Wojewódzki Konkurs Matematyczny (wielkopolskie) - liczby, potęgi i pierwiastki

1.Dzielnik, wielokrotność i dzielenie z resztą

Dla liczb naturalnych $a$ i $b$ różnych od zera: $b$ jest dzielnikiem liczby $a$, gdy $a$ dzieli się przez $b$ bez reszty; wtedy $a$ jest wielokrotnością liczby $b$. Przykład: $42 : 6 = 7$, więc 6 i 7 są dzielnikami 42, a 42 jest wielokrotnością 6 i 7. Dzielenie z resztą liczby naturalnej $a$ przez $b > 0$ zapisujemy jako $a = b \cdot q + r$, gdzie $q$ to iloraz, a reszta spełnia $0 \le r < b$. Przykład: 47 podzielone przez 5 daje 9 reszty 2, czyli $47 = 5 \cdot 9 + 2$; sprawdzenie: $45 + 2 = 47$.

2.Cechy podzielności przez 2, 4, 5, 10 i 100

Liczba naturalna dzieli się: przez 2, gdy jej ostatnia cyfra jest parzysta (0, 2, 4, 6, 8); przez 5, gdy kończy się cyfrą 0 lub 5; przez 10, gdy kończy się cyfrą 0; przez 100, gdy kończy się dwoma zerami; przez 4, gdy liczba utworzona z dwóch ostatnich cyfr dzieli się przez 4. Przykład: 3716 dzieli się przez 2 i przez 4 (bo $16 : 4 = 4$; całość: $3716 : 4 = 929$), ale nie przez 5. Liczba 2300 dzieli się przez 2, 4, 5, 10 i 100, bo kończy się na 00.

3.Cechy podzielności przez 3 i 9

Liczba naturalna dzieli się przez 3, gdy suma jej cyfr dzieli się przez 3, a przez 9 - gdy suma jej cyfr dzieli się przez 9. Każda liczba podzielna przez 9 dzieli się też przez 3, ale nie odwrotnie. Przykład: 5832 ma sumę cyfr $5 + 8 + 3 + 2 = 18$, więc dzieli się przez 9 (sprawdzenie: $5832 : 9 = 648$) i przez 3. Liczba 1245 ma sumę cyfr $1 + 2 + 4 + 5 = 12$, więc dzieli się przez 3 ($1245 : 3 = 415$), ale nie przez 9, bo 12 nie dzieli się przez 9.

4.Liczby pierwsze i złożone, rozkład na czynniki pierwsze

Liczba pierwsza to liczba naturalna, która ma dokładnie dwa dzielniki: 1 i samą siebie, np. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 (2 to jedyna parzysta liczba pierwsza). Liczba złożona to liczba naturalna większa od 1, która ma więcej niż dwa dzielniki, np. 4, 6, 9, 15, 51. Liczby 0 i 1 nie są ani pierwsze, ani złożone. Rozkład na czynniki pierwsze to zapis liczby jako iloczynu liczb pierwszych: $84 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 7 = 2^2 \cdot 3 \cdot 7$; sprawdzenie: $4 \cdot 21 = 84$.

5.NWD i NWW - metoda rozkładu na czynniki

NWD to największy wspólny dzielnik dwóch liczb, a NWW - ich najmniejsza wspólna wielokrotność (dodatnia). Obie liczby rozkładamy na czynniki pierwsze. NWD to iloczyn czynników wspólnych obu rozkładów, a NWW to iloczyn wszystkich czynników jednej liczby i brakujących czynników drugiej. Przykład: $24 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3$, $36 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3$, więc $\mathrm{NWD}(24, 36) = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 12$, a $\mathrm{NWW}(24, 36) = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 = 72$. Sprawdzenie: $12 \cdot 72 = 864 = 24 \cdot 36$.

6.Ułamki zwykłe: skracanie, rozszerzanie, wspólny mianownik

Ułamek $\frac{a}{b}$ (mianownik $b$ różny od zera) opisuje część całości i jest ilorazem: $\frac{a}{b} = a : b$, np. $\frac{3}{4} = 3 : 4$. Rozszerzanie to mnożenie licznika i mianownika przez tę samą liczbę różną od zera, skracanie - dzielenie ich przez wspólny dzielnik; wartość ułamka się nie zmienia: $\frac{2}{3} = \frac{8}{12}$, $\frac{18}{24} = \frac{3}{4}$ (dzielimy przez 6). Wspólny mianownik najlepiej wybrać jako NWW mianowników: $\frac{1}{4} + \frac{1}{6} = \frac{3}{12} + \frac{2}{12} = \frac{5}{12}$.

7.Liczba mieszana i ułamek niewłaściwy

Ułamek właściwy ma licznik mniejszy od mianownika, np. $\frac{3}{5}$, a niewłaściwy - licznik większy od mianownika lub mu równy, np. $\frac{17}{5}$. Liczba mieszana to suma liczby naturalnej różnej od zera i ułamka właściwego: $3\frac{2}{5} = 3 + \frac{2}{5}$. Ułamek niewłaściwy zamieniamy na liczbę mieszaną dzieleniem z resztą: $17 = 5 \cdot 3 + 2$, więc $\frac{17}{5} = 3\frac{2}{5}$. Zamiana odwrotna: $3\frac{2}{5} = \frac{3 \cdot 5 + 2}{5} = \frac{17}{5}$.

8.Ułamki dziesiętne i rozwinięcie dziesiętne nieskończone

Ułamek zwykły zamieniamy na dziesiętny, dzieląc licznik przez mianownik albo rozszerzając go do mianownika 10, 100, 1000: $\frac{7}{20} = \frac{35}{100} = 0{,}35$, $\frac{3}{8} = 0{,}375$. Gdy mianownik ułamka nieskracalnego ma czynnik pierwszy inny niż 2 i 5, dzielenie się nie kończy i powstaje rozwinięcie dziesiętne nieskończone okresowe: $\frac{1}{3} = 0{,}333\ldots = 0{,}(3)$, $\frac{5}{6} = 0{,}8333\ldots = 0{,}8(3)$. Ułamek dziesiętny skończony zamieniamy na zwykły: $0{,}45 = \frac{45}{100} = \frac{9}{20}$.

9.Działania na ułamkach zwykłych i liczbach mieszanych

Dodajemy i odejmujemy po sprowadzeniu do wspólnego mianownika. Mnożymy licznik przez licznik i mianownik przez mianownik: $\frac{2}{3} \cdot \frac{9}{10} = \frac{18}{30} = \frac{3}{5}$. Dzielimy, mnożąc przez odwrotność dzielnika (odwrotność $\frac{a}{b}$ dla $a$ różnego od zera to $\frac{b}{a}$): $\frac{3}{4} : \frac{9}{8} = \frac{3}{4} \cdot \frac{8}{9} = \frac{24}{36} = \frac{2}{3}$. Liczby mieszane przed mnożeniem i dzieleniem zamieniamy na ułamki niewłaściwe: $1\frac{1}{2} \cdot 2\frac{2}{3} = \frac{3}{2} \cdot \frac{8}{3} = \frac{24}{6} = 4$.

10.Procent i obliczanie procentu danej liczby

Procent to setna część całości: $1\% = \frac{1}{100} = 0{,}01$. Warto pamiętać: $100\%$ to cała wielkość, $50\% = \frac{1}{2}$, $25\% = \frac{1}{4}$, $10\% = \frac{1}{10}$. Część zamieniamy na procent, mnożąc ułamek przez $100\%$: $\frac{3}{4} \cdot 100\% = 75\%$. Liczba $a$ równa $p\%$ liczby $b$ to $a = \frac{p}{100} \cdot b$. Przykład: $15\%$ liczby 240 to $0{,}15 \cdot 240 = 36$; sprawdzenie w pamięci: $10\%$ to 24, $5\%$ to 12, razem 36.

11.Jakim procentem jest liczba i liczba z danego procentu

Jakim procentem liczby $b$ jest liczba $a$: obliczamy $\frac{a}{b} \cdot 100\%$. Przykład: 18 z 72 to $\frac{18}{72} = \frac{1}{4} = 25\%$; 12 uczniów z 30 to $\frac{12}{30} = 40\%$ klasy. Liczbę $b$, której $p\%$ jest równe $a$, obliczamy z $b = a : \frac{p}{100}$. Przykład: $40\%$ liczby to 26, więc liczba to $26 : 0{,}4 = 65$; sprawdzenie: $0{,}4 \cdot 65 = 26$.

12.Podwyżki i obniżki o procent (także dwukrotne)

Podwyżka o $p\%$ to pomnożenie wielkości przez $\frac{100 + p}{100}$, a obniżka o $p\%$ - przez $\frac{100 - p}{100}$. Przykład: cena 80 zł po podwyżce o $15\%$ to $1{,}15 \cdot 80 = 92$ zł, a po obniżce o $15\%$ to $0{,}85 \cdot 80 = 68$ zł. Przy dwukrotnej zmianie drugi procent liczymy od nowej ceny: 200 zł po podwyżce o $10\%$ to 220 zł, a po kolejnej obniżce o $10\%$ to $0{,}9 \cdot 220 = 198$ zł - mniej niż na początku. Dwie podwyżki o $10\%$ to razem $21\%$, bo $1{,}1 \cdot 1{,}1 = 1{,}21$.

13.Liczby całkowite, liczby przeciwne i wartość bezwzględna

Liczby całkowite to liczby naturalne, liczby do nich przeciwne i zero: $\ldots, -2, -1, 0, 1, 2, \ldots$. Liczby przeciwne różne od zera, np. $5$ i $-5$, leżą na osi liczbowej po dwóch stronach zera, w tej samej odległości od niego; liczbą przeciwną do 0 jest 0. Na osi większa jest liczba położona bardziej w prawo: $-3 > -8$. Wartość bezwzględna liczby nieujemnej to ta sama liczba, a liczby ujemnej - liczba do niej przeciwna, więc nie jest ujemna: $|7| = 7$, $|-7| = 7$, $|0| = 0$. Rachunki: $-6 + 10 = 4$, $(-6) \cdot (-2) = 12$.

14.Kolejność wykonywania działań

1) Działania w nawiasach, zaczynając od najbardziej wewnętrznych. 2) Potęgowanie i pierwiastkowanie. 3) Mnożenie i dzielenie - w kolejności od lewej do prawej. 4) Dodawanie i odejmowanie - od lewej do prawej. Przykład: $5 + 3 \cdot 2^3 = 5 + 3 \cdot 8 = 5 + 24 = 29$, a z nawiasem $(5 + 3) \cdot 2^3 = 8 \cdot 8 = 64$. Mnożenie nie ma pierwszeństwa przed dzieleniem: $36 : 6 \cdot 2 = 6 \cdot 2 = 12$, a nie $36 : 12 = 3$. Z liczbą ujemną: $-1 + 0{,}5 \cdot (4 - 6) = -1 + 0{,}5 \cdot (-2) = -1 - 1 = -2$.

15.Potęga o wykładniku naturalnym

Dla liczby naturalnej $n$ większej od 1: $a^n = a \cdot a \cdot \ldots \cdot a$ ($n$ czynników), gdzie $a$ to podstawa, a $n$ - wykładnik; ponadto $a^1 = a$. Kwadrat liczby to jej druga potęga, sześcian - trzecia. Przykłady: $2^5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32$, $5^3 = 125$, $(0{,}3)^2 = 0{,}09$, $\left(\frac{2}{3}\right)^3 = \frac{8}{27}$. Potęgę liczby mieszanej liczymy po zamianie na ułamek niewłaściwy: $\left(1\frac{1}{2}\right)^2 = \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4} = 2\frac{1}{4}$.

16.Potęga liczby ujemnej - znak wyniku

Potęga liczby ujemnej o wykładniku parzystym jest dodatnia, a o wykładniku nieparzystym - ujemna: $(-2)^4 = 16$, $(-2)^3 = -8$. Ważne są nawiasy: $(-3)^2 = (-3) \cdot (-3) = 9$, ale $-3^2 = -(3 \cdot 3) = -9$, bo do potęgi podnosimy tylko 3. Podobnie $-\left(\frac{1}{2}\right)^2 = -\frac{1}{4}$, a $\left(-\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$. Potęga liczby 1 to 1, a potęga liczby 0 o wykładniku naturalnym dodatnim to 0: $1^7 = 1$, $0^5 = 0$.

17.Potęga o wykładniku zero

Dla każdej liczby $a$ różnej od zera: $a^0 = 1$. Tak musi być, żeby działały prawa działań na potęgach: $\frac{a^3}{a^3} = 1$, a dzieląc potęgi, dostajemy $a^{3-3} = a^0$. Przykłady: $7^0 = 1$, $(-5)^0 = 1$, $\left(\frac{2}{9}\right)^0 = 1$, $(0{,}4)^0 = 1$. Uwaga na nawiasy: $-5^0 = -1$, bo do potęgi podnosimy tylko 5. Wyrażenie $0^0$ nie jest określone, dlatego wzór $a^0 = 1$ stosujemy tylko dla podstawy różnej od zera.

18.Potęga o wykładniku całkowitym ujemnym

Dla $a$ różnego od zera i liczby naturalnej $n$: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ - potęga o wykładniku ujemnym to odwrotność potęgi o wykładniku przeciwnym. Przykłady: $2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$; $10^{-2} = \frac{1}{100} = 0{,}01$; $(-3)^{-2} = \frac{1}{(-3)^2} = \frac{1}{9}$; $(-2)^{-3} = \frac{1}{(-2)^3} = -\frac{1}{8}$. Wykładnik ujemny nie czyni wyniku ujemnym: $5^{-1} = \frac{1}{5} = 0{,}2$. Podstawa 0 jest wykluczona, bo nie można dzielić przez zero.

19.Ułamek do potęgi o wykładniku ujemnym

Dla $a$ i $b$ różnych od zera: $\left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^n$ - odwracamy ułamek i zmieniamy znak wykładnika na przeciwny. Przykłady: $\left(\frac{2}{3}\right)^{-2} = \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4}$; $\left(\frac{1}{5}\right)^{-3} = 5^3 = 125$; $\left(-\frac{3}{4}\right)^{-1} = -\frac{4}{3}$. Ułamek dziesiętny najpierw zamieniamy na zwykły: $(0{,}5)^{-4} = \left(\frac{1}{2}\right)^{-4} = 2^4 = 16$; sprawdzenie: $(0{,}5)^4 = 0{,}0625 = \frac{1}{16}$.

20.Mnożenie potęg o tej samej podstawie

$a^l \cdot a^k = a^{l+k}$ - mnożąc potęgi o tej samej podstawie, dodajemy wykładniki, a podstawę przepisujemy. Wzór działa dla wykładników całkowitych i podstawy wymiernej (różnej od zera, gdy któryś wykładnik nie jest dodatni). Przykłady: $2^3 \cdot 2^4 = 2^7 = 128$, sprawdzenie: $8 \cdot 16 = 128$; $5^{-2} \cdot 5^3 = 5^1 = 5$, sprawdzenie: $\frac{1}{25} \cdot 125 = 5$. Typowe błędy: $2^3 \cdot 2^4$ to nie $2^{12}$ (wykładników nie mnożymy) ani $4^7$ (podstaw nie mnożymy).

21.Dzielenie potęg o tej samej podstawie

$a^l : a^k = a^{l-k}$ dla $a$ różnego od zera - dzieląc potęgi o tej samej podstawie, odejmujemy wykładniki (od wykładnika dzielnej wykładnik dzielnika). Przykłady: $3^7 : 3^4 = 3^3 = 27$, sprawdzenie: $2187 : 81 = 27$; $2^3 : 2^5 = 2^{-2} = \frac{1}{4}$, sprawdzenie: $8 : 32 = \frac{1}{4}$; $10^4 : 10^{-2} = 10^{4-(-2)} = 10^6$. Odjęcie wykładnika ujemnego to dodanie liczby do niego przeciwnej.

22.Potęga potęgi

$(a^l)^k = a^{l \cdot k}$ - podnosząc potęgę do potęgi, mnożymy wykładniki (przy wykładniku zerowym lub ujemnym podstawa musi być różna od zera). Przykłady: $(2^3)^2 = 2^6 = 64$, sprawdzenie: $8^2 = 64$; $(5^{-1})^2 = 5^{-2} = \frac{1}{25}$; $(3^2)^0 = 3^0 = 1$. Wzór pozwala sprowadzać potęgi do wspólnej podstawy: $4^5 = (2^2)^5 = 2^{10} = 1024$, $9^3 = (3^2)^3 = 3^6$. Nie myl z mnożeniem potęg: $(2^3)^2 = 2^6$, ale $2^3 \cdot 2^2 = 2^5$.

23.Iloczyn potęg o jednakowych wykładnikach

$a^k \cdot b^k = (a \cdot b)^k$ - potęgi o różnych podstawach i tym samym wykładniku mnożymy, mnożąc podstawy; wykładnik się nie zmienia (przy wykładniku zerowym lub ujemnym obie podstawy muszą być różne od zera). Wzór działa też w drugą stronę: $(a \cdot b)^k = a^k \cdot b^k$. Przykłady: $2^5 \cdot 5^5 = 10^5 = 100\,000$, sprawdzenie: $32 \cdot 3125 = 100\,000$; $4^3 \cdot 25^3 = 100^3 = 1\,000\,000$; $(0{,}5)^4 \cdot 2^4 = 1^4 = 1$; $(2x)^3 = 2^3 \cdot x^3 = 8x^3$.

24.Iloraz potęg o jednakowych wykładnikach

$a^k : b^k = (a : b)^k$ dla $b$ różnego od zera (a przy wykładniku zerowym lub ujemnym także $a$ różnego od zera), czyli $\frac{a^k}{b^k} = \left(\frac{a}{b}\right)^k$ - dzielimy podstawy, a wykładnik zostaje. Przykłady: $15^3 : 5^3 = 3^3 = 27$, sprawdzenie: $3375 : 125 = 27$; $\frac{12^4}{6^4} = 2^4 = 16$; $\left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{3^2}{4^2} = \frac{9}{16}$; $6^{-2} : 3^{-2} = 2^{-2} = \frac{1}{4}$, sprawdzenie: $\frac{1}{36} : \frac{1}{9} = \frac{9}{36} = \frac{1}{4}$.

25.Notacja wykładnicza

Notacja wykładnicza to zapis liczby dodatniej w postaci $a \cdot 10^n$, gdzie $1 \le a < 10$, a $n$ jest liczbą całkowitą. Dużą liczbę zapisujemy, przesuwając przecinek w lewo tak, by przed nim została jedna cyfra różna od zera: $5\,200\,000 = 5{,}2 \cdot 10^6$ (przesunięcie o 6 miejsc); sprawdzenie: $5{,}2 \cdot 1\,000\,000 = 5\,200\,000$. Zapis $52 \cdot 10^5$ ma tę samą wartość, ale nie jest notacją wykładniczą, bo $52 \ge 10$. Liczby od 1 do 10 (bez 10) mają wykładnik 0: $3{,}7 = 3{,}7 \cdot 10^0$.

26.Notacja wykładnicza małych liczb (wykładnik ujemny)

Liczby dodatnie mniejsze od 1 mają w notacji wykładniczej wykładnik ujemny. Przecinek przesuwamy w prawo, aż powstanie liczba $a$ spełniająca $1 \le a < 10$; liczba przesunięć ze znakiem minus to wykładnik: $0{,}00034 = 3{,}4 \cdot 10^{-4}$, bo $10^{-4} = 0{,}0001$; sprawdzenie: $3{,}4 \cdot 0{,}0001 = 0{,}00034$. Odwrotnie: zapisując $a \cdot 10^n$ zwykłą liczbą, przy $n$ dodatnim przesuwamy przecinek w prawo, a przy ujemnym - w lewo: $7{,}05 \cdot 10^{-3} = 0{,}00705$.

27.Mnożenie i dzielenie w notacji wykładniczej

Mnożymy (dzielimy) osobno liczby $a$ i osobno potęgi 10, korzystając z $10^m \cdot 10^n = 10^{m+n}$ i $10^m : 10^n = 10^{m-n}$, a na końcu poprawiamy wynik tak, by $1 \le a < 10$. Przykład: $(3 \cdot 10^5) \cdot (4 \cdot 10^{-2}) = 12 \cdot 10^3 = 1{,}2 \cdot 10^4$; sprawdzenie: $300\,000 \cdot 0{,}04 = 12\,000$. Przykład: $(6 \cdot 10^8) : (2{,}4 \cdot 10^3) = 2{,}5 \cdot 10^5$, bo $6 : 2{,}4 = 2{,}5$; sprawdzenie: $600\,000\,000 : 2400 = 250\,000$.

28.Dodawanie, odejmowanie i potęgowanie w notacji wykładniczej

Dodając lub odejmując, sprowadzamy liczby do tej samej potęgi 10: $4{,}5 \cdot 10^6 + 3 \cdot 10^5 = 4{,}5 \cdot 10^6 + 0{,}3 \cdot 10^6 = 4{,}8 \cdot 10^6$; sprawdzenie: $4\,500\,000 + 300\,000 = 4\,800\,000$. Potęgując, potęgujemy oba czynniki: $(2 \cdot 10^4)^3 = 2^3 \cdot 10^{12} = 8 \cdot 10^{12}$; $(5 \cdot 10^{-3})^2 = 25 \cdot 10^{-6} = 2{,}5 \cdot 10^{-5}$. Przy dodawaniu wykładników nie dodajemy: $10^6 + 10^5 = 11 \cdot 10^5 = 1{,}1 \cdot 10^6$, a nie $10^{11}$.

29.Pierwiastek kwadratowy i sześcienny

Pierwiastek kwadratowy z liczby nieujemnej $a$ to liczba nieujemna $b$, dla której $b^2 = a$: $\sqrt{49} = 7$, bo $7^2 = 49$ (wynik to 7, nie $-7$). Pierwiastek sześcienny z liczby $a$ to liczba $b$, dla której $b^3 = a$: $\sqrt[3]{64} = 4$, bo $4^3 = 64$. Pierwiastki z kwadratów i sześcianów liczb wymiernych: $\sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$, $\sqrt{0{,}16} = 0{,}4$, $\sqrt{1\frac{7}{9}} = \sqrt{\frac{16}{9}} = \frac{4}{3}$, $\sqrt[3]{0{,}001} = 0{,}1$, $\sqrt[3]{\frac{8}{27}} = \frac{2}{3}$.

30.Szacowanie pierwiastków

Gdy liczba pod pierwiastkiem nie jest kwadratem (sześcianem) liczby wymiernej, szacujemy pierwiastek między sąsiednimi liczbami całkowitymi. Przykład: $11^2 = 121 < 137 < 144 = 12^2$, więc $11 < \sqrt{137} < 12$; liczba całkowita $n$ spełniająca $n \le \sqrt{137} < n + 1$ to 11. Podobnie $3^3 = 27 < 50 < 64 = 4^3$, więc $3 < \sqrt[3]{50} < 4$. Szacujemy też wyrażenia: $2 < \sqrt{5} < 3$, więc $3 < 1 + \sqrt{5} < 4$. Porównanie z liczbą: $\sqrt{50} > 7$, bo $50 > 49 = 7^2$.

31.Pierwiastek z iloczynu i ilorazu

Dla $a \ge 0$, $b \ge 0$: $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$, a dla $a \ge 0$, $b > 0$: $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$; podobnie dla pierwiastków sześciennych. Wzory czytane od prawej do lewej pozwalają mnożyć i dzielić pierwiastki tego samego stopnia: $\sqrt{2} \cdot \sqrt{18} = \sqrt{36} = 6$; $\frac{\sqrt{75}}{\sqrt{3}} = \sqrt{25} = 5$; $\sqrt[3]{4} \cdot \sqrt[3]{16} = \sqrt[3]{64} = 4$; $\sqrt{16 \cdot 81} = 4 \cdot 9 = 36$. Pierwiastek z sumy to nie suma pierwiastków: $\sqrt{9 + 16} = 5$, a $3 + 4 = 7$.

32.Wyłączanie czynnika przed znak pierwiastka i włączanie pod znak

Wyłączanie: liczbę pod pierwiastkiem zapisujemy jako iloczyn, w którym jeden czynnik jest kwadratem (sześcianem), i ten czynnik pierwiastkujemy: $\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}$; $\sqrt[3]{24} = \sqrt[3]{8 \cdot 3} = 2\sqrt[3]{3}$. Włączanie: liczbę dodatnią sprzed pierwiastka kwadratowego podnosimy do kwadratu (sprzed sześciennego - do sześcianu) i wpisujemy jako czynnik pod pierwiastek: $3\sqrt{2} = \sqrt{9 \cdot 2} = \sqrt{18}$; $2\sqrt[3]{5} = \sqrt[3]{8 \cdot 5} = \sqrt[3]{40}$. Włączanie ułatwia porównywanie: $3\sqrt{2} = \sqrt{18} < \sqrt{20}$.

33.Potęgowanie pierwiastków kwadratowych

Dla $a \ge 0$: $(\sqrt{a})^2 = a$, a gdy przed pierwiastkiem stoi liczba: $(b\sqrt{a})^2 = b^2 \cdot a$ - do kwadratu podnosimy oba czynniki. Przykłady: $(\sqrt{5})^2 = 5$; $(2\sqrt{7})^2 = 2^2 \cdot 7 = 4 \cdot 7 = 28$; $(3\sqrt{20})^2 = 3^2 \cdot 20 = 9 \cdot 20 = 180$. Sprawdzenie przez włączanie pod pierwiastek: $2\sqrt{7} = \sqrt{4 \cdot 7} = \sqrt{28}$, a $(\sqrt{28})^2 = 28$. Typowy błąd: $(2\sqrt{7})^2 = 2 \cdot 7 = 14$ - zapomniany kwadrat liczby 2.

34.Potęgowanie pierwiastków sześciennych

Dla każdej liczby $a$: $(\sqrt[3]{a})^3 = a$, a gdy przed pierwiastkiem stoi liczba: $(b\sqrt[3]{a})^3 = b^3 \cdot a$. Przykłady: $(\sqrt[3]{20})^3 = 20$; $(3\sqrt[3]{2})^3 = 3^3 \cdot 2 = 27 \cdot 2 = 54$; $(2\sqrt[3]{5})^3 = 8 \cdot 5 = 40$; $(\sqrt[3]{-6})^3 = -6$. Sprawdzenie przez włączanie pod pierwiastek: $3\sqrt[3]{2} = \sqrt[3]{27 \cdot 2} = \sqrt[3]{54}$, a $(\sqrt[3]{54})^3 = 54$. Typowy błąd: $(3\sqrt[3]{2})^3 = 3 \cdot 2 = 6$ albo $9 \cdot 2 = 18$ - liczbę 3 trzeba podnieść do sześcianu.

35.Pierwiastek sześcienny z liczby ujemnej

Pierwiastek sześcienny z liczby ujemnej istnieje i jest liczbą ujemną: $\sqrt[3]{-a} = -\sqrt[3]{a}$. Przykłady: $\sqrt[3]{-8} = -2$, bo $(-2)^3 = -8$; $\sqrt[3]{-\frac{27}{125}} = -\frac{3}{5}$, bo $\left(-\frac{3}{5}\right)^3 = -\frac{27}{125}$; $\sqrt[3]{-0{,}001} = -0{,}1$. Inaczej jest z pierwiastkiem kwadratowym z liczby ujemnej: nie istnieje, bo kwadrat żadnej liczby nie jest ujemny. Zatem $\sqrt{-4}$ nie ma wartości, ale $-\sqrt{4} = -2$.

36.Pierwiastkowanie potęg: pierwiastek kwadratowy z kwadratu

$\sqrt{a^2} = |a|$ - pierwiastek kwadratowy nie jest liczbą ujemną, więc z kwadratu liczby ujemnej dostajemy liczbę do niej przeciwną. Przykłady: $\sqrt{7^2} = 7$; $\sqrt{(-12)^2} = \sqrt{144} = 12$, a nie $-12$; $\sqrt{12^2 \cdot (-3)^2} = 12 \cdot 3 = 36$, sprawdzenie: $\sqrt{144 \cdot 9} = \sqrt{1296} = 36$; $\sqrt{\frac{15^2}{7^2}} = \frac{15}{7}$, sprawdzenie: $\left(\frac{15}{7}\right)^2 = \frac{225}{49}$.

37.Pierwiastkowanie potęg: pierwiastek sześcienny z sześcianu

$\sqrt[3]{a^3} = a$ dla każdej liczby $a$, także ujemnej - pierwiastek sześcienny zachowuje znak. Przykłady: $\sqrt[3]{7^3} = 7$; $\sqrt[3]{\left(\frac{2}{3}\right)^3} = \frac{2}{3}$; $\sqrt[3]{2^3 \cdot (-3)^3} = 2 \cdot (-3) = -6$, sprawdzenie: $8 \cdot (-27) = -216 = (-6)^3$; $\sqrt[3]{\frac{12^3}{10^3}} = \frac{12}{10} = 1{,}2$, sprawdzenie: $(1{,}2)^3 = 1{,}728 = \frac{1728}{1000}$. Porównaj: $\sqrt{(-3)^2} = 3$, ale $\sqrt[3]{(-3)^3} = -3$.

38.Usuwanie niewymierności z mianownika typu $\frac{a}{\sqrt{b}}$

Usunąć niewymierność z mianownika to przekształcić ułamek tak, by w mianowniku nie było pierwiastka; wartość ułamka się nie zmienia. Gdy mianownik to $\sqrt{b}$, rozszerzamy ułamek przez $\sqrt{b}$, bo $\sqrt{b} \cdot \sqrt{b} = b$: $\frac{3}{\sqrt{2}} = \frac{3 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{2}$. Sprawdzenie w przybliżeniu: $\frac{3}{1{,}414} \approx 2{,}12$ i $\frac{3 \cdot 1{,}414}{2} \approx 2{,}12$. Często da się jeszcze skrócić: $\frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$.

39.Wyrażenie sprzężone - mianownik typu $a + \sqrt{b}$

Wyrażenia $a + \sqrt{b}$ i $a - \sqrt{b}$ są sprzężone. Mnożąc je jak dwumian przez dwumian, dostajemy liczbę bez pierwiastka: $(a + \sqrt{b}) \cdot (a - \sqrt{b}) = a^2 - a\sqrt{b} + a\sqrt{b} - b = a^2 - b$. Dlatego ułamek z mianownikiem $a + \sqrt{b}$ rozszerzamy przez $a - \sqrt{b}$ (i odwrotnie): $\frac{2}{2 + \sqrt{5}} = \frac{2 \cdot (2 - \sqrt{5})}{(2 + \sqrt{5}) \cdot (2 - \sqrt{5})} = \frac{4 - 2\sqrt{5}}{4 - 5} = 2\sqrt{5} - 4$. Sprawdzenie: obie liczby to około $0{,}47$.

40.Usuwanie niewymierności: mianowniki $1 - \sqrt{2}$ i $\sqrt{3} - \sqrt{2}$

Gdy w mianowniku jest suma lub różnica liczby i pierwiastka albo dwóch pierwiastków, rozszerzamy ułamek przez wyrażenie sprzężone, a licznik mnożymy jak dwumian przez dwumian. $\frac{1}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{(\sqrt{3} - \sqrt{2}) \cdot (\sqrt{3} + \sqrt{2})} = \frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{3 - 2} = \sqrt{3} + \sqrt{2}$. $\frac{1 + \sqrt{2}}{1 - \sqrt{2}} = \frac{(1 + \sqrt{2}) \cdot (1 + \sqrt{2})}{1 - 2} = \frac{3 + 2\sqrt{2}}{-1} = -3 - 2\sqrt{2}$. Sprawdzenie: $\frac{2{,}414}{-0{,}414} \approx -5{,}83$ i $-3 - 2{,}828 \approx -5{,}83$.