Wojewódzki Konkurs Matematyczny (wielkopolskie) - algebra i proporcjonalność

1.Wyrażenie algebraiczne

Wyrażenie algebraiczne to zapis złożony z liczb i liter (zmiennych) połączonych znakami działań i nawiasami, np. $3a - 2$, $\frac{x + y}{2}$. Wyrażeniem zapisujemy zależność opisaną słowami: liczba o $4$ mniejsza od $x$ to $x - 4$, a $4$ razy mniejsza to $\frac{x}{4}$. Obwód trójkąta o bokach $a$, $a + 2$ i $b$ to $a + (a + 2) + b = 2a + b + 2$; dla $a = 3$, $b = 4$: $3 + 5 + 4 = 12$ oraz $6 + 4 + 2 = 12$. Wzór opisujemy słowami: $P = a \cdot b$ - pole prostokąta to iloczyn długości jego boków.

2.Wartość liczbowa wyrażenia algebraicznego

Wartość liczbowa wyrażenia algebraicznego to liczba otrzymana po wstawieniu w miejsce liter danych liczb i wykonaniu działań w kolejności: nawiasy, potęgi, mnożenie i dzielenie, na końcu dodawanie i odejmowanie. Liczbę ujemną wstawiamy w nawiasie. Przykład: wartość $2x^2 - 3x + 1$ dla $x = -1$ to $2 \cdot (-1)^2 - 3 \cdot (-1) + 1 = 2 + 3 + 1 = 6$. Dla $a = 2$ i $b = -3$ wyrażenie $ab - b$ ma wartość $2 \cdot (-3) - (-3) = -6 + 3 = -3$.

3.Jednomian i jego współczynnik liczbowy

Jednomian to liczba, litera albo iloczyn liczb i liter, np. $7$, $y$, $-4a^2b$, $\frac{2}{3}xy$. Jednomian porządkujemy: czynniki liczbowe mnożymy i stawiamy na początku, a jednakowe litery zapisujemy raz, jako potęgę: $3a \cdot (-2b) \cdot a = -6a^2b$. Współczynnik liczbowy to czynnik liczbowy jednomianu uporządkowanego: w $-4a^2b$ wynosi $-4$, w $xy^2$ wynosi $1$, a w $-x$ wynosi $-1$. Wyrażenie $a + b$ nie jest jednomianem, bo jest sumą.

4.Jednomiany podobne

Jednomiany podobne to jednomiany różniące się jedynie współczynnikiem liczbowym - mają te same litery w tych samych potęgach, np. $5xy^2$ i $-2xy^2$. Nie są podobne $3a^2b$ i $3ab^2$ (inne potęgi) ani $4x$ i $4y$ (inne litery). Jednomiany podobne dodajemy, dodając współczynniki i przepisując część literową: $5xy^2 + (-2xy^2) = 3xy^2$, bo $5 - 2 = 3$; $-a^2 - 4a^2 = -5a^2$, bo $-1 - 4 = -5$. Jednomianów niepodobnych nie da się dodać w jeden jednomian.

5.Suma algebraiczna i redukcja wyrazów podobnych

Suma algebraiczna to suma jednomianów, np. $3x^2 - 5x + 2 = 3x^2 + (-5x) + 2$; jej wyrazy to $3x^2$, $-5x$ i $2$ (znak przed jednomianem należy do niego). Redukcja wyrazów podobnych to zastąpienie jednomianów podobnych jednym jednomianem: $2a + 3b - 5a + b = -3a + 4b$. Dodając sumy, opuszczamy nawias bez zmiany znaków; przy odejmowaniu minus przed nawiasem zmienia znaki wszystkich wyrazów w nawiasie: $(4x - 1) - (x - 3) = 4x - 1 - x + 3 = 3x + 2$.

6.Mnożenie sumy przez jednomian

Sumę algebraiczną mnożymy przez jednomian, mnożąc przez niego każdy wyraz sumy: $a(b + c) = ab + ac$. Przykład: $-3x(2x - 5) = -6x^2 + 15x$, bo $-3x \cdot 2x = -6x^2$ i $-3x \cdot (-5) = 15x$. Wyrażenia powstałe z kilku takich mnożeń porządkujemy, redukując wyrazy podobne: $4(a - 2) - 2(a + 3) = 4a - 8 - 2a - 6 = 2a - 14$. Sprawdzenie dla $a = 1$: $4 \cdot (-1) - 2 \cdot 4 = -12$ oraz $2 - 14 = -12$.

7.Mnożenie dwumianu przez dwumian

Dwumian mnożymy przez dwumian, mnożąc każdy wyraz pierwszego przez każdy wyraz drugiego i redukując wyrazy podobne: $(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd$. Przykład: $(x - 4)(x + 3) = x^2 + 3x - 4x - 12 = x^2 - x - 12$. Sprawdzenie dla $x = 2$: $(-2) \cdot 5 = -10$ oraz $4 - 2 - 12 = -10$. Drugi przykład: $(2a + 1)(a - 3) = 2a^2 - 6a + a - 3 = 2a^2 - 5a - 3$. Tak samo mnożymy dowolne sumy algebraiczne - każdy wyraz z każdym.

8.Wyłączanie jednomianu przed nawias

Wyłączanie jednomianu przed nawias zamienia sumę algebraiczną w iloczyn; to działanie odwrotne do mnożenia sumy przez jednomian: $ab + ac = a(b + c)$. Wyrazy w nawiasie otrzymujemy, dzieląc każdy wyraz sumy przez wyłączany jednomian. Przykład: $8x^2 - 12x = 4x(2x - 3)$, bo $8x^2 : 4x = 2x$ i $12x : 4x = 3$. Sprawdzamy, mnożąc z powrotem: $4x \cdot 2x - 4x \cdot 3 = 8x^2 - 12x$.

9.Największy wspólny czynnik przy wyłączaniu przed nawias

Zwykle wyłączamy największy wspólny czynnik: NWD współczynników oraz litery występujące w każdym wyrazie, każdą w najniższej potędze, w jakiej występuje. Przykład: $6a^2b + 9ab^2 = 3ab(2a + 3b)$. Gdy wyłączamy cały wyraz, w nawiasie zostaje $1$: $5x + 5 = 5(x + 1)$, $y^2 - y = y(y - 1)$. Wyłączając liczbę ujemną, zmieniamy znaki w nawiasie: $-2x - 6 = -2(x + 3)$. Sprawdzenie dla $x = 1$: $-2 - 6 = -8$ oraz $-2 \cdot 4 = -8$.

10.Zapis wyrażenia w postaci iloczynu

Zapis wyrażenia w postaci iloczynu (rozkład na czynniki) to przedstawienie sumy jako iloczynu, zwykle przez wyłączenie wspólnego czynnika. Wspólnym czynnikiem może być cały nawias: $x(a - 2) + 3(a - 2) = (a - 2)(x + 3)$. Postać iloczynu ułatwia rachunki: $17 \cdot 23 + 17 \cdot 77 = 17 \cdot 100 = 1700$, a wartość $a^2 + 3a$ dla $a = 7$ to $7 \cdot (7 + 3) = 70$; sprawdzenie: $49 + 21 = 70$. Iloczyn jest równy zeru, gdy co najmniej jeden czynnik jest zerem.

11.Wzory skróconego mnożenia

Wzory skróconego mnożenia pozwalają mnożyć niektóre dwumiany bez wypisywania wszystkich iloczynów. Kwadrat sumy: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Kwadrat różnicy: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Różnica kwadratów: $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$. Każdy z nich wynika z mnożenia dwumianu przez dwumian: $(a + b)(a + b) = a^2 + ab + ab + b^2$. Za $a$ i $b$ można wstawić dowolne liczby lub wyrażenia, np. dla $a = 3$, $b = 1$: $(3 + 1)^2 = 16$ oraz $9 + 6 + 1 = 16$.

12.Kwadrat sumy

Kwadrat sumy dwóch wyrażeń to kwadrat pierwszego plus podwojony iloczyn obu plus kwadrat drugiego: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Przykład: $(x + 3)^2 = x^2 + 6x + 9$, bo $2 \cdot x \cdot 3 = 6x$; sprawdzenie dla $x = 2$: $5^2 = 25$ oraz $4 + 12 + 9 = 25$. Drugi przykład: $(2a + 5)^2 = 4a^2 + 20a + 25$. Rachunek w pamięci: $21^2 = (20 + 1)^2 = 400 + 40 + 1 = 441$. Typowy błąd: $(x + 3)^2$ to nie $x^2 + 9$ - brakuje wyrazu $6x$.

13.Kwadrat różnicy

Kwadrat różnicy dwóch wyrażeń to kwadrat pierwszego minus podwojony iloczyn obu plus kwadrat drugiego: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. W rozwinięciu oba kwadraty mają znak plus, a minus stoi tylko przed $2ab$. Przykład: $(x - 5)^2 = x^2 - 10x + 25$; sprawdzenie dla $x = 1$: $(-4)^2 = 16$ oraz $1 - 10 + 25 = 16$. Drugi przykład: $(3y - 2)^2 = 9y^2 - 12y + 4$. Rachunek w pamięci: $99^2 = (100 - 1)^2 = 10000 - 200 + 1 = 9801$.

14.Różnica kwadratów

Iloczyn sumy i różnicy tych samych dwóch wyrażeń równa się różnicy ich kwadratów: $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$, bo wyrazy $-ab$ i $+ab$ się redukują. Przykład: $(x - 6)(x + 6) = x^2 - 36$; sprawdzenie dla $x = 10$: $4 \cdot 16 = 64$ oraz $100 - 36 = 64$. Drugi przykład: $(3a + 2)(3a - 2) = 9a^2 - 4$. Rachunek w pamięci: $48 \cdot 52 = (50 - 2)(50 + 2) = 2500 - 4 = 2496$.

15.Wzory skróconego mnożenia stosowane w drugą stronę

Wzory skróconego mnożenia stosujemy także w drugą stronę, aby zapisać sumę w postaci iloczynu. Różnica kwadratów: $x^2 - 49 = (x - 7)(x + 7)$ oraz $4a^2 - 9 = (2a - 3)(2a + 3)$. Trójmian $x^2 + 8x + 16$ to kwadrat sumy $(x + 4)^2$, bo $16 = 4^2$ i $8x = 2 \cdot x \cdot 4$; sprawdzenie dla $x = 1$: $1 + 8 + 16 = 25 = 5^2$. Podobnie $y^2 - 6y + 9 = (y - 3)^2$. Rachunek: $53^2 - 47^2 = (53 - 47)(53 + 47) = 6 \cdot 100 = 600$.

16.Równanie pierwszego stopnia z jedną niewiadomą

Równanie pierwszego stopnia z jedną niewiadomą to równanie, które po uporządkowaniu ma postać $ax + b = 0$, gdzie $a$ jest liczbą różną od zera, np. $3x - 12 = 0$. Ma ono dokładnie jedno rozwiązanie $x = -\frac{b}{a}$, tu $x = 4$. Rozwiązanie równania to liczba, która wstawiona za niewiadomą daje równość prawdziwą: $3$ spełnia $2x + 5 = 11$, bo $2 \cdot 3 + 5 = 11$, a $4$ nie, bo $2 \cdot 4 + 5 = 13$. Tak samo sprawdzamy równania wyższych stopni: $-2$ spełnia $x^2 + 2x = 0$, bo $4 - 4 = 0$.

17.Metoda równań równoważnych

Równania równoważne mają ten sam zbiór rozwiązań. Metoda równań równoważnych polega na zastępowaniu równania prostszym, równoważnym: do obu stron dodajemy (lub od obu odejmujemy) tę samą liczbę lub wyrażenie, a obie strony mnożymy (lub dzielimy) przez tę samą liczbę różną od zera. Przykład: $5x - 7 = 2x + 8$; odejmujemy $2x$ i dodajemy $7$: $3x = 15$; dzielimy przez $3$: $x = 5$. Sprawdzenie: $5 \cdot 5 - 7 = 18$ oraz $2 \cdot 5 + 8 = 18$.

18.Równania sprowadzalne do równań pierwszego stopnia

Wiele równań sprowadza się do równań pierwszego stopnia po prostych przekształceniach: opuszczeniu nawiasów, pomnożeniu obu stron przez wspólny mianownik i redukcji wyrazów podobnych. Przykład: $\frac{x}{2} + \frac{x}{3} = 5$; po pomnożeniu przez $6$: $3x + 2x = 30$, więc $x = 6$; sprawdzenie: $3 + 2 = 5$. Gdy niewiadoma się zredukuje, równanie bywa sprzeczne (np. $0 = 4$ - brak rozwiązań) albo tożsamościowe (np. $0 = 0$ - rozwiązaniem jest każda liczba). Z $(x + 1)^2 = x^2 + 7$ wychodzi $2x + 1 = 7$, $x = 3$.

19.Procenty w równaniach

W zadaniach z procentami nieznaną wielkość oznaczamy literą, a procent zamieniamy na ułamek: $p\%$ liczby $x$ to $\frac{p}{100} \cdot x$. Liczba $x$ po podwyżce o $20\%$ to $1{,}2x$, a po obniżce o $15\%$ to $0{,}85x$. Przykład: cena po obniżce o $25\%$ wynosi $60$ zł; równanie $0{,}75x = 60$ daje $x = 80$ zł. Sprawdzenie: $25\%$ z $80$ to $20$, a $80 - 20 = 60$. Dwie kolejne podwyżki o $10\%$ dają $1{,}1 \cdot 1{,}1x = 1{,}21x$, czyli łącznie $21\%$, a nie $20\%$.

20.Przekształcanie wzorów

Przekształcanie wzorów to wyznaczanie z wzoru innej wielkości - jak w równaniu wykonujemy na obu stronach działania odwrotne. Z $s = v \cdot t$ (droga to iloczyn prędkości i czasu) mamy $t = \frac{s}{v}$ i $v = \frac{s}{t}$ (dla $v$ i $t$ różnych od zera); dla $s = 120~\mathrm{km}$, $v = 60~\mathrm{km/h}$: $t = 2~\mathrm{h}$, bo $60 \cdot 2 = 120$. Z pola trapezu $P = \frac{(a + b) \cdot h}{2}$ mamy $h = \frac{2P}{a + b}$; dla $P = 20$, $a = 6$, $b = 4$: $h = \frac{40}{10} = 4$, a $\frac{10 \cdot 4}{2} = 20$.

21.Równanie pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi

Równanie pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi ma postać $ax + by = c$, gdzie współczynniki $a$ i $b$ nie są jednocześnie zerami, np. $2x + y = 7$. Jego rozwiązaniem jest para liczb $(x, y)$: para $(3, 1)$ spełnia to równanie, bo $6 + 1 = 7$, a para $(1, 3)$ nie, bo $2 + 3 = 5$. Takie równanie ma nieskończenie wiele rozwiązań, np. $(0, 7)$, $(2, 3)$, $(-1, 9)$ - każdemu $x$ odpowiada $y = 7 - 2x$. Jedną parę wyznacza dopiero drugie równanie, które z pierwszym tworzy układ oznaczony.

22.Układ równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi

Układ równań to kilka (tu dwa) równań, które mają być spełnione jednocześnie; zapisujemy je jedno pod drugim i łączymy klamrą. Rozwiązaniem układu jest para liczb spełniająca oba równania. Przykład: układ $x + y = 10$ i $x - y = 4$ ma rozwiązanie $x = 7$, $y = 3$, bo $7 + 3 = 10$ i $7 - 3 = 4$. Para $(6, 4)$ spełnia pierwsze równanie, ale nie drugie ($6 - 4 = 2$), więc nie jest rozwiązaniem układu. Układy rozwiązujemy metodą podstawiania albo metodą przeciwnych współczynników, a wynik sprawdzamy w obu równaniach.

23.Metoda podstawiania

Metoda podstawiania: z jednego równania wyznaczamy jedną niewiadomą i wstawiamy otrzymane wyrażenie do drugiego równania, które ma wtedy tylko jedną niewiadomą. Przykład: $y = 2x - 1$ i $3x + y = 14$. Podstawiamy: $3x + 2x - 1 = 14$, więc $5x = 15$ i $x = 3$, a $y = 2 \cdot 3 - 1 = 5$. Sprawdzenie: $5 = 6 - 1$ oraz $3 \cdot 3 + 5 = 14$. Metoda jest wygodna, gdy któraś niewiadoma ma współczynnik $1$ lub $-1$.

24.Metoda przeciwnych współczynników

Metoda przeciwnych współczynników: mnożymy równania przez dobrane liczby różne od zera tak, by przy jednej niewiadomej stały liczby przeciwne, a potem dodajemy równania stronami - ta niewiadoma się redukuje. Przykład: $2x + 3y = 12$ i $x - y = 1$. Drugie równanie mnożymy przez $3$: $3x - 3y = 3$. Dodajemy stronami: $5x = 15$, więc $x = 3$, a z $x - y = 1$ mamy $y = 2$. Sprawdzenie: $2 \cdot 3 + 3 \cdot 2 = 12$ oraz $3 - 2 = 1$.

25.Liczba rozwiązań układu równań

Układ dwóch równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi może być oznaczony (jedno rozwiązanie), sprzeczny (brak rozwiązań) albo nieoznaczony (nieskończenie wiele rozwiązań). Układ $x + y = 3$ i $x + y = 5$ jest sprzeczny: po odjęciu stronami zostaje $0 = 2$. Układ $x + y = 3$ i $2x + 2y = 6$ jest nieoznaczony: drugie równanie to pierwsze pomnożone przez $2$, zostaje $0 = 0$, a rozwiązaniem jest każda para $(x, 3 - x)$. Układ $x + y = 3$ i $x - y = 1$ jest oznaczony, ma jedno rozwiązanie $(2, 1)$.

26.Nierówność pierwszego stopnia z jedną niewiadomą

Nierówność pierwszego stopnia z jedną niewiadomą można sprowadzić do postaci $ax + b > 0$ (lub ze znakiem $<$, $\geq$, $\leq$), gdzie $a$ jest liczbą różną od zera, np. $2x - 6 > 0$. Jej rozwiązaniem jest każda liczba, która po wstawieniu daje nierówność prawdziwą: $5$ spełnia $2x - 6 > 0$, bo $10 - 6 = 4 > 0$, a $3$ nie, bo $6 - 6 = 0$, a $0 > 0$ to fałsz. Taka nierówność ma nieskończenie wiele rozwiązań; wszystkie razem tworzą zbiór rozwiązań, tu $x > 3$.

27.Rozwiązywanie nierówności pierwszego stopnia

Nierówności rozwiązujemy podobnie jak równania. Do obu stron możemy dodać lub od obu odjąć tę samą liczbę lub wyrażenie. Obie strony możemy pomnożyć lub podzielić przez liczbę różną od zera: przez liczbę dodatnią - bez zmiany zwrotu nierówności, przez liczbę ujemną - ze zmianą zwrotu na przeciwny. Przykład: $3x - 4 < 11$, więc $3x < 15$ i $x < 5$. Drugi przykład: $-2x \geq 8$; po podzieleniu przez $-2$: $x \leq -4$. Sprawdzenie dla $x = -5$: $-2 \cdot (-5) = 10 \geq 8$.

28.Zbiór rozwiązań na osi liczbowej

Zbiór rozwiązań nierówności pierwszego stopnia z jedną niewiadomą zaznaczamy na osi liczbowej jako półprostą. Kółko zamalowane oznacza, że liczba z brzegu należy do zbioru (znaki $\geq$, $\leq$), a kółko puste - że nie należy (znaki $>$, $<$). Przykład: $x \geq 1{,}5$ - zamalowane kółko w $1{,}5$ i zaznaczenie w prawo; $x < -\frac{4}{7}$ - puste kółko w $-\frac{4}{7}$ i zaznaczenie w lewo. Odczyt z osi: puste kółko w $2$ i zaznaczenie w lewo to $x < 2$; liczba $2$ do zbioru nie należy, a $1{,}9$ należy.

29.Nierówności z nawiasami i ułamkami, rozwiązania całkowite

Nierówność z nawiasami lub ułamkami porządkujemy jak równanie: opuszczamy nawiasy, mnożymy obie strony przez dodatni wspólny mianownik, redukujemy wyrazy podobne. Przykład: $2(x - 3) > x + 1$, czyli $2x - 6 > x + 1$ i $x > 7$. Najmniejszą liczbą całkowitą spełniającą tę nierówność jest $8$: $2 \cdot 5 = 10 > 9$, a dla $x = 7$ wychodzi $8 > 8$, co jest fałszem. Z $\frac{x}{3} \leq 2$ po pomnożeniu przez $3$: $x \leq 6$; największa liczba całkowita to $6$, bo $\frac{6}{3} = 2 \leq 2$.

30.Proporcjonalność prosta

Wielkości $x$ i $y$ są wprost proporcjonalne, gdy iloraz ich odpowiadających sobie wartości jest stały: $\frac{y}{x} = a$, czyli $y = a \cdot x$, gdzie $a$ jest liczbą różną od zera (współczynnik proporcjonalności). Gdy jedna wielkość rośnie $2$ lub $3$ razy, druga rośnie tyle samo razy. Przykład: przy cenie $3$ zł za sztukę $5$ sztuk kosztuje $15$ zł, a $10$ sztuk $30$ zł; $\frac{15}{5} = \frac{30}{10} = 3$. Inne przykłady wielkości wprost proporcjonalnych: droga i czas przy stałej prędkości, obwód kwadratu i długość jego boku.

31.Wyznaczanie wartości wielkości wprost proporcjonalnej

Wartość wielkości wprost proporcjonalnej wyznaczamy, obliczając najpierw współczynnik proporcjonalności (np. cenę jednej sztuki) albo układając proporcję. Przykład: $3$ kg jabłek kosztują $10{,}50$ zł, więc $1$ kg kosztuje $10{,}50 : 3 = 3{,}50$ zł, a $8$ kg: $8 \cdot 3{,}50 = 28$ zł. Proporcją: $\frac{3}{10{,}50} = \frac{8}{x}$, więc $3 \cdot x = 84$ i $x = 28$. Proporcja $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ (przy $b$ i $d$ różnych od zera) jest równoważna równości $a \cdot d = b \cdot c$.

32.Podział proporcjonalny

Podział proporcjonalny to podział wielkości na części w danym stosunku, np. $2 : 3 : 5$. Sumujemy liczby stosunku, dzielimy całość przez tę sumę, a wynik mnożymy przez każdą liczbę stosunku. Przykład: $600$ zł w stosunku $2 : 3 : 5$; suma $2 + 3 + 5 = 10$, jedna część to $60$ zł, więc kwoty to $120$ zł, $180$ zł i $300$ zł. Sprawdzenie: $120 + 180 + 300 = 600$. Równaniem: części to $2x$, $3x$, $5x$, a $10x = 600$, więc $x = 60$.

33.Wielkości odwrotnie proporcjonalne

Wielkości $x$ i $y$ są odwrotnie proporcjonalne, gdy iloczyn ich odpowiadających sobie wartości jest stały i różny od zera. Gdy jedna wielkość rośnie $2$ lub $3$ razy, druga maleje tyle samo razy. Przykład: na trasie $120~\mathrm{km}$ prędkość i czas jazdy są odwrotnie proporcjonalne: $40~\mathrm{km/h}$ - $3~\mathrm{h}$, $60~\mathrm{km/h}$ - $2~\mathrm{h}$; iloczyn wynosi za każdym razem $120$: $40 \cdot 3 = 120$ i $60 \cdot 2 = 120$. Samo to, że jedna wielkość rośnie, a druga maleje, nie wystarcza - iloczyn musi być stały.

34.Zapis związku $x \cdot y = a$ - proporcjonalność odwrotna

Związek między wielkościami odwrotnie proporcjonalnymi $x$ i $y$ zapisujemy wzorem $x \cdot y = a$, gdzie $a$ jest liczbą różną od zera (współczynnik proporcjonalności odwrotnej). Stąd $y = \frac{a}{x}$ oraz $x = \frac{a}{y}$. Współczynnik obliczamy z jednej pary wartości: $a = x \cdot y$. Przykład: długość $x$ i szerokość $y$ prostokąta o polu $24~\mathrm{cm^2}$ spełniają $x \cdot y = 24$; dla $x = 6$ jest $y = \frac{24}{6} = 4$, a dla $x = 8$ jest $y = 3$. Sprawdzenie: $6 \cdot 4 = 24$ i $8 \cdot 3 = 24$.

35.Przykłady wielkości odwrotnie proporcjonalnych

Przykłady wielkości odwrotnie proporcjonalnych: prędkość i czas przejazdu tej samej drogi ($v \cdot t = s$), liczba pracowników i czas wykonania tej samej pracy (przy jednakowym tempie), długość i szerokość prostokąta o stałym polu, liczba osób i kwota na osobę przy podziale stałej sumy, cena jednej sztuki i liczba sztuk kupionych za stałą kwotę. Nie każda zależność „więcej - mniej” jest proporcjonalnością odwrotną: dla $y = 10 - x$ iloczyn się zmienia, bo $1 \cdot 9 = 9$, a $2 \cdot 8 = 16$.

36.Wyznaczanie wartości wielkości odwrotnie proporcjonalnej

Wartość wielkości odwrotnie proporcjonalnej wyznaczamy z wzoru $x \cdot y = a$: z danej pary obliczamy stały iloczyn, a potem dzielimy go przez nową wartość drugiej wielkości. Przykład: $6$ malarzy pracujących w jednakowym tempie maluje szkołę w $10$ dni, więc $a = 6 \cdot 10 = 60$. Dla $4$ malarzy: $60 : 4 = 15$ dni, a dla $12$ malarzy: $60 : 12 = 5$ dni. Sprawdzenie: $4 \cdot 15 = 60$ i $12 \cdot 5 = 60$. Dwa razy więcej malarzy - dwa razy mniej dni.

37.Oś liczbowa

Oś liczbowa to prosta, na której zaznaczono punkt $0$, zwrot (strzałka w stronę liczb rosnących) i jednostkę. Każdej liczbie odpowiada jeden punkt osi: liczby dodatnie leżą na prawo od zera, ujemne - na lewo, a liczby przeciwne, np. $-3$ i $3$, w tej samej odległości od zera. Z dwóch liczb większa leży bardziej na prawo, np. $-2 > -5$. Odległość punktów $-3$ i $4$ to $4 - (-3) = 7$ jednostek ($3$ do zera i $4$ dalej). Środek odcinka o końcach $-3$ i $5$ to $\frac{-3 + 5}{2} = 1$.

38.Układ współrzędnych i punkty kratowe

Prostokątny układ współrzędnych tworzą dwie prostopadłe osie liczbowe: pozioma oś $x$ i pionowa oś $y$, przecinające się w początku układu $(0, 0)$. Punkt $A = (3, -2)$ ma pierwszą współrzędną $3$ (o $3$ jednostki w prawo od początku) i drugą $-2$ (o $2$ w dół). Punkty kratowe to punkty, których obie współrzędne są liczbami całkowitymi, np. $(-4, 1)$ i $(0, 5)$; punkt $(1{,}5;\ 2)$ nie jest kratowy. Punkty osi $x$ mają drugą współrzędną $0$, a punkty osi $y$ - pierwszą współrzędną $0$.

39.Środek odcinka w układzie współrzędnych

Środek $S$ odcinka o końcach $A = (x_A, y_A)$ i $B = (x_B, y_B)$ ma współrzędne będące średnimi współrzędnych końców: $S = \left(\frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}\right)$. Dla $A = (-2, 5)$ i $B = (6, 1)$: $S = (2, 3)$, bo $\frac{-2 + 6}{2} = 2$ i $\frac{5 + 1}{2} = 3$. Drugi koniec z końca i środka: $x_B = 2 \cdot x_S - x_A$, $y_B = 2 \cdot y_S - y_A$; dla $A = (1, 4)$ i $S = (3, 1)$: $B = (5, -2)$. Sprawdzenie: $\frac{1 + 5}{2} = 3$ i $\frac{4 - 2}{2} = 1$.

40.Długość odcinka o końcach w punktach kratowych

Długość odcinka poziomego (końce mają tę samą drugą współrzędną) to wartość bezwzględna różnicy pierwszych współrzędnych: dla $(-2, 3)$ i $(5, 3)$ wynosi $|5 - (-2)| = 7$. Długość odcinka pionowego to wartość bezwzględna różnicy drugich współrzędnych. Odcinek ukośny $AB$ jest przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych $|x_B - x_A|$ i $|y_B - y_A|$, więc z twierdzenia Pitagorasa $|AB| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$. Dla $A = (1, 2)$ i $B = (4, 6)$: $\sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$.