Wojewódzki Konkurs Matematyczny (wielkopolskie) - geometria płaska

1.Kąt i jego rodzaje; proste prostopadłe i równoległe

Kąt to część płaszczyzny ograniczona dwiema półprostymi o wspólnym początku: półproste to ramiona, a ich początek - wierzchołek kąta. Kąt ostry ma więcej niż $0^\circ$ i mniej niż $90^\circ$, prosty - dokładnie $90^\circ$, rozwarty - więcej niż $90^\circ$ i mniej niż $180^\circ$, półpełny - $180^\circ$, pełny - $360^\circ$. Proste prostopadłe ($k \perp l$) tworzą kąty proste, a proste równoległe ($k \parallel l$) nie mają punktów wspólnych. Odległość punktu od prostej mierzymy wzdłuż odcinka prostopadłego do tej prostej. Przykład: $2 \cdot 90^\circ = 180^\circ$, $4 \cdot 90^\circ = 360^\circ$.

2.Kąty przyległe i kąty wierzchołkowe

Kąty przyległe mają jedno ramię wspólne, a pozostałe ramiona tworzą prostą, dlatego ich suma wynosi $180^\circ$. Kąty wierzchołkowe mają wspólny wierzchołek, a ramiona jednego są przedłużeniami ramion drugiego - powstają przy przecięciu dwóch prostych. Twierdzenie: kąty wierzchołkowe są równe, bo każdy z nich jest przyległy do tego samego kąta. Przykład: proste przecinają się pod kątem $65^\circ$; kąt do niego przyległy ma $180^\circ - 65^\circ = 115^\circ$, a wierzchołkowy - $65^\circ$. Sprawdzenie: $65^\circ + 115^\circ + 65^\circ + 115^\circ = 360^\circ$.

3.Kąty odpowiadające i naprzemianległe przy prostych równoległych

Gdy dwie proste przetnie trzecia prosta (sieczna), powstają pary kątów. Kąty odpowiadające leżą przy różnych punktach przecięcia, po tej samej stronie siecznej i tak samo względem przecinanej prostej. Kąty naprzemianległe leżą przy różnych punktach przecięcia, po przeciwnych stronach siecznej (oba między prostymi albo oba na zewnątrz). Jeśli proste są równoległe, to kąty odpowiadające są równe i kąty naprzemianległe są równe. Przykład: sieczna tworzy z prostą $k$ kąt $50^\circ$, więc kąt odpowiadający przy $l \parallel k$ też ma $50^\circ$, a kąt do niego przyległy - $130^\circ$.

4.Rodzaje trójkątów

Ze względu na boki: trójkąt różnoboczny ma wszystkie boki różnej długości, równoramienny - co najmniej dwa boki równe (ramiona; trzeci bok to podstawa), równoboczny - wszystkie trzy boki równe. Ze względu na kąty: ostrokątny ma trzy kąty ostre, prostokątny - jeden kąt prosty (boki przy nim to przyprostokątne, bok naprzeciw niego - przeciwprostokątna), rozwartokątny - jeden kąt rozwarty. Przykład: kąty $40^\circ$, $40^\circ$, $100^\circ$ - trójkąt rozwartokątny równoramienny; kąty $45^\circ$, $45^\circ$, $90^\circ$ - prostokątny równoramienny.

5.Suma kątów trójkąta i kąty trójkąta równoramiennego

Suma kątów wewnętrznych każdego trójkąta wynosi $180^\circ$, więc trzeci kąt to $180^\circ$ minus suma dwóch znanych. W trójkącie równoramiennym kąty przy podstawie są równe. Przykład 1: kąty $35^\circ$ i $85^\circ$, więc trzeci ma $180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$. Przykład 2: kąt między ramionami ma $40^\circ$, więc każdy kąt przy podstawie ma $(180^\circ - 40^\circ) : 2 = 70^\circ$; sprawdzenie: $40^\circ + 70^\circ + 70^\circ = 180^\circ$. Gdy kąt przy podstawie ma $50^\circ$, kąt między ramionami ma $180^\circ - 2 \cdot 50^\circ = 80^\circ$.

6.Nierówność trójkąta

Dla dowolnych punktów $A$, $B$, $C$ zachodzi $|AB| + |BC| \ge |AC|$, a równość zachodzi wtedy, gdy punkt $B$ leży na odcinku $AC$. Z odcinków $a$, $b$, $c$ można zbudować trójkąt, gdy każdy z nich jest krótszy od sumy dwóch pozostałych - wystarczy sprawdzić najdłuższy. Przykład: $4$, $5$, $8$ - tak, bo $4 + 5 = 9 > 8$; $3$, $4$, $8$ - nie, bo $3 + 4 = 7 < 8$; $3$, $5$, $8$ - nie, bo $3 + 5 = 8$ i punkty leżą na jednej prostej. Trójkąt o danych bokach konstruujemy cyrklem: odkładamy jeden bok i z jego końców zataczamy łuki o promieniach równych dwóm pozostałym bokom.

7.Kąt zewnętrzny trójkąta

Kąt zewnętrzny trójkąta to kąt przyległy do kąta wewnętrznego: tworzy go jeden bok trójkąta i przedłużenie drugiego boku wychodzącego z tego samego wierzchołka. Kąt wewnętrzny i kąt zewnętrzny przy tym samym wierzchołku dają razem $180^\circ$. Przykład: kąt wewnętrzny ma $70^\circ$, więc kąt zewnętrzny przy tym wierzchołku ma $180^\circ - 70^\circ = 110^\circ$. Przy kącie ostrym kąt zewnętrzny jest rozwarty, przy prostym - prosty, przy rozwartym - ostry. Suma kątów zewnętrznych trójkąta (po jednym przy każdym wierzchołku) wynosi $3 \cdot 180^\circ - 180^\circ = 360^\circ$.

8.Twierdzenie o kącie zewnętrznym trójkąta

Kąt zewnętrzny trójkąta jest równy sumie dwóch kątów wewnętrznych do niego nieprzyległych: $\delta = \alpha + \beta$. Uzasadnienie: trzeci kąt to $\gamma = 180^\circ - \alpha - \beta$, a kąt zewnętrzny przy nim to $180^\circ - \gamma = \alpha + \beta$. Wniosek: kąt zewnętrzny jest większy od każdego z tych dwóch kątów. Przykład: kąty $45^\circ$ i $60^\circ$, więc kąt zewnętrzny przy trzecim wierzchołku ma $45^\circ + 60^\circ = 105^\circ$; sprawdzenie: trzeci kąt ma $180^\circ - 45^\circ - 60^\circ = 75^\circ$, a $180^\circ - 75^\circ = 105^\circ$.

9.Trójkąty przystające

Figury przystające mają ten sam kształt i te same wymiary - można je na siebie nałożyć (czasem po odwróceniu). Trójkąty przystające mają odpowiednie boki równe i odpowiednie kąty równe; zapis: $\triangle ABC \equiv \triangle KLM$, przy czym kolejność liter wskazuje odpowiadające sobie wierzchołki ($A$ i $K$, $B$ i $L$, $C$ i $M$). Przykład: jeśli $\triangle ABC \equiv \triangle KLM$, $|AB| = 5$ i $\angle B = 40^\circ$, to $|KL| = 5$ i $\angle L = 40^\circ$. Przystawanie trójkątów służy w dowodach do wykazania, że dwa odcinki albo dwa kąty są równe.

10.Cechy przystawania trójkątów: bbb, bkb, kbk

Dwa trójkąty są przystające, gdy: (bbb) trzy boki jednego są równe trzem bokom drugiego; (bkb) dwa boki i kąt między nimi są równe odpowiednim bokom i kątowi drugiego; (kbk) bok i dwa kąty przy tym boku są równe odpowiednim elementom drugiego. Równość trzech kątów nie wystarcza: trójkąty równoboczne o bokach $2$ i $5$ mają te same kąty, a nie są przystające. Przykład cechy bkb: boki $3$ i $4$ z kątem prostym między nimi wyznaczają jeden trójkąt - każdy taki trójkąt ma przeciwprostokątną $5$, bo $9 + 16 = 25$.

11.Twierdzenie Pitagorasa

W trójkącie prostokątnym suma kwadratów długości przyprostokątnych $a$ i $b$ jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej $c$: $a^2 + b^2 = c^2$. Przeciwprostokątna leży naprzeciw kąta prostego i jest najdłuższym bokiem trójkąta. Przykład: przyprostokątne $6$ i $8$: $c^2 = 36 + 64 = 100$, więc $c = 10$. Przyprostokątne $1$ i $2$: $c^2 = 1 + 4 = 5$, więc $c = \sqrt{5}$. Twierdzenie dotyczy tylko trójkątów prostokątnych.

12.Twierdzenie Pitagorasa - przyprostokątna, przekątna prostokąta, trójki pitagorejskie

Gdy znamy przeciwprostokątną $c$ i przyprostokątną $a$, drugą przyprostokątną liczymy z $b^2 = c^2 - a^2$. Przykład: $c = 13$, $a = 5$: $b^2 = 169 - 25 = 144$, $b = 12$; sprawdzenie: $25 + 144 = 169$. Przekątna prostokąta o bokach $a$, $b$: $d^2 = a^2 + b^2$; boki $9$ i $12$ dają $d^2 = 81 + 144 = 225$, $d = 15$. Twierdzenie służy też do liczenia wysokości trójkąta równoramiennego i długości odcinka w układzie współrzędnych. Trójki pitagorejskie: $3, 4, 5$; $5, 12, 13$; $8, 15, 17$.

13.Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa

Jeżeli długości boków trójkąta spełniają warunek $a^2 + b^2 = c^2$, gdzie $c$ jest najdłuższym bokiem, to trójkąt jest prostokątny, a kąt prosty leży naprzeciw boku $c$. Pozwala sprawdzić, czy trójkąt jest prostokątny, bez mierzenia kątów. Przykład: $7$, $24$, $25$: $49 + 576 = 625 = 25^2$, więc trójkąt jest prostokątny. Boki $5$, $6$, $8$: $25 + 36 = 61$, a $8^2 = 64$, więc nie jest prostokątny - jest rozwartokątny, bo $61 < 64$. Gdy suma kwadratów krótszych boków jest większa od kwadratu najdłuższego, trójkąt jest ostrokątny.

14.Trójkąt o kątach $30^\circ$, $60^\circ$, $90^\circ$

To połowa trójkąta równobocznego przeciętego wysokością. Przyprostokątna leżąca naprzeciw kąta $30^\circ$ (krótsza) ma długość $a$, przeciwprostokątna jest od niej dwa razy dłuższa: $2a$, a dłuższa przyprostokątna (naprzeciw kąta $60^\circ$) ma długość $a\sqrt{3}$. Sprawdzenie Pitagorasem: $a^2 + 3a^2 = 4a^2 = (2a)^2$. Przykład: krótsza przyprostokątna $5$, więc przeciwprostokątna $10$, a dłuższa przyprostokątna $5\sqrt{3}$; sprawdzenie: $25 + 75 = 100 = 10^2$.

15.Trójkąt $30^\circ$, $60^\circ$, $90^\circ$ - boki z przeciwprostokątnej lub dłuższej przyprostokątnej

Gdy znamy przeciwprostokątną $c$: krótsza przyprostokątna ma $\frac{c}{2}$, a dłuższa $\frac{c\sqrt{3}}{2}$. Przykład: $c = 8$, więc przyprostokątne $4$ i $4\sqrt{3}$; sprawdzenie: $16 + 48 = 64$. Gdy znamy dłuższą przyprostokątną $b$: krótsza ma $\frac{b}{\sqrt{3}}$. Przykład: $b = 6$, więc krótsza $\frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}$ (bo $2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 6$), a przeciwprostokątna $4\sqrt{3}$; sprawdzenie: $12 + 36 = 48 = (4\sqrt{3})^2$. Najwygodniej najpierw wyznaczyć krótszą przyprostokątną.

16.Trójkąt o kątach $45^\circ$, $45^\circ$, $90^\circ$

To prostokątny trójkąt równoramienny - połowa kwadratu przeciętego przekątną. Obie przyprostokątne mają długość $a$, a przeciwprostokątna $a\sqrt{2}$. Sprawdzenie Pitagorasem: $a^2 + a^2 = 2a^2 = (a\sqrt{2})^2$. Przykład: przyprostokątne $4$, więc przeciwprostokątna $4\sqrt{2}$; sprawdzenie: $16 + 16 = 32$ i $(4\sqrt{2})^2 = 16 \cdot 2 = 32$. Gdy dana jest przeciwprostokątna $c$, przyprostokątna ma $\frac{c}{\sqrt{2}} = \frac{c\sqrt{2}}{2}$, np. dla $c = 6$: $3\sqrt{2}$, bo $(3\sqrt{2})^2 \cdot 2 = 36$.

17.Przekątna kwadratu $d = a\sqrt{2}$

Przekątna dzieli kwadrat na dwa trójkąty o kątach $45^\circ$, $45^\circ$, $90^\circ$, więc przekątna kwadratu o boku $a$ ma długość $d = a\sqrt{2}$. Przykład: $a = 7$, więc $d = 7\sqrt{2} \approx 9{,}9$. W drugą stronę: $a = \frac{d}{\sqrt{2}} = \frac{d\sqrt{2}}{2}$; dla $d = 10$ bok $a = 5\sqrt{2}$, bo $5\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 10$. Pole kwadratu z przekątnej: $P = \frac{d^2}{2}$; dla $d = 10$: $P = 50$, zgodnie z $a^2 = (5\sqrt{2})^2 = 50$.

18.Trójkąt równoboczny - własności

Trójkąt równoboczny ma trzy równe boki i trzy kąty po $60^\circ$ ($3 \cdot 60^\circ = 180^\circ$). Jest wielokątem foremnym i ma 3 osie symetrii. Każda jego wysokość dzieli przeciwległy bok na połowy, dzieli kąt przy wierzchołku na dwa kąty po $30^\circ$ i leży na symetralnej boku. Wysokość tnie go na dwa przystające trójkąty o kątach $30^\circ$, $60^\circ$, $90^\circ$, w których przeciwprostokątna to bok $a$, a krótsza przyprostokątna to $\frac{a}{2}$. Przykład: bok $10$ - wysokość dzieli podstawę na odcinki $5$ i $5$, a obwód wynosi $3 \cdot 10 = 30$.

19.Wysokość trójkąta równobocznego $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Wysokość trójkąta równobocznego o boku $a$ to dłuższa przyprostokątna trójkąta o kątach $30^\circ$, $60^\circ$, $90^\circ$ z krótszą przyprostokątną $\frac{a}{2}$, więc $h = \frac{a}{2} \cdot \sqrt{3} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. Przykład: $a = 6$, więc $h = 3\sqrt{3}$; sprawdzenie Pitagorasem: $h^2 = 6^2 - 3^2 = 27$ i $(3\sqrt{3})^2 = 27$. W drugą stronę: $a = \frac{2h}{\sqrt{3}}$, np. dla $h = 4\sqrt{3}$ bok $a = 8$, bo $\frac{8\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$.

20.Pole trójkąta równobocznego $P = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

Pole trójkąta to połowa iloczynu boku i wysokości, więc dla trójkąta równobocznego: $P = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$. Przykład: $a = 6$, więc $P = \frac{36\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3}$; sprawdzenie: $\frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 3\sqrt{3} = 9\sqrt{3}$. W drugą stronę z pola wyznaczamy $a^2 = \frac{4P}{\sqrt{3}}$; dla $P = 16\sqrt{3}$ mamy $a^2 = 64$, czyli $a = 8$, bo $\frac{64\sqrt{3}}{4} = 16\sqrt{3}$.

21.Sześciokąt foremny - podział na 6 trójkątów równobocznych

Sześciokąt foremny ma 6 równych boków i 6 równych kątów po $120^\circ$. Odcinki łączące jego środek z wierzchołkami dzielą go na 6 przystających trójkątów równobocznych o boku $a$ (kąt przy środku: $360^\circ : 6 = 60^\circ$). Dlatego odległość środka od każdego wierzchołka jest równa bokowi $a$, a kąt sześciokąta składa się z dwóch kątów po $60^\circ$: $2 \cdot 60^\circ = 120^\circ$. Przykład: sześciokąt foremny o boku $5$ ma obwód $6 \cdot 5 = 30$ i składa się z 6 trójkątów równobocznych o boku $5$.

22.Pole sześciokąta foremnego $P = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2}$

Pole sześciokąta foremnego to 6 pól trójkątów równobocznych o boku $a$: $P = 6 \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2}$. Przykład: $a = 2$, więc $P = \frac{3 \cdot 4 \cdot \sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$; sprawdzenie: jeden trójkąt ma $\frac{4\sqrt{3}}{4} = \sqrt{3}$, a sześć - $6\sqrt{3}$. Inny podział: dłuższa przekątna tnie sześciokąt na dwa trapezy równoramienne o podstawach $2a$ i $a$ oraz wysokości $\frac{a\sqrt{3}}{2}$; dla $a = 2$ każdy ma pole $\frac{(4 + 2) \cdot \sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$, razem $6\sqrt{3}$.

23.Przekątne sześciokąta foremnego: $2a$ i $a\sqrt{3}$

Dłuższa przekątna przechodzi przez środek i składa się z dwóch boków trójkątów równobocznych: ma długość $2a$. Krótsza przekątna łączy dwa wierzchołki oddzielone jednym wierzchołkiem i ma długość $a\sqrt{3}$ - to dwie wysokości trójkąta równobocznego: $2 \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}$. Przykład: $a = 2$, przekątne $4$ i $2\sqrt{3}$. W drugą stronę: dłuższa przekątna $10$ daje $a = 5$, krótsza $6\sqrt{3}$ daje $a = 6$, a pole $24\sqrt{3}$ daje $a^2 = 16$, $a = 4$, bo $\frac{3 \cdot 16 \cdot \sqrt{3}}{2} = 24\sqrt{3}$.

24.Równoległobok - własności i pole

Równoległobok to czworokąt, który ma dwie pary boków równoległych. Jego przeciwległe boki są równe, przeciwległe kąty są równe, a sąsiednie kąty dają razem $180^\circ$. Przekątne dzielą się na połowy, a ich punkt przecięcia jest środkiem symetrii. Pole: $P = a \cdot h$, gdzie $h$ to wysokość opuszczona na bok $a$. Przykład: $a = 9$, $h = 4$, więc $P = 36$; ten sam równoległobok ma przy boku $6$ wysokość $36 : 6 = 6$. Jeśli jeden kąt ma $70^\circ$, to sąsiedni ma $110^\circ$.

25.Prostokąt i kwadrat

Prostokąt to równoległobok, którego wszystkie kąty są proste; jego przekątne są równe i dzielą się na połowy. Pole $P = a \cdot b$, obwód $2a + 2b$. Kwadrat to prostokąt o równych bokach - jest jednocześnie prostokątem i rombem, więc jego przekątne są równe, prostopadłe i dzielą się na połowy. Pole kwadratu: $P = a^2$ albo $P = \frac{d^2}{2}$. Przykład: prostokąt o bokach $8$ i $5$ ma pole $40$ i obwód $26$; kwadrat o boku $6$ ma pole $36$ i obwód $24$, a z przekątnej $6\sqrt{2}$: $\frac{72}{2} = 36$.

26.Romb - własności i pole

Romb to równoległobok, którego wszystkie boki są równe. Jego przekątne są prostopadłe, dzielą się na połowy i zawierają się w dwusiecznych kątów. Romb i prostokąt to odrębne rodzaje równoległoboków - kwadrat jest jednym i drugim. Pole: $P = a \cdot h$ albo $P = \frac{e \cdot f}{2}$, gdzie $e$, $f$ to przekątne. Przykład: przekątne $6$ i $8$: $P = \frac{48}{2} = 24$; połowy przekątnych $3$ i $4$ dają bok $a = 5$ (Pitagoras: $9 + 16 = 25$), a wysokość $h = 24 : 5 = 4{,}8$.

27.Trapez - rodzaje i pole

Trapez to czworokąt, który ma co najmniej jedną parę boków równoległych - to podstawy $a$ i $b$; pozostałe boki to ramiona. Kąty przy tym samym ramieniu dają razem $180^\circ$. W trapezie równoramiennym (ramiona równe, podstawy różnej długości) kąty przy każdej podstawie są równe, przekątne są równe, a oś symetrii przechodzi przez środki podstaw. Trapez prostokątny ma ramię prostopadłe do podstaw. Pole: $P = \frac{(a + b) \cdot h}{2}$. Przykład: $a = 10$, $b = 6$, $h = 4$: $P = \frac{16 \cdot 4}{2} = 32$.

28.Pole trójkąta, wysokość z pola, pola wielokątów

Pole trójkąta: $P = \frac{a \cdot h}{2}$, gdzie $h$ to wysokość opuszczona na bok $a$; każdy bok ma swoją wysokość. W trójkącie prostokątnym $P = \frac{a \cdot b}{2}$ ($a$, $b$ - przyprostokątne). Z pola wyznaczamy wysokość: $h = \frac{2P}{a}$. Przykład: trójkąt o bokach $5$, $12$, $13$ jest prostokątny, więc $P = \frac{5 \cdot 12}{2} = 30$; najkrótsza wysokość opada na najdłuższy bok: $h = \frac{2 \cdot 30}{13} = \frac{60}{13} \approx 4{,}6$. Pola innych wielokątów liczymy, dzieląc je na trójkąty i prostokąty albo uzupełniając do większej figury i odejmując.

29.Wielokąt foremny i jego kąty

Wielokąt foremny ma wszystkie boki równe i wszystkie kąty równe, np. trójkąt równoboczny, kwadrat, sześciokąt foremny. Romb, który nie jest kwadratem, nie jest foremny (ma różne kąty), podobnie prostokąt, który nie jest kwadratem (ma różne boki). Suma kątów wewnętrznych $n$-kąta wynosi $(n - 2) \cdot 180^\circ$, więc kąt wielokąta foremnego ma $\frac{(n - 2) \cdot 180^\circ}{n}$. Przykład: pięciokąt foremny: $\frac{3 \cdot 180^\circ}{5} = 108^\circ$; ośmiokąt foremny: $\frac{6 \cdot 180^\circ}{8} = 135^\circ$. Wielokąt foremny o $n$ bokach ma $n$ osi symetrii.

30.Okrąg i koło: środek, promień, średnica, cięciwa

Okrąg o środku $S$ i promieniu $r$ to wszystkie punkty płaszczyzny odległe od $S$ o $r$. Koło to okrąg razem z jego wnętrzem. Promień łączy środek z punktem okręgu, cięciwa łączy dwa punkty okręgu, a średnica to cięciwa przechodząca przez środek: $d = 2r$. Średnica jest najdłuższą cięciwą okręgu. Przykład: $r = 4{,}5~\mathrm{cm}$, więc $d = 9~\mathrm{cm}$; średnica $15~\mathrm{cm}$ daje promień $7{,}5~\mathrm{cm}$.

31.Długość okręgu $L = 2\pi r$

Długość okręgu o promieniu $r$ i średnicy $d$: $L = 2\pi r = \pi d$, gdzie $\pi \approx 3{,}14$ to stosunek długości okręgu do jego średnicy. Przykład: $r = 5$, więc $L = 10\pi \approx 31{,}4$ (bo $10 \cdot 3{,}14 = 31{,}4$). W drugą stronę: $r = \frac{L}{2\pi}$; dla $L = 12\pi$ mamy $r = 6$ i $d = 12$. Gdy $L = 31{,}4$ i przyjmujemy $\pi \approx 3{,}14$, to $d \approx \frac{31{,}4}{3{,}14} = 10$.

32.Pole koła $P = \pi r^2$

Pole koła o promieniu $r$: $P = \pi r^2$. Przykład: $r = 3$, więc $P = 9\pi \approx 28{,}26$ (bo $9 \cdot 3{,}14 = 28{,}26$). Gdy dana jest średnica, najpierw liczymy promień: $d = 10$, więc $r = 5$ i $P = 25\pi$, a nie $100\pi$. W drugą stronę: $r^2 = \frac{P}{\pi}$; dla $P = 49\pi$ mamy $r^2 = 49$, $r = 7$, $d = 14$. Dwa razy dłuższy promień daje cztery razy większe pole: dla $r = 6$ pole wynosi $36\pi = 4 \cdot 9\pi$.

33.Pole pierścienia kołowego $P = \pi(R^2 - r^2)$

Pierścień kołowy to część płaszczyzny między dwoma okręgami o wspólnym środku (współśrodkowymi) o promieniach $R > r$. Jego pole to różnica pól dwóch kół: $P = \pi R^2 - \pi r^2 = \pi(R^2 - r^2)$. Przykład: $R = 5$, $r = 3$: $P = \pi(25 - 9) = 16\pi$; sprawdzenie: $25\pi - 9\pi = 16\pi$. Typowy błąd: $\pi(R - r)^2 = 4\pi$ - to pole koła o promieniu równym szerokości pierścienia, a nie pole pierścienia. Gdy dane są średnice, najpierw dzielimy je przez 2.

34.Okrąg opisany i okrąg wpisany; promienie dla kwadratu

Okrąg opisany na wielokącie przechodzi przez wszystkie jego wierzchołki, a okrąg wpisany w wielokąt jest styczny do wszystkich jego boków (dotyka każdego boku w jednym punkcie). Środek okręgu opisanego na trójkącie to punkt przecięcia symetralnych boków, a wpisanego - punkt przecięcia dwusiecznych kątów. Kwadrat o boku $a$: promień okręgu opisanego to połowa przekątnej, $R = \frac{a\sqrt{2}}{2}$, a wpisanego - połowa boku, $r = \frac{a}{2}$. Przykład: $a = 8$: przekątna $8\sqrt{2}$, więc $R = 4\sqrt{2}$, a $r = 4$.

35.Okrąg opisany i wpisany w trójkąt równoboczny: $R = \frac{2}{3}h$, $r = \frac{1}{3}h$

W trójkącie równobocznym środki obu okręgów leżą w tym samym punkcie - w punkcie przecięcia wysokości, który dzieli każdą wysokość w stosunku $2 : 1$, licząc od wierzchołka. Dlatego $R = \frac{2}{3}h = \frac{a\sqrt{3}}{3}$ i $r = \frac{1}{3}h = \frac{a\sqrt{3}}{6}$, a $R = 2r$ i $R + r = h$. Przykład: $a = 6$, $h = 3\sqrt{3}$, więc $R = 2\sqrt{3}$, $r = \sqrt{3}$; sprawdzenie: $\frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$, $\frac{6\sqrt{3}}{6} = \sqrt{3}$ oraz $2\sqrt{3} + \sqrt{3} = 3\sqrt{3} = h$.

36.Okrąg opisany i wpisany w sześciokąt foremny: $R = a$, $r = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Środkiem obu okręgów jest środek sześciokąta foremnego. Promień okręgu opisanego to odległość środka od wierzchołka, czyli bok jednego z 6 trójkątów równobocznych: $R = a$. Promień okręgu wpisanego to odległość środka od boku, czyli wysokość takiego trójkąta: $r = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. Przykład: $a = 4$, więc $R = 4$, a $r = \frac{4\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$. Sprawdzenie: dłuższa przekątna to $2R = 8 = 2a$, a odległość przeciwległych boków $2r = 4\sqrt{3}$ jest równa krótszej przekątnej $a\sqrt{3}$.

37.Symetralna odcinka

Symetralna odcinka to prosta prostopadła do tego odcinka, przechodząca przez jego środek. Własność: każdy punkt symetralnej jest równo oddalony od obu końców odcinka, a każdy punkt równo oddalony od końców odcinka leży na jego symetralnej. Symetralna jest osią symetrii odcinka. Przykład: $|AB| = 10$, punkt $P$ leży na symetralnej $AB$ i $|PA| = 7$, więc $|PB| = 7$, a trójkąt $ABP$ jest równoramienny. Konstrukcja: z obu końców odcinka zataczamy cyrklem łuki o tym samym promieniu, większym od połowy odcinka, i łączymy punkty przecięcia łuków.

38.Dwusieczna kąta

Dwusieczna kąta to półprosta o początku w wierzchołku kąta, która dzieli go na dwa równe kąty. Własność: każdy punkt dwusiecznej jest równo oddalony od obu ramion kąta (odległości mierzymy po prostopadłych do ramion). Prosta zawierająca dwusieczną jest osią symetrii kąta. Przykład: dwusieczna kąta $70^\circ$ tworzy z każdym ramieniem kąt $35^\circ$; punkt dwusiecznej odległy o $3$ od jednego ramienia jest odległy o $3$ także od drugiego. Dwusieczne dwóch kątów przyległych są prostopadłe: $\frac{70^\circ}{2} + \frac{110^\circ}{2} = 35^\circ + 55^\circ = 90^\circ$.

39.Symetria osiowa, oś symetrii, figura osiowosymetryczna

Punkty $A$ i $A'$ są symetryczne względem prostej $l$, gdy $l$ jest symetralną odcinka $AA'$ (punkt leżący na osi jest symetryczny sam do siebie). Figura osiowosymetryczna ma oś symetrii - prostą, względem której przechodzi sama na siebie (po złożeniu wzdłuż osi obie części się pokrywają). Liczba osi: trójkąt równoramienny, który nie jest równoboczny - 1, równoboczny - 3, prostokąt, który nie jest kwadratem - 2, romb, który nie jest kwadratem - 2, kwadrat - 4, trapez równoramienny - 1, $n$-kąt foremny - $n$, okrąg i koło - nieskończenie wiele. Równoległobok, który nie jest prostokątem ani rombem, nie ma osi symetrii.

40.Symetria środkowa, środek symetrii, figura środkowosymetryczna

Punkty $A$ i $A'$ są symetryczne względem punktu $O$, gdy $O$ jest środkiem odcinka $AA'$. Figura środkowosymetryczna ma środek symetrii - punkt, względem którego przechodzi sama na siebie (po obrocie o $180^\circ$ wokół niego pokrywa się ze sobą). Środek symetrii mają m.in.: odcinek (jego środek), równoległobok, prostokąt, romb i kwadrat (punkt przecięcia przekątnych), okrąg i koło (ich środek), sześciokąt foremny. Żaden trójkąt nie ma środka symetrii. Wielokąt foremny ma środek symetrii, gdy ma parzystą liczbę boków: kwadrat ma, pięciokąt foremny nie.