Przedmiotowy Konkurs Matematyczny (mazowieckie) - bryły i statystyka

1.Wielościan: ściana, krawędź, wierzchołek, podstawa

Wielościan to bryła ograniczona wyłącznie wielokątami - to jej ściany. Krawędź to odcinek, w którym stykają się dwie ściany, a wierzchołek - punkt, w którym schodzą się co najmniej trzy krawędzie. W graniastosłupie i ostrosłupie wyróżniamy podstawę (graniastosłup ma dwie podstawy) oraz ściany boczne, a krawędzie dzielimy na krawędzie podstawy i krawędzie boczne. Przykład: prostopadłościan ma 6 ścian, 12 krawędzi i 8 wierzchołków, a w każdym wierzchołku schodzą się 3 krawędzie. Walec, stożek i kula nie są wielościanami, bo mają powierzchnie zakrzywione.

2.Graniastosłup: podstawy, ściany boczne i liczba elementów

Graniastosłup ma dwie przystające podstawy - wielokąty leżące w płaszczyznach równoległych - a jego ściany boczne są równoległobokami (w graniastosłupie prostym prostokątami). Nazwę bierze od podstawy: trójkątny, czworokątny, pięciokątny, sześciokątny. Graniastosłup $n$-kątny ma $2n$ wierzchołków, $3n$ krawędzi ($n$ bocznych i $2n$ w podstawach) oraz $n + 2$ ściany. Przykład: graniastosłup pięciokątny ma $2 \cdot 5 = 10$ wierzchołków, $3 \cdot 5 = 15$ krawędzi i $5 + 2 = 7$ ścian. Krawędzie boczne graniastosłupa są równej długości.

3.Prostopadłościan i sześcian

Prostopadłościan to graniastosłup, którego wszystkie ściany są prostokątami. Ma 6 ścian (3 pary przystających ścian przeciwległych), 8 wierzchołków i 12 krawędzi w trzech czwórkach równych: $a$, $b$, $c$. Suma długości krawędzi to $4 \cdot (a + b + c)$, np. dla krawędzi $2$, $3$ i $5~\mathrm{cm}$: $4 \cdot 10 = 40~\mathrm{cm}$. Sześcian to prostopadłościan o wszystkich krawędziach równych - jego ściany to 6 przystających kwadratów, a suma krawędzi wynosi $12a$, np. $12 \cdot 3 = 36~\mathrm{cm}$. Każdy sześcian jest prostopadłościanem, ale nie odwrotnie.

4.Ostrosłup: podstawa, ściany boczne, wierzchołek ostrosłupa

Ostrosłup ma jedną podstawę - wielokąt - i ściany boczne, które są trójkątami o wspólnym wierzchołku, zwanym wierzchołkiem ostrosłupa. Nazwę bierze od podstawy: ostrosłup trójkątny (czworościan), czworokątny, sześciokątny. Ostrosłup $n$-kątny ma $n + 1$ wierzchołków, $2n$ krawędzi ($n$ w podstawie i $n$ bocznych) oraz $n + 1$ ścian. Przykład: ostrosłup sześciokątny ma $6 + 1 = 7$ wierzchołków, $2 \cdot 6 = 12$ krawędzi i $7$ ścian. Czworościan ma 4 ściany, 4 wierzchołki i 6 krawędzi - każdą jego ścianę można uznać za podstawę.

5.Wysokość i przekątna bryły

Wysokość graniastosłupa $H$ to odległość między jego podstawami - w graniastosłupie prostym jest równa krawędzi bocznej. Wysokość ostrosłupa to odcinek prostopadły do podstawy, poprowadzony z wierzchołka ostrosłupa. Przekątna graniastosłupa łączy dwa wierzchołki nieleżące na jednej ścianie (przekątna ściany leży na ścianie). Prostopadłościan ma 4 przekątne o długości $d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$, np. dla krawędzi $2$, $3$, $6$: $d = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7$. W sześcianie przekątna ściany to $a\sqrt{2}$, a przekątna sześcianu - $a\sqrt{3}$.

6.Walec, stożek i kula - rozpoznawanie

Walec, stożek i kula to bryły obrotowe o powierzchniach zakrzywionych - nie są wielościanami. Walec ma dwie podstawy będące przystającymi kołami i powierzchnię boczną, która po rozwinięciu jest prostokątem (np. puszka). Stożek ma jedną podstawę - koło - i wierzchołek (np. rożek do lodów). Kula to wszystkie punkty odległe od środka o nie więcej niż promień (np. piłka). Walec powstaje z obrotu prostokąta wokół boku, stożek - z obrotu trójkąta prostokątnego wokół przyprostokątnej, a kula - z obrotu półkola wokół średnicy.

7.Graniastosłup prosty

Graniastosłup prosty to graniastosłup, którego krawędzie boczne są prostopadłe do podstaw. Wtedy wszystkie ściany boczne są prostokątami, a wysokość bryły jest równa długości krawędzi bocznej. Gdy krawędzie boczne nie są prostopadłe do podstaw, graniastosłup jest pochyły - część jego ścian bocznych to równoległoboki niebędące prostokątami, a wysokość jest krótsza od krawędzi bocznej. Podstawą graniastosłupa prostego może być dowolny wielokąt, np. trójkąt prostokątny, trapez czy romb. Przykład: prostopadłościan to graniastosłup prosty o podstawie prostokąta.

8.Graniastosłup prawidłowy

Graniastosłup prawidłowy to graniastosłup prosty, którego podstawy są wielokątami foremnymi, więc jego ściany boczne to przystające prostokąty. Najczęstsze: trójkątny (podstawa - trójkąt równoboczny), czworokątny (kwadrat) i sześciokątny (sześciokąt foremny). Pola podstaw o boku $a$: kwadrat $a^2$, trójkąt równoboczny $\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$, sześciokąt foremny $\frac{3a^2\sqrt{3}}{2}$, bo składa się z 6 trójkątów równobocznych. Dla $a = 2$: $4$, $\sqrt{3}$ i $6\sqrt{3}$. Sześcian to graniastosłup prawidłowy czworokątny o równych krawędziach.

9.Zależności między krawędziami graniastosłupa

W graniastosłupie prostym $n$-kątnym każda krawędź podstawy występuje dwa razy (dolna i górna podstawa są przystające), a wszystkie $n$ krawędzi bocznych ma długość $H$. Suma długości wszystkich krawędzi: $S = 2 \cdot O_p + n \cdot H$, gdzie $O_p$ to obwód podstawy. Przykład: graniastosłup prawidłowy trójkątny o krawędzi podstawy $4$ i krawędzi bocznej $10$: $S = 2 \cdot 12 + 3 \cdot 10 = 24 + 30 = 54$. Wzór działa też w drugą stronę: sześcian o sumie krawędzi $72$ ma krawędź $72 : 12 = 6$.

10.Ostrosłup prawidłowy i czworościan foremny

Ostrosłup prawidłowy ma w podstawie wielokąt foremny, a spodek jego wysokości leży w środku podstawy (w kwadracie - w punkcie przecięcia przekątnych). Wtedy wszystkie krawędzie boczne są równe, a ściany boczne to przystające trójkąty równoramienne. Najczęstsze: prawidłowy trójkątny, czworokątny i sześciokątny. Czworościan foremny to ostrosłup trójkątny, którego 4 ściany są przystającymi trójkątami równobocznymi - ma 6 równych krawędzi. Przykład: suma krawędzi czworościanu foremnego o krawędzi $5$ to $6 \cdot 5 = 30$.

11.Wysokość ostrosłupa a wysokość ściany bocznej

Wysokość ostrosłupa $H$ opada z wierzchołka prostopadle na podstawę, a wysokość ściany bocznej $h$ to wysokość trójkąta - ściany, poprowadzona z wierzchołka ostrosłupa do krawędzi podstawy. W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym o krawędzi podstawy $a$ odcinki $H$, $\frac{a}{2}$ i $h$ tworzą trójkąt prostokątny: $h^2 = H^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2$. Przykład: $a = 6$, $H = 4$: $h^2 = 16 + 9 = 25$, więc $h = 5$. W ostrosłupie prawidłowym $h$ jest dłuższa od $H$, ale krótsza od krawędzi bocznej.

12.Ostrosłup, który nie jest prawidłowy - spodek wysokości

Spodek wysokości ostrosłupa nie musi leżeć w środku podstawy. Gdy krawędź boczna jest prostopadła do podstawy, to ona jest wysokością ostrosłupa. Gdy spodek leży w środku krawędzi podstawy, ściana boczna z tą krawędzią jest prostopadła do podstawy, a wysokość ostrosłupa jest zarazem wysokością tej ściany. Liczymy ją z twierdzenia Pitagorasa, np. gdy ta ściana jest trójkątem równoramiennym o podstawie $10$ i ramionach $13$: $H^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144$, $H = 12$. Objętość liczymy jak zawsze: $V = \frac{1}{3} P_p \cdot H$.

13.Siatka bryły

Siatka bryły to figura płaska złożona ze wszystkich ścian bryły, z której po zagięciu wzdłuż krawędzi można skleić jej powierzchnię bez zakładek i dziur. Pole siatki jest równe polu powierzchni całkowitej bryły. Ta sama bryła ma zwykle wiele różnych siatek, np. sześcian ma ich 11. Sprawdzając siatkę, liczymy ściany i ich kształty, a potem w myślach ją składamy: sklejane boki muszą mieć równe długości, a żadne dwie ściany nie mogą trafić na to samo miejsce. Siatka graniastosłupa $n$-kątnego ma $n + 2$ wielokąty, a ostrosłupa $n$-kątnego - $n + 1$.

14.Siatka prostopadłościanu i sześcianu

Siatka prostopadłościanu o krawędziach $a$, $b$, $c$ składa się z 6 prostokątów w trzech parach przystających: $a \times b$, $a \times c$, $b \times c$. Rysujemy ją zwykle tak: pas czterech ścian bocznych (prostokąt o bokach $2a + 2b$ i $c$), a do niego dwie podstawy $a \times b$ - po jednej z każdej strony pasa. Siatka sześcianu to 6 przystających kwadratów, np. w kształcie krzyża: cztery w rzędzie i po jednym nad rzędem i pod nim. Pięć kwadratów w jednym rzędzie albo blok $2 \times 2$ kwadratów nie może być częścią siatki sześcianu.

15.Siatka graniastosłupa prostego

Siatka graniastosłupa prostego $n$-kątnego to dwie przystające podstawy i $n$ prostokątów - ścian bocznych. Ściany boczne rysujemy obok siebie jako pas: prostokąt o bokach $O_p$ (obwód podstawy) i $H$, podzielony według kolejnych boków podstawy. Podstawy dorysowujemy po przeciwnych stronach pasa, każdą przyłożoną do prostokąta o boku tej samej długości. Przykład: dla podstawy - trójkąta o bokach $3$, $4$, $5$ - i wysokości $10$ pas ma wymiary $12 \times 10$ i składa się z prostokątów $3 \times 10$, $4 \times 10$, $5 \times 10$.

16.Siatka ostrosłupa

Siatka ostrosłupa $n$-kątnego to podstawa i $n$ trójkątów - ścian bocznych. Najczęściej rysujemy ją jak gwiazdę: do każdego boku podstawy przykładamy trójkąt. Boki sąsiednich trójkątów, które po złożeniu się skleją, muszą mieć równą długość, bo tworzą jedną krawędź boczną. W siatce ostrosłupa prawidłowego wszystkie ściany boczne są przystającymi trójkątami równoramiennymi. Siatką czworościanu foremnego jest np. trójkąt równoboczny podzielony odcinkami łączącymi środki boków na 4 przystające trójkąty równoboczne.

17.Pole powierzchni całkowitej i pole powierzchni bocznej

Pole powierzchni bocznej $P_b$ to suma pól wszystkich ścian bocznych, a pole powierzchni całkowitej $P_c$ - suma pól wszystkich ścian, czyli pole siatki. Graniastosłup ma dwie podstawy: $P_c = 2 \cdot P_p + P_b$. Ostrosłup ma jedną podstawę: $P_c = P_p + P_b$. Przykład: graniastosłup z $P_p = 6$ i $P_b = 120$ ma $P_c = 2 \cdot 6 + 120 = 132$; ostrosłup z $P_p = 36$ i $P_b = 60$ ma $P_c = 36 + 60 = 96$. Pole powierzchni podajemy w jednostkach kwadratowych, np. $\mathrm{cm^2}$ lub $\mathrm{m^2}$.

18.Pole powierzchni prostopadłościanu i sześcianu

Prostopadłościan o krawędziach $a$, $b$, $c$ ma trzy pary przystających ścian, więc $P_c = 2 \cdot (a \cdot b + a \cdot c + b \cdot c)$. Przykład: $a = 2$, $b = 3$, $c = 4$: $P_c = 2 \cdot (6 + 8 + 12) = 2 \cdot 26 = 52$. Sześcian ma 6 kwadratowych ścian: $P_c = 6a^2$, np. dla $a = 5~\mathrm{cm}$: $6 \cdot 25 = 150~\mathrm{cm^2}$. Pole boczne prostopadłościanu o podstawie $a \times b$ i wysokości $c$: $P_b = 2 \cdot (a + b) \cdot c$, np. $2 \cdot 5 \cdot 4 = 40$. Wszystkie krawędzie muszą być w tej samej jednostce.

19.Pole powierzchni graniastosłupa prostego

Ściany boczne graniastosłupa prostego to prostokąty o wspólnym boku $H$, więc razem tworzą pas o długości równej obwodowi podstawy: $P_b = O_p \cdot H$, a potem $P_c = 2 \cdot P_p + P_b$. Przykład: podstawa - trójkąt prostokątny o bokach $3$, $4$, $5$, wysokość $H = 10$: $P_p = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6$, $O_p = 12$, $P_b = 12 \cdot 10 = 120$, $P_c = 2 \cdot 6 + 120 = 132$. W graniastosłupie prawidłowym $n$-kątnym o krawędzi podstawy $a$: $P_b = n \cdot a \cdot H$, np. sześciokątny z $a = 2$, $H = 5$: $P_b = 6 \cdot 2 \cdot 5 = 60$.

20.Pole powierzchni ostrosłupa prawidłowego

Ściany boczne ostrosłupa prawidłowego $n$-kątnego to $n$ przystających trójkątów o podstawie $a$ i wysokości $h$ (wysokość ściany bocznej), więc $P_b = n \cdot \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$ i $P_c = P_p + P_b$. Przykład: ostrosłup prawidłowy czworokątny, $a = 6$, $h = 5$: $P_b = 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 5 = 60$, $P_p = 6^2 = 36$, $P_c = 96$. Gdy znamy wysokość ostrosłupa $H$ zamiast $h$, najpierw liczymy $h$ z twierdzenia Pitagorasa. W ostrosłupie, który nie jest prawidłowy, liczymy pole każdej ściany bocznej osobno i sumujemy.

21.Objętość i jednostki sześcienne

Objętość mówi, ile miejsca zajmuje bryła, czyli ile sześcianów jednostkowych się w niej mieści. $1~\mathrm{cm^3}$ to objętość sześcianu o krawędzi $1~\mathrm{cm}$, $1~\mathrm{dm^3}$ - sześcianu o krawędzi $1~\mathrm{dm}$, a $1~\mathrm{m^3}$ - sześcianu o krawędzi $1~\mathrm{m}$. Używamy też $\mathrm{mm^3}$ i $\mathrm{km^3}$. Przykład: prostopadłościan $3~\mathrm{cm} \times 2~\mathrm{cm} \times 4~\mathrm{cm}$ mieści 4 warstwy po $3 \cdot 2 = 6$ sześcianików, czyli $24~\mathrm{cm^3}$. Objętość podajemy w jednostkach sześciennych, a pole - w kwadratowych.

22.Zamiana jednostek objętości

Przy zamianie jednostek objętości przelicznik długości bierzemy do sześcianu: sześcian o krawędzi $1~\mathrm{dm} = 10~\mathrm{cm}$ ma objętość $10 \cdot 10 \cdot 10 = 1000~\mathrm{cm^3}$. Stąd $1~\mathrm{cm^3} = 1000~\mathrm{mm^3}$, $1~\mathrm{dm^3} = 1000~\mathrm{cm^3}$, $1~\mathrm{m^3} = 1000~\mathrm{dm^3} = 1\,000\,000~\mathrm{cm^3}$. Przykłady: $2{,}5~\mathrm{m^3} = 2500~\mathrm{dm^3}$, $750~\mathrm{cm^3} = 0{,}75~\mathrm{dm^3}$. Typowy błąd to $1~\mathrm{m^3} = 100~\mathrm{dm^3}$ - przelicznik długości $10$ daje dla objętości $10^3 = 1000$.

23.Jednostki pojemności: litr i mililitr

Pojemność to objętość płynu, który mieści naczynie. Podstawowe jednostki to litr ($\mathrm{l}$) i mililitr ($\mathrm{ml}$): $1~\mathrm{l} = 1~\mathrm{dm^3}$, $1~\mathrm{ml} = 1~\mathrm{cm^3}$, $1~\mathrm{l} = 1000~\mathrm{ml}$, $1~\mathrm{m^3} = 1000~\mathrm{l}$. Przykład: akwarium $50~\mathrm{cm} \times 30~\mathrm{cm} \times 40~\mathrm{cm}$ ma objętość $60\,000~\mathrm{cm^3} = 60~\mathrm{dm^3}$, czyli mieści $60~\mathrm{l}$. Szklanka $250~\mathrm{ml}$ to $250~\mathrm{cm^3} = 0{,}25~\mathrm{l}$.

24.Objętość prostopadłościanu i sześcianu

Objętość prostopadłościanu to iloczyn długości trzech krawędzi wychodzących z jednego wierzchołka: $V = a \cdot b \cdot c$, czyli pole podstawy razy wysokość. Objętość sześcianu o krawędzi $a$: $V = a^3$, np. dla $a = 5~\mathrm{cm}$: $5^3 = 125~\mathrm{cm^3}$. Gdy krawędzie podano w różnych jednostkach, najpierw je ujednolicamy: $2~\mathrm{m}$, $50~\mathrm{cm}$ i $3~\mathrm{dm}$ to $20~\mathrm{dm} \cdot 5~\mathrm{dm} \cdot 3~\mathrm{dm} = 300~\mathrm{dm^3} = 300~\mathrm{l}$. Podwojenie krawędzi sześcianu zwiększa jego objętość 8 razy, bo $2^3 = 8$.

25.Objętość graniastosłupa: $V = P_p \cdot H$

Objętość każdego graniastosłupa to pole podstawy razy wysokość: $V = P_p \cdot H$. Najpierw liczymy pole podstawy odpowiednim wzorem (trójkąt, trapez, romb, wielokąt foremny), potem mnożymy przez wysokość. Przykład: podstawa - trójkąt prostokątny o przyprostokątnych $3$ i $4$, wysokość $10$: $V = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 \cdot 10 = 60$. Graniastosłup prawidłowy czworokątny o krawędzi podstawy $3~\mathrm{cm}$ i wysokości $8~\mathrm{cm}$: $V = 3^2 \cdot 8 = 72~\mathrm{cm^3}$. W graniastosłupie prostym wysokością jest krawędź boczna.

26.Objętość ostrosłupa: $V = \frac{1}{3} P_p \cdot H$

Objętość ostrosłupa to jedna trzecia iloczynu pola podstawy i wysokości: $V = \frac{1}{3} P_p \cdot H$. Ostrosłup ma więc 3 razy mniejszą objętość niż graniastosłup o tej samej podstawie i tej samej wysokości. Przykład: ostrosłup prawidłowy czworokątny o krawędzi podstawy $6$ i wysokości $4$: $V = \frac{1}{3} \cdot 36 \cdot 4 = 48$, a graniastosłup o tej podstawie i wysokości ma $36 \cdot 4 = 144 = 3 \cdot 48$. Do wzoru wstawiamy wysokość ostrosłupa $H$, a nie wysokość ściany bocznej $h$ ani krawędź boczną.

27.Zliczanie obiektów o danej własności

Obiekty najpewniej liczymy, wypisując je systematycznie: w ustalonej kolejności, w tabeli albo na drzewku, tak by żadnego nie pominąć ani nie policzyć dwa razy. Przydatna reguła: od liczby $a$ do liczby $b$ włącznie jest $b - a + 1$ liczb całkowitych. Przykłady: liczb dwucyfrowych jest $99 - 10 + 1 = 90$; dwucyfrowe wielokrotności 7 to $7 \cdot 2 = 14$, …, $7 \cdot 14 = 98$, więc jest ich $14 - 2 + 1 = 13$. Liczby dwucyfrowe o sumie cyfr 5 to 14, 23, 32, 41, 50 - jest ich 5.

28.Reguła dodawania

Jeśli wybieramy jeden obiekt z jednej z kilku grup, które nie mają wspólnych elementów, to liczba możliwości jest sumą liczebności grup: $a + b$. Przykład: na deser są 4 rodzaje lodów i 3 rodzaje ciasta, a wybieramy jedną rzecz - mamy $4 + 3 = 7$ możliwości. Liczb dwucyfrowych z cyfrą jedności 0 lub 5 jest $9 + 9 = 18$. Gdy grupy mają część wspólną, trzeba ją odjąć raz, bo inaczej liczymy ją podwójnie: liczb od 1 do 20 podzielnych przez 2 lub przez 5 jest $10 + 4 - 2 = 12$ (10 i 20 są w obu grupach).

29.Reguła mnożenia

Jeśli wybór składa się z dwóch etapów, pierwszy etap można wykonać na $a$ sposobów, a drugi - po każdym wyborze w pierwszym - na $b$ sposobów, to cały wybór można wykonać na $a \cdot b$ sposobów. Przykład: 3 koszulki i 4 pary spodni dają $3 \cdot 4 = 12$ różnych strojów. Przy trzech etapach mnożymy trzy liczby: 2 zupy, 3 drugie dania i 2 desery to $2 \cdot 3 \cdot 2 = 12$ obiadów. Wyniki można wypisać w tabeli: wiersze to możliwości pierwszego etapu, kolumny - drugiego, a każde pole tabeli to jedna para.

30.Liczby z cyfr - zliczanie z regułą mnożenia

Liczby o zadanych cyfrach liczymy pozycja po pozycji, mnożąc liczby możliwości. Liczby dwucyfrowe: na pierwszym miejscu cyfra 1-9, na drugim 0-9, więc jest ich $9 \cdot 10 = 90$. Liczby dwucyfrowe o różnych cyfrach: $9 \cdot 9 = 81$ (druga cyfra dowolna poza pierwszą, także 0). Z cyfr 1, 2, 3 można utworzyć $3 \cdot 3 = 9$ liczb dwucyfrowych, gdy cyfry mogą się powtarzać, i $3 \cdot 2 = 6$, gdy nie mogą. Liczb trzycyfrowych parzystych jest $9 \cdot 10 \cdot 5 = 450$. Zaczynamy od miejsc z ograniczeniami.

31.Pary nieuporządkowane - mecze i powitania

Gdy kolejność w parze nie ma znaczenia (mecz Ola - Ewa to ten sam mecz co Ewa - Ola), liczymy pary uporządkowane z reguły mnożenia, a potem dzielimy przez 2, bo każdą parę policzyliśmy dwa razy. Z $n$ osób można utworzyć $\frac{n \cdot (n - 1)}{2}$ par. Przykład: 5 osób wita się uściskiem dłoni każda z każdą: $\frac{5 \cdot 4}{2} = 10$ powitań; sprawdzenie: $4 + 3 + 2 + 1 = 10$. Gdy kolejność ma znaczenie (np. wybór przewodniczącego i zastępcy spośród 5 osób), nie dzielimy: $5 \cdot 4 = 20$.

32.Doświadczenie losowe, wynik i zdarzenie

Doświadczenie losowe to działanie, którego wyniku nie da się przewidzieć, np. rzut monetą (2 wyniki: orzeł, reszka), rzut sześcienną kostką do gry (6 wyników: od 1 do 6 oczek), rzut kostką ośmiościenną (8 wyników) lub losowanie kuli z pudełka. Zdarzenie to zbiór wyników, np. przy rzucie kostką zdarzenie „wypadła parzysta liczba oczek” to wyniki 2, 4, 6 - są to wyniki sprzyjające. Zdarzenie pewne zawiera wszystkie wyniki (np. wypadło mniej niż 7 oczek), a zdarzenie niemożliwe - żadnego (np. wypadło 7 oczek).

33.Prawdopodobieństwo zdarzenia

Gdy wszystkie wyniki doświadczenia są jednakowo prawdopodobne, prawdopodobieństwo zdarzenia $A$ to $P(A) = \frac{k}{n}$, gdzie $k$ to liczba wyników sprzyjających zdarzeniu $A$, a $n$ - liczba wszystkich wyników. Przykład: rzut kostką, zdarzenie - wypadła liczba większa od 4 (wyniki 5 i 6): $P = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$. Prawdopodobieństwo to liczba od 0 do 1: zdarzenie niemożliwe ma prawdopodobieństwo $0$, a pewne - $1$. Prawdopodobieństwo, że zdarzenie nie zajdzie, to $1 - P(A)$, np. $1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.

34.Losowanie kul i rzut kostką - obliczanie prawdopodobieństwa

Przy losowaniu jednej kuli każda kula ma jednakową szansę, więc liczymy kule, a nie kolory. Przykład: w pudełku są 3 kule białe, 5 czarnych i 2 zielone, razem 10. Prawdopodobieństwo wylosowania kuli czarnej to $\frac{5}{10} = \frac{1}{2}$, białej - $\frac{3}{10}$, a kuli innej niż biała - $\frac{7}{10} = 1 - \frac{3}{10}$. Rzut kostką sześcienną: szóstka - $\frac{1}{6}$, liczba pierwsza (2, 3, 5) - $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$. Typowy błąd: przy trzech kolorach podać $\frac{1}{3}$, choć kul w kolorach jest różna liczba.

35.Dwa rzuty - wyniki w tabeli lub na drzewku

Gdy doświadczenie ma dwa etapy, liczbę wszystkich wyników liczymy z reguły mnożenia. Dwa rzuty monetą: $2 \cdot 2 = 4$ wyniki (OO, OR, RO, RR), więc dwa orły mają prawdopodobieństwo $\frac{1}{4}$, a jeden orzeł i jedna reszka - $\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$. Rzut dwiema kostkami: $6 \cdot 6 = 36$ wyników w tabeli 6 na 6. Sumę oczek 7 daje 6 par: (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1), więc $P = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$. Pary (1, 6) i (6, 1) to różne wyniki.

36.Gromadzenie i porządkowanie danych, tabela

Dane zbieramy z obserwacji, ankiet lub pomiarów, a potem porządkujemy: sortujemy rosnąco lub malejąco i zliczamy, ile razy wystąpiła każda wartość - to jej liczebność. Wygodnie zapisać je w tabeli: w jednym wierszu wartości, w drugim liczebności; suma liczebności to liczba wszystkich danych. Przykład: oceny 5, 3, 4, 5, 4, 5 po uporządkowaniu to 3, 4, 4, 5, 5, 5 - ocena 3 wystąpiła raz, 4 dwa razy, 5 trzy razy, razem 6 danych. Z tabeli łatwo odczytać wartość najmniejszą i największą oraz porównać liczebności.

37.Diagram słupkowy i diagram kołowy

Na diagramie słupkowym wysokość słupka pokazuje wartość lub liczebność - odczytujemy ją na osi z podziałką, a najwyższy słupek to wartość największa. Diagram kołowy pokazuje podział całości na części: całe koło to $100\%$, czyli $360^\circ$, więc $1\%$ to $3{,}6^\circ$, a wycinek dla $p\%$ ma kąt $\frac{p}{100} \cdot 360^\circ$. Przykłady: $25\%$ to $90^\circ$, $40\%$ to $0{,}4 \cdot 360^\circ = 144^\circ$. W drugą stronę: wycinek $72^\circ$ to $\frac{72}{360} = \frac{1}{5} = 20\%$. Tworząc diagram kołowy, najpierw zamieniamy procenty na kąty.

38.Wykres liniowy - odczytywanie i opis zmian

Wykres liniowy w układzie współrzędnych pokazuje, jak wielkość zmienia się w czasie: na osi poziomej zwykle czas, na pionowej wartość, a punkty z pomiarów łączymy odcinkami. Odczytujemy wartość w danej chwili, wartość największą (najwyżej położony punkt) i najmniejszą (najniżej), a przebieg opisujemy słowami: wartości rosną (linia w górę), maleją (w dół) albo są takie same - wartość jest stała (odcinek poziomy). Przykład: temperatura $-2^\circ\mathrm{C}$ o 6:00 i $5^\circ\mathrm{C}$ o 12:00 oznacza wzrost o $7^\circ\mathrm{C}$.

39.Średnia arytmetyczna

Średnia arytmetyczna kilku liczb to ich suma podzielona przez liczbę tych liczb: $\frac{x_1 + x_2 + \ldots + x_n}{n}$. Przykład: dla 4, 7, 9 i 12: $\frac{4 + 7 + 9 + 12}{4} = \frac{32}{4} = 8$. Średnia nie jest mniejsza od najmniejszej liczby ani większa od największej, ale nie musi być żadną z nich, np. średnia liczb 2 i 5 to $3{,}5$. Liczby ujemne dodajemy ze znakiem: średnia temperatur $-3^\circ\mathrm{C}$, $1^\circ\mathrm{C}$ i $5^\circ\mathrm{C}$ to $\frac{-3 + 1 + 5}{3} = 1^\circ\mathrm{C}$.

40.Suma danych ze średniej - brakująca liczba

Ze wzoru na średnią wynika, że suma wszystkich danych to średnia razy liczba danych: $S = \bar{x} \cdot n$. Pozwala to znaleźć brakującą liczbę. Przykład: średnia trzech ocen to 4, więc ich suma to $3 \cdot 4 = 12$. Aby średnia czterech ocen wyniosła $4{,}5$, ich suma musi być równa $4 \cdot 4{,}5 = 18$, więc czwarta ocena to $18 - 12 = 6$. Dopisanie liczby równej średniej nie zmienia średniej, dopisanie liczby większej - podnosi ją, a mniejszej - obniża. Jedna bardzo duża lub bardzo mała wartość może mocno przesunąć średnią.