędzi i $4$ ściany będące trójkątami równobocznymi. Przykład: prawidłowy czworokątny o krawędzi podstawy $4$ i krawędzi bocznej $6$ ma sumę krawędzi $4 \cdot 4 + 4 \cdot 6 = 16 + 24 = 40$.

13.Trójkąty prostokątne w ostrosłupie prawidłowym czworokątnym

Oznaczenia: $a$ - krawędź podstawy, $b$ - krawędź boczna, $H$ - wysokość ostrosłupa, $h$ - wysokość ściany bocznej. Z twierdzenia Pitagorasa: $H^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 = h^2$ oraz $h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 = b^2$; trzeci trójkąt tworzą $H$, połowa przekątnej podstawy i $b$. Przykład: $a = 6$, $H = 4$: $h^2 = 16 + 9 = 25$, więc $h = 5$; $b^2 = 25 + 9 = 34$, więc $b = \sqrt{34}$. Sprawdzenie trzecim trójkątem: połowa przekątnej to $3\sqrt{2}$, a $16 + 18 = 34$.

14.Ostrosłup, który nie jest prawidłowy

Wysokość ostrosłupa nie musi padać w środek podstawy. Gdy jedna krawędź boczna jest prostopadła do podstawy, to ona jest wysokością, a dwie ściany boczne przy niej są trójkątami prostokątnymi. Spodek wysokości może też leżeć na krawędzi podstawy, np. w jej środku. Wtedy szukamy trójkąta prostokątnego z wysokością i stosujemy twierdzenie Pitagorasa. Przykład: podstawa - kwadrat $ABCD$ o boku $3$, krawędź $SA$ prostopadła do podstawy, $|SA| = 4$; ściana $SAB$ to trójkąt prostokątny, więc $|SB| = \sqrt{9 + 16} = 5$, a jej pole to $\frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6$.

15.Siatka bryły

Siatka wielościanu to figura płaska złożona ze wszystkich jego ścian połączonych bokami tak, że po zagięciu wzdłuż tych boków powstaje powierzchnia bryły. Każda ściana występuje w siatce dokładnie raz, a boki, które po złożeniu tworzą tę samą krawędź, muszą mieć równe długości. Jedna bryła ma zwykle wiele różnych siatek, np. sześcian ma $11$ różnych siatek. Pole siatki równa się polu powierzchni całkowitej bryły. Przykład: siatka sześcianu o krawędzi $2~\mathrm{cm}$ ma pole $6 \cdot 2^2 = 6 \cdot 4 = 24~\mathrm{cm^2}$.

16.Siatka prostopadłościanu i graniastosłupa prostego

Typowa siatka graniastosłupa prostego $n$-kątnego składa się z $n$ prostokątów (ściany boczne) i dwóch przystających $n$-kątów (podstawy). Jednym ze sposobów jej narysowania jest pas ścian bocznych - prostokąt o bokach równych obwodowi podstawy i wysokości bryły - z podstawami przyłożonymi po obu jego stronach. Siatka prostopadłościanu to $6$ prostokątów, po dwa przystające. Przykład: podstawa $2~\mathrm{cm}$ na $3~\mathrm{cm}$, wysokość $4~\mathrm{cm}$: pas ścian bocznych ma wymiary $10~\mathrm{cm}$ na $4~\mathrm{cm}$, bo $2 + 3 + 2 + 3 = 10$ i $2 \cdot (2 + 3) = 10$.

17.Siatka ostrosłupa; siatki walca i stożka

Typowa siatka ostrosłupa $n$-kątnego to podstawa ($n$-kąt) i $n$ trójkątów - ścian bocznych, np. przyłożonych do boków podstawy; ściany boczne można też połączyć ze sobą w wachlarz. W ostrosłupie prawidłowym ściany boczne to przystające trójkąty równoramienne, np. siatka ostrosłupa prawidłowego czworokątnego to kwadrat i $4$ takie trójkąty. Siatka walca to prostokąt (powierzchnia boczna) i dwa przystające koła, a siatka stożka - koło i wycinek koła. Przykład: siatka ostrosłupa sześciokątnego ma $1 + 6 = 7$ wielokątów, tyle co ścian.

18.Pole powierzchni całkowitej

Pole powierzchni całkowitej wielościanu ($P_c$) to suma pól wszystkich jego ścian, czyli pole jego siatki. Graniastosłup ma dwie podstawy: $P_c = 2 \cdot P_p + P_b$. Ostrosłup ma jedną podstawę: $P_c = P_p + P_b$. Tu $P_p$ to pole podstawy, a $P_b$ - pole powierzchni bocznej (suma pól ścian bocznych). Wynik podajemy w jednostkach kwadratowych, np. $\mathrm{cm^2}$. Przykład: przy $P_p = 12~\mathrm{cm^2}$ i $P_b = 60~\mathrm{cm^2}$ graniastosłup ma $P_c = 24 + 60 = 84~\mathrm{cm^2}$, a ostrosłup $P_c = 12 + 60 = 72~\mathrm{cm^2}$.

19.Pole powierzchni prostopadłościanu i sześcianu

Prostopadłościan o krawędziach $a$, $b$, $c$ ma trzy pary przystających ścian, więc $P_c = 2 \cdot (a \cdot b + a \cdot c + b \cdot c)$. Sześcian o krawędzi $a$ ma $6$ kwadratowych ścian, więc $P_c = 6 \cdot a^2$. Przykład 1: $a = 2$, $b = 3$, $c = 4$: $2 \cdot (6 + 8 + 12) = 2 \cdot 26 = 52$; sprawdzenie: $12 + 16 + 24 = 52$. Przykład 2: sześcian o krawędzi $3~\mathrm{cm}$ ma $P_c = 6 \cdot 9 = 54~\mathrm{cm^2}$. Typowy błąd: policzenie tylko trzech ścian, bez mnożenia przez $2$.

20.Pole powierzchni graniastosłupa prostego

Ściany boczne graniastosłupa prostego to prostokąty o wspólnej wysokości $H$, więc pole powierzchni bocznej to obwód podstawy razy wysokość: $P_b = O_p \cdot H$, a $P_c = 2 \cdot P_p + O_p \cdot H$. Przykład: podstawa - trójkąt prostokątny o bokach $3$, $4$, $5$, wysokość $H = 10$. Wtedy $P_p = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6$, $P_b = 12 \cdot 10 = 120$ i $P_c = 2 \cdot 6 + 120 = 132$. Sprawdzenie $P_b$ ścianami: $30 + 40 + 50 = 120$.

21.Pole powierzchni ostrosłupa prawidłowego

Ostrosłup prawidłowy $n$-kątny ma $n$ przystających ścian bocznych - trójkątów o podstawie $a$ (krawędź podstawy) i wysokości $h$ (wysokość ściany bocznej), więc $P_b = n \cdot \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$ i $P_c = P_p + P_b$. Dla czworokątnego: $P_c = a^2 + 2 \cdot a \cdot h$. Przykład: $a = 6$, $h = 5$: $P_c = 36 + 2 \cdot 6 \cdot 5 = 36 + 60 = 96$; sprawdzenie: jedna ściana ma $\frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 5 = 15$, a $4 \cdot 15 = 60$. Typowy błąd: użycie wysokości ostrosłupa $H$ zamiast $h$.

22.Objętość prostopadłościanu i sześcianu

Objętość ($V$) mówi, ile miejsca zajmuje bryła; mierzymy ją liczbą sześcianów jednostkowych, np. $1~\mathrm{cm^3}$ to sześcian o krawędzi $1~\mathrm{cm}$. Prostopadłościan: $V = a \cdot b \cdot c$. Sześcian: $V = a^3$. Przykład 1: prostopadłościan o krawędziach $2~\mathrm{cm}$, $3~\mathrm{cm}$, $4~\mathrm{cm}$ ma $V = 24~\mathrm{cm^3}$; sprawdzenie: $4$ warstwy po $2 \cdot 3 = 6$ sześcianików to $4 \cdot 6 = 24$. Przykład 2: sześcian o krawędzi $3~\mathrm{cm}$ ma $V = 3^3 = 27~\mathrm{cm^3}$.

23.Objętość graniastosłupa

Objętość graniastosłupa to pole podstawy razy wysokość: $V = P_p \cdot H$. Wzór działa dla graniastosłupów prostych i pochyłych, o dowolnej podstawie; prostopadłościan to szczególny przypadek ($V = a \cdot b \cdot c$). Przykład: podstawa - trójkąt prostokątny o przyprostokątnych $6$ i $8$, wysokość $H = 5$. Wtedy $P_p = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24$ i $V = 24 \cdot 5 = 120$. Sprawdzenie: dwa takie graniastosłupy tworzą prostopadłościan o objętości $6 \cdot 8 \cdot 5 = 240$, a $240 : 2 = 120$.

24.Objętość ostrosłupa

Objętość ostrosłupa to jedna trzecia iloczynu pola podstawy i wysokości: $V = \frac{1}{3} \cdot P_p \cdot H$. Ostrosłup ma więc $3$ razy mniejszą objętość niż graniastosłup o tej samej podstawie i tej samej wysokości. $H$ to wysokość ostrosłupa, a nie wysokość ściany bocznej. Przykład: podstawa - kwadrat o boku $6$, $H = 4$: $V = \frac{1}{3} \cdot 36 \cdot 4 = 48$. Sprawdzenie: graniastosłup o tej podstawie i wysokości ma objętość $36 \cdot 4 = 144$, a $144 : 3 = 48$.

25.Jednostki objętości

Jednostki objętości to sześciany o krawędzi równej jednostce długości: $\mathrm{mm^3}$, $\mathrm{cm^3}$, $\mathrm{dm^3}$, $\mathrm{m^3}$. Ponieważ $1~\mathrm{dm} = 10~\mathrm{cm}$, sześcian o krawędzi $1~\mathrm{dm}$ ma $10 \cdot 10 \cdot 10 = 1000~\mathrm{cm^3}$. Stąd: $1~\mathrm{cm^3} = 1000~\mathrm{mm^3}$, $1~\mathrm{dm^3} = 1000~\mathrm{cm^3}$, $1~\mathrm{m^3} = 1000~\mathrm{dm^3} = 1\,000\,000~\mathrm{cm^3}$. Przykład: $2{,}5~\mathrm{m^3} = 2{,}5 \cdot 1000 = 2500~\mathrm{dm^3}$, a $4500~\mathrm{cm^3} = 4500 : 1000 = 4{,}5~\mathrm{dm^3}$.

26.Jednostki pojemności: litr i mililitr

Pojemność naczynia to objętość jego wnętrza - ile cieczy się w nim zmieści. Litr to decymetr sześcienny: $1~\mathrm{l} = 1~\mathrm{dm^3}$, a mililitr to centymetr sześcienny: $1~\mathrm{ml} = 1~\mathrm{cm^3}$. Stąd $1~\mathrm{l} = 1000~\mathrm{ml}$ i $1~\mathrm{m^3} = 1000~\mathrm{l}$. Przykład: akwarium o wymiarach wnętrza $50~\mathrm{cm}$, $30~\mathrm{cm}$, $40~\mathrm{cm}$ mieści $50 \cdot 30 \cdot 40 = 60\,000~\mathrm{cm^3} = 60~\mathrm{dm^3} = 60~\mathrm{l}$. Sprawdzenie w decymetrach: $5 \cdot 3 \cdot 4 = 60~\mathrm{dm^3}$.

27.Zbieranie i porządkowanie danych; tabela

Dane zbieramy ankietą, pomiarem albo obserwacją, a potem porządkujemy: wypisujemy je rosnąco albo zliczamy w tabeli, w której przy każdej wartości stoi jej liczebność (ile razy wystąpiła). Suma liczebności równa się liczbie wszystkich danych. Z uporządkowanych danych łatwo odczytać wartość największą i najmniejszą. Przykład: oceny 5, 3, 4, 5, 2, 4, 5 po uporządkowaniu to 2, 3, 4, 4, 5, 5, 5; w tabeli: ocena 2 - 1 raz, 3 - 1 raz, 4 - 2 razy, 5 - 3 razy. Sprawdzenie: $1 + 1 + 2 + 3 = 7$ ocen.

28.Diagram słupkowy i diagram kołowy

Na diagramie słupkowym każda kategoria ma słupek, którego wysokość odpowiada wartości (odczytujemy ją na osi z podziałką) - łatwo porównać wartości i wskazać największą. Diagram kołowy pokazuje podział całości na części: całe koło to $100\%$ danych, czyli $360^\circ$, więc wycinek dla $p\%$ ma kąt $p \cdot 3{,}6^\circ$. Przykład: $25\%$ to $90^\circ$, a $40\%$ to $40 \cdot 3{,}6^\circ = 144^\circ$; sprawdzenie: $\frac{40}{100} \cdot 360^\circ = 144^\circ$. Gdy rower wybrało $6$ z $24$ osób, to $\frac{6}{24} = 25\%$, czyli wycinek $90^\circ$.

29.Wykres i opis zmian danych

Wykres w układzie współrzędnych pokazuje, jak jedna wielkość zmienia się wraz z drugą, najczęściej z czasem: na osi poziomej np. godziny, na pionowej np. temperatura. Odczytujemy z niego wartość w danym punkcie, wartość największą i najmniejszą oraz opisujemy przebieg: linia w górę - wartości rosną, w dół - maleją, poziomo - wartości są takie same (wartość stała). Przykład: o 6:00 było $2^\circ\mathrm{C}$, o 12:00 - $9^\circ\mathrm{C}$, o 18:00 - $5^\circ\mathrm{C}$; do południa temperatura wzrosła o $9 - 2 = 7^\circ\mathrm{C}$, potem spadła o $9 - 5 = 4^\circ\mathrm{C}$.

30.Średnia arytmetyczna

Średnia arytmetyczna $n$ liczb to ich suma podzielona przez $n$: $\frac{a_1 + a_2 + \ldots + a_n}{n}$. Średnia leży między najmniejszą a największą daną i nie musi być jedną z danych. Przykład: dla liczb 4, 5, 3, 6, 2 średnia to $\frac{20}{5} = 4$. Sprawdzenie: odchylenia danych od $4$ to $0$, $+1$, $-1$, $+2$, $-2$, a ich suma wynosi $0$. Średnia liczb 2 i 5 to $\frac{7}{2} = 3{,}5$ - takiej liczby nie ma wśród danych.

31.Średnia: suma danych i średnia z tabeli

Ze wzoru na średnią: suma danych = średnia $\cdot$ liczba danych. Tak znajdujemy brakującą liczbę: średnia czterech liczb to $5$, więc ich suma to $20$; po dopisaniu piątej liczby średnia wynosi $6$, czyli suma to $30$, zatem piąta liczba to $30 - 20 = 10$. Sprawdzenie: $(20 + 10) : 5 = 6$. Z tabeli liczebności każdą wartość mnożymy przez jej liczebność i dzielimy przez liczbę wszystkich danych: ocena 3 - 2 razy, 4 - 3 razy, 5 - 5 razy daje $\frac{6 + 12 + 25}{10} = 4{,}3$.

32.Mediana - nieparzysta liczba danych

Mediana to wartość środkowa danych uporządkowanych rosnąco (albo malejąco). Zawsze najpierw uporządkuj dane! Gdy liczba danych $n$ jest nieparzysta, mediana to dana stojąca na miejscu $\frac{n + 1}{2}$ - po obu jej stronach jest tyle samo danych. Przykład: 7, 2, 9, 4, 5 po uporządkowaniu to 2, 4, 5, 7, 9; $n = 5$, miejsce $\frac{5 + 1}{2} = 3$, więc mediana to $5$. Sprawdzenie: przed $5$ są dwie dane i za nią dwie. Typowy błąd: wzięcie środkowej liczby z listy nieuporządkowanej (tu $9$).

33.Mediana - parzysta liczba danych

Gdy liczba danych $n$ jest parzysta, po uporządkowaniu są dwie dane środkowe (na miejscach $\frac{n}{2}$ i $\frac{n}{2} + 1$); mediana to ich średnia arytmetyczna i nie musi być jedną z danych. Przykład: 8, 3, 6, 1, 10, 4 po uporządkowaniu to 1, 3, 4, 6, 8, 10; środkowe są $4$ i $6$, więc mediana to $\frac{4 + 6}{2} = 5$. Mediana mało reaguje na wartości skrajne: dla 2, 3, 4, 100 mediana to $\frac{3 + 4}{2} = 3{,}5$, a średnia $\frac{109}{4} = 27{,}25$.

34.Dominanta

Dominanta (moda) to wartość, która w zestawie danych występuje najczęściej. Wystarczy zliczyć wystąpienia - porządkowanie pomaga, ale nie jest konieczne. Zestaw może mieć kilka dominant; gdy wszystkie wartości występują tyle samo razy, zwykle mówimy, że dominanty nie ma. Dominantą może być też dana nieliczbowa, np. najczęściej wybierany kolor. Przykład: w zestawie 2, 3, 3, 5, 3, 4 dominanta to $3$ (występuje $3$ razy); zestaw 1, 1, 2, 2, 4 ma dwie dominanty: $1$ i $2$; w zestawie 1, 2, 3, 4 dominanty nie ma.

35.Zliczanie obiektów o danej własności

Aby policzyć obiekty o danej własności, wypisuj je systematycznie - rosnąco, w tabelce albo w ustalonej kolejności - tak, żeby żadnego nie pominąć i nie policzyć dwa razy. Przykład 1: liczby dwucyfrowe o sumie cyfr $5$ to 14, 23, 32, 41, 50 - jest ich $5$ (cyfra dziesiątek od $1$ do $5$, a cyfra jedności ją dopełnia). Przykład 2: liczby od $1$ do $30$ podzielne przez $4$ to 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28; $30 : 4 = 7$ reszty $2$, więc jest ich $7$. Sprawdzenie: $7 \cdot 4 = 28 \le 30$, a $8 \cdot 4 = 32 > 30$.

36.Mecze „każdy z każdym”

Gdy każda z $n$ drużyn gra z każdą inną dokładnie jeden mecz, meczów jest $\frac{n \cdot (n - 1)}{2}$. Każda drużyna gra $n - 1$ meczów, ale iloczyn $n \cdot (n - 1)$ liczy każdy mecz dwa razy (mecz drużyn X i Y raz jako mecz X, raz jako mecz Y) - dlatego dzielimy przez $2$. Przykład: $5$ drużyn: $\frac{5 \cdot 4}{2} = 10$; sprawdzenie wypisywaniem nowych par: $4 + 3 + 2 + 1 = 10$. Gdy każda para gra mecz i rewanż, nie dzielimy: $5 \cdot 4 = 20$. Tak samo liczymy uściski dłoni w grupie.

37.Doświadczenie losowe, wynik i zdarzenie

Doświadczenie losowe to czynność, której wyniku nie da się z góry przewidzieć: rzut monetą (wyniki: orzeł, reszka), rzut sześcienną kostką do gry (od 1 do 6 oczek), losowanie kuli z pudełka. Zdarzenie to zbiór wyników, np. „wypadła parzysta liczba oczek” to $\{2, 4, 6\}$; wyniki należące do zdarzenia nazywamy sprzyjającymi. Zdarzenie pewne zawiera wszystkie wyniki (np. mniej niż $7$ oczek), a niemożliwe - żadnego (np. $7$ oczek). Przykład: zdarzenie „więcej niż $4$ oczka” ma $2$ wyniki sprzyjające: $5$ i $6$.

38.Prawdopodobieństwo zdarzenia

Gdy wszystkie wyniki doświadczenia są jednakowo prawdopodobne (symetryczna moneta, rzetelna kostka, kule różniące się tylko kolorem), prawdopodobieństwo zdarzenia $A$ to stosunek liczby wyników sprzyjających do liczby wszystkich możliwych wyników: $P(A) = \frac{k}{n}$. Zawsze $0 \le P(A) \le 1$: zdarzenie niemożliwe ma $0$, pewne - $1$. Przykład: rzut kostką, parzysta liczba oczek: $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$; więcej niż $4$ oczka: $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$. Sprawdzenie: $\frac{1}{3}$ z $6$ wyników to $2$ wyniki.

39.Losowanie kul, kostka wielościenna i zdarzenie przeciwne

Przy losowaniu jednej kuli prawdopodobieństwo danego koloru to liczba kul tego koloru podzielona przez liczbę wszystkich kul. Rzetelna kostka wielościenna (np. ośmiościenna z liczbami od 1 do 8) też daje jednakowo prawdopodobne wyniki. Zdarzenie przeciwne do $A$ zachodzi, gdy $A$ nie zachodzi: $P(A') = 1 - P(A)$. Przykład: $3$ białe, $5$ czarnych, $2$ zielone kule: biała - $\frac{3}{10}$; nie czarna - $1 - \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$, sprawdzenie: $\frac{3 + 2}{10} = \frac{5}{10}$. Kostka ośmiościenna, liczba podzielna przez $3$: $\frac{2}{8} = \frac{1}{4}$.

40.Dwie monety i dwie kostki

Przy rzucie dwiema monetami jednakowo prawdopodobne są $4$ wyniki: OO, OR, RO, RR (pierwsza litera - pierwsza moneta). „Jeden orzeł i jedna reszka” to OR i RO, więc $P = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$. Zliczanie par OO, OR, RR jako trzech wyników daje błędne $\frac{1}{3}$, bo te wyniki nie są jednakowo prawdopodobne - para mieszana zdarza się dwa razy częściej niż OO. Przy dwóch kostkach jest $6 \cdot 6 = 36$ wyników (tabelka $6$ na $6$); sumę $7$ daje $6$ z nich, więc $P = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$.