Przedmiotowy Konkurs Matematyczny (mazowieckie) - geometria płaska

1.Punkt, prosta, półprosta, odcinek

Punkt to najprostsza figura, oznaczamy go wielką literą, np. $A$. Prosta nie ma końców - biegnie bez końca w obie strony. Półprosta ma początek, a w drugą stronę biegnie bez końca; punkt leżący na prostej dzieli ją na dwie półproste. Odcinek $AB$ to część prostej między punktami $A$ i $B$ (końcami odcinka) - ma długość, np. $|AB| = 4{,}7~\mathrm{cm}$, którą mierzymy linijką z dokładnością do 1 mm. Przez dwa różne punkty przechodzi dokładnie jedna prosta, a przez jeden punkt - nieskończenie wiele prostych.

2.Proste prostopadłe i równoległe, odległość punktu od prostej

Proste prostopadłe przecinają się pod kątem prostym ($90^\circ$), zapis $k \perp l$. Proste równoległe leżą na płaszczyźnie i nie mają punktów wspólnych, zapis $k \parallel l$. Dwie różne proste na płaszczyźnie albo przecinają się w jednym punkcie, albo są równoległe. Odcinki są prostopadłe (równoległe), gdy leżą na prostych prostopadłych (równoległych). Odległość punktu $P$ od prostej $k$ to długość odcinka prostopadłego poprowadzonego z $P$ do prostej $k$ - najkrótszego odcinka łączącego $P$ z tą prostą. Odległość dwóch prostych równoległych jest w każdym miejscu taka sama.

3.Kąt: ramiona, wierzchołek, kąt ostry, prosty, rozwarty, półpełny, pełny

Kąt to część płaszczyzny ograniczona dwiema półprostymi o wspólnym początku (razem z tymi półprostymi): półproste to ramiona kąta, a ich wspólny początek - wierzchołek. Kąty mierzymy kątomierzem w stopniach. Kąt ostry ma więcej niż $0^\circ$ i mniej niż $90^\circ$, kąt prosty - dokładnie $90^\circ$, kąt rozwarty - więcej niż $90^\circ$, ale mniej niż $180^\circ$, kąt półpełny - $180^\circ$ (ramiona tworzą prostą), kąt pełny - $360^\circ$. Przykłady: $35^\circ$ - ostry, $120^\circ$ - rozwarty; kąt prosty to połowa półpełnego ($180^\circ : 2 = 90^\circ$), a pełny to 4 kąty proste.

4.Kąty przyległe i kąty wierzchołkowe

Kąty przyległe mają jedno ramię wspólne, a dwa pozostałe ramiona tworzą prostą - ich suma wynosi $180^\circ$. Kąty wierzchołkowe mają wspólny wierzchołek, a ramiona jednego są przedłużeniami ramion drugiego; powstają przy przecięciu dwóch prostych i są równe. Uzasadnienie: oba są przyległe do tego samego kąta, więc każdy ma $180^\circ$ minus ten kąt. Przykład: proste przecinają się pod kątem $70^\circ$; kąt przyległy ma $180^\circ - 70^\circ = 110^\circ$, wierzchołkowy - $70^\circ$, a cztery kąty razem: $70^\circ + 110^\circ + 70^\circ + 110^\circ = 360^\circ$.

5.Kąty odpowiadające i naprzemianległe

Gdy dwie proste przetnie trzecia prosta (sieczna), przy dwóch punktach przecięcia powstaje 8 kątów. Kąty odpowiadające zajmują takie samo położenie przy obu punktach przecięcia: leżą po tej samej stronie siecznej i po tej samej stronie przeciętych prostych. Kąty naprzemianległe leżą przy różnych punktach przecięcia, po przeciwnych stronach siecznej: oba między prostymi albo oba na zewnątrz. Gdy proste są równoległe, kąty odpowiadające i kąty naprzemianległe są równe; np. kąt $65^\circ$ przy jednej prostej daje kąty $65^\circ$ przy drugiej. I odwrotnie: równe kąty odpowiadające oznaczają proste równoległe.

6.Rodzaje trójkątów: ostrokątny, prostokątny, rozwartokątny, równoramienny, równoboczny

Ze względu na kąty: trójkąt ostrokątny ma wszystkie kąty ostre, prostokątny - jeden kąt prosty (boki przy nim to przyprostokątne, bok naprzeciw - przeciwprostokątna), rozwartokątny - jeden kąt rozwarty. Trójkąt ma najwyżej jeden kąt prosty lub rozwarty. Ze względu na boki: różnoboczny - boki różnej długości, równoramienny - co najmniej dwa boki równe (ramiona; trzeci bok to podstawa), równoboczny - trzy boki równe i każdy kąt $60^\circ$. Trójkąt równoboczny jest szczególnym trójkątem równoramiennym. Przykład: kąty $30^\circ$, $60^\circ$, $90^\circ$ - trójkąt prostokątny różnoboczny.

7.Suma kątów wewnętrznych trójkąta

W każdym trójkącie $\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$. Uzasadnienie: przez wierzchołek prowadzimy prostą równoległą do przeciwległego boku - kąty naprzemianległe przenoszą dwa kąty trójkąta obok trzeciego i razem tworzą kąt półpełny. Przykład: kąty $48^\circ$ i $77^\circ$, więc trzeci ma $180^\circ - 48^\circ - 77^\circ = 55^\circ$ (sprawdzenie: $48^\circ + 77^\circ + 55^\circ = 180^\circ$). Wnioski: w trójkącie prostokątnym kąty ostre dają razem $90^\circ$, a w równobocznym każdy kąt ma $180^\circ : 3 = 60^\circ$.

8.Trójkąt równoramienny - kąty i obwód

Ramiona są równe i kąty przy podstawie są równe. Gdy dany jest kąt między ramionami $\gamma$, każdy kąt przy podstawie ma $\frac{180^\circ - \gamma}{2}$; gdy dany jest kąt przy podstawie $\alpha$, kąt między ramionami ma $180^\circ - 2\alpha$. Przykład: $\gamma = 40^\circ$, więc $\frac{180^\circ - 40^\circ}{2} = 70^\circ$ (sprawdzenie: $70^\circ + 70^\circ + 40^\circ = 180^\circ$). Obwód: $L = a + 2b$, gdzie $a$ - podstawa, $b$ - ramię. Przykład: $L = 30~\mathrm{cm}$, $a = 8~\mathrm{cm}$, więc $b = \frac{30 - 8}{2} = 11~\mathrm{cm}$ (sprawdzenie: $8 + 2 \cdot 11 = 30$).

9.Nierówność trójkąta

Dla dowolnych punktów $A$, $B$, $C$: $|AB| + |BC| \geq |AC|$, a równość zachodzi wtedy, gdy punkt $B$ leży na odcinku $AC$. Z odcinków $a$, $b$, $c$ zbudujemy trójkąt, gdy najdłuższy z nich jest krótszy od sumy dwóch pozostałych. Przykłady: 4 cm, 5 cm, 8 cm - trójkąt istnieje, bo $4 + 5 = 9 > 8$; 3 cm, 4 cm, 7 cm - nie istnieje, bo $3 + 4 = 7$. Konstrukcja z trzech boków: odkładamy jeden bok, z jego końców kreślimy cyrklem łuki o promieniach równych pozostałym bokom - punkt przecięcia łuków to trzeci wierzchołek.

10.Figury przystające

Figury są przystające, gdy jedną można nałożyć na drugą tak, by się pokryły (przesuwając, obracając lub odbijając) - mają ten sam kształt i te same wymiary. Zapis: $\triangle ABC \equiv \triangle DEF$. Odpowiadające sobie boki i kąty figur przystających są równe, więc figury te mają równe obwody i równe pola. Figura i jej obraz w symetrii osiowej lub środkowej są przystające. Przykład: dwa kwadraty o boku 3 cm są przystające, a kwadrat o boku 3 cm i prostokąt $1~\mathrm{cm} \times 9~\mathrm{cm}$ mają równe pola ($9~\mathrm{cm^2}$), ale nie są przystające.

11.Cechy przystawania trójkątów: bbb, bkb, kbk

Dwa trójkąty są przystające, gdy: (bbb) trzy boki jednego są równe odpowiednio trzem bokom drugiego; (bkb) dwa boki i kąt między nimi są równe dwóm bokom i kątowi między nimi w drugim trójkącie; (kbk) bok i dwa kąty przy tym boku są równe bokowi i dwóm kątom przy nim w drugim trójkącie. Przykład: trójkąty o bokach 5, 6, 7 i 7, 5, 6 są przystające (bbb). W cesze bkb kąt musi leżeć między danymi bokami - dwa boki i kąt, który nie leży między nimi, w ogólności nie wystarczą.

12.Odpowiadające elementy trójkątów przystających

Zapis $\triangle ABC \equiv \triangle DEF$ ustala pary wierzchołków: $A$ z $D$, $B$ z $E$, $C$ z $F$. Wtedy $|AB| = |DE|$, $|BC| = |EF|$, $|AC| = |DF|$ oraz $\angle A = \angle D$, $\angle B = \angle E$, $\angle C = \angle F$; naprzeciw równych boków leżą równe kąty. Przykłady: przekątna dzieli równoległobok na dwa trójkąty przystające (bbb: wspólna przekątna i dwie pary równych boków przeciwległych); wysokość trójkąta równoramiennego opuszczona na podstawę dzieli go na dwa przystające trójkąty prostokątne, więc dzieli podstawę na połowy.

13.Twierdzenie Pitagorasa

W trójkącie prostokątnym suma kwadratów długości przyprostokątnych $a$ i $b$ równa się kwadratowi długości przeciwprostokątnej $c$: $a^2 + b^2 = c^2$. Przeciwprostokątna leży naprzeciw kąta prostego i jest najdłuższym bokiem. Przykład: $a = 6$, $b = 8$, więc $c^2 = 36 + 64 = 100$, $c = 10$. Szukając przyprostokątnej, odejmujemy: $c = 13$, $a = 5$, więc $b^2 = 169 - 25 = 144$, $b = 12$. Wynik bywa niewymierny: $a = b = 1$ daje $c^2 = 2$, czyli $c = \sqrt{2}$.

14.Twierdzenie Pitagorasa: przekątna prostokąta i kwadratu, wysokość trójkąta równobocznego

Przekątna prostokąta o bokach $a$, $b$: $d = \sqrt{a^2 + b^2}$, np. boki 5 i 12 dają $d = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$. Przekątna kwadratu o boku $a$: $d = a\sqrt{2}$, bo $d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$; np. $a = 3$ daje $d = 3\sqrt{2}$. Wysokość trójkąta równobocznego o boku $a$: $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$, bo $h^2 = a^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \frac{3a^2}{4}$; np. $a = 6$ daje $h = 3\sqrt{3}$ (sprawdzenie: $h^2 = 36 - 9 = 27$ i $(3\sqrt{3})^2 = 27$).

15.Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa

Jeśli w trójkącie o bokach $a$, $b$, $c$ zachodzi $a^2 + b^2 = c^2$, to trójkąt jest prostokątny, a kąt prosty leży naprzeciw boku $c$. Sprawdzamy, czy kwadrat najdłuższego boku równa się sumie kwadratów dwóch pozostałych. Przykłady: 9, 12, 15 - $81 + 144 = 225 = 15^2$, więc prostokątny; 4, 5, 6 - $16 + 25 = 41$, a $6^2 = 36$, więc nie jest prostokątny. Trójki pitagorejskie: 3, 4, 5; 5, 12, 13; 8, 15, 17; 7, 24, 25 oraz ich wielokrotności, np. 6, 8, 10.

16.Figury podobne i skala podobieństwa k

Figury są podobne, gdy jedna jest powiększeniem lub pomniejszeniem drugiej (może być też przesunięta, obrócona lub odbita): wszystkie odcinki zmieniają się w tym samym stosunku $k > 0$, a kąty się nie zmieniają. Liczba $k$ to skala podobieństwa - iloraz długości odcinka drugiej figury przez długość odpowiadającego mu odcinka pierwszej. $k > 1$ - powiększenie, $k < 1$ - pomniejszenie, $k = 1$ - figury przystające. Przykład: trójkąty o bokach 3, 4, 5 i 6, 8, 10 są podobne w skali $k = 2$, bo $\frac{6}{3} = \frac{8}{4} = \frac{10}{5} = 2$. Zapis: $\triangle ABC \sim \triangle DEF$.

17.Cecha podobieństwa trójkątów kkk (kąt-kąt-kąt)

Dwa trójkąty są podobne, jeśli kąty jednego są równe odpowiednim kątom drugiego. Suma kątów trójkąta wynosi $180^\circ$, więc wystarczy sprawdzić dwie pary równych kątów. Przykład: trójkąt o kątach $50^\circ$ i $60^\circ$ jest podobny do trójkąta o kątach $60^\circ$ i $70^\circ$, bo w pierwszym trzeci kąt ma $180^\circ - 50^\circ - 60^\circ = 70^\circ$. Ważny przypadek: prosta równoległa do boku trójkąta odcina od niego trójkąt podobny do całego (kąty odpowiadające są równe). Wszystkie trójkąty równoboczne są podobne.

18.Cechy podobieństwa trójkątów bbb i bkb

(bbb) Trójkąty są podobne, gdy trzy boki jednego są proporcjonalne do trzech boków drugiego: $\frac{a'}{a} = \frac{b'}{b} = \frac{c'}{c} = k$. Przykład: 4, 6, 8 oraz 6, 9, 12, bo $\frac{6}{4} = \frac{9}{6} = \frac{12}{8} = 1{,}5$. Boki zestawiamy od najkrótszego do najdłuższego. (bkb) Trójkąty są podobne, gdy dwa boki jednego są proporcjonalne do dwóch boków drugiego, a kąty między tymi bokami są równe. Przykład: boki 3 i 5 z kątem $40^\circ$ między nimi oraz boki 6 i 10 z kątem $40^\circ$ między nimi - skala $k = 2$.

19.Stosunek obwodów figur podobnych

Jeśli figury są podobne w skali $k$, to stosunek ich obwodów też jest równy $k$: $\frac{L_2}{L_1} = k$, bo każdy bok mnożymy przez $k$. Przykład: trójkąt o bokach 3, 4, 5 ma obwód 12; trójkąt podobny w skali $k = 3$ ma boki 9, 12, 15 i obwód $9 + 12 + 15 = 36 = 3 \cdot 12$. Z obwodów odczytujemy skalę: obwody 20 cm i 50 cm dają $k = \frac{50}{20} = 2{,}5$. W tej samej skali zmieniają się wysokości, przekątne i promienie figur podobnych.

20.Stosunek pól figur podobnych

Jeśli figury są podobne w skali $k$, to stosunek ich pól równa się kwadratowi skali: $\frac{P_2}{P_1} = k^2$, bo pole zależy od iloczynu dwóch wymiarów, a każdy z nich rośnie $k$ razy. Przykład: kwadrat o boku 2 ma pole 4, a kwadrat o boku 6 ($k = 3$) ma pole $36 = 3^2 \cdot 4$. Odwrotnie: pola $10~\mathrm{cm^2}$ i $40~\mathrm{cm^2}$ dają $k^2 = 4$, więc $k = 2$ - boki są 2 razy dłuższe. Typowy błąd: przy dwukrotnym powiększeniu pole nie rośnie 2 razy, tylko $2^2 = 4$ razy.

21.Czworokąty: trapez, równoległobok, romb, prostokąt, kwadrat

Trapez ma co najmniej jedną parę boków równoległych (to podstawy, pozostałe boki to ramiona). Równoległobok ma dwie pary boków równoległych. Romb to czworokąt o wszystkich bokach równych, prostokąt - o wszystkich kątach prostych, kwadrat - o równych bokach i kątach prostych. Zależności: kwadrat jest jednocześnie prostokątem i rombem, romb i prostokąt są równoległobokami, a każdy równoległobok jest trapezem. Suma kątów wewnętrznych czworokąta wynosi $360^\circ$, bo przekątna dzieli go na dwa trójkąty: $2 \cdot 180^\circ = 360^\circ$.

22.Równoległobok - własności

Przeciwległe boki są równoległe i równej długości, przeciwległe kąty są równe, a kąty przy jednym boku dają razem $180^\circ$. Przekątne przecinają się w połowie - punkt przecięcia dzieli każdą z nich na dwie równe części i jest środkiem symetrii równoległoboku. Przykład: jeden kąt ma $65^\circ$, więc kąty to $65^\circ$, $115^\circ$, $65^\circ$, $115^\circ$ (sprawdzenie: $2 \cdot 65^\circ + 2 \cdot 115^\circ = 130^\circ + 230^\circ = 360^\circ$). Obwód: $L = 2a + 2b$, np. boki 7 cm i 4 cm dają $L = 14 + 8 = 22~\mathrm{cm}$.

23.Romb - własności

Wszystkie boki rombu są równe, przeciwległe kąty są równe, a kąty przy jednym boku dają razem $180^\circ$. Przekątne rombu są prostopadłe, dzielą się na połowy i dzielą kąty rombu na połowy; leżą na osiach symetrii rombu. Bok obliczymy z połówek przekątnych i twierdzenia Pitagorasa: przekątne 6 i 8 mają połówki 3 i 4, więc bok $a = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$, a obwód $4 \cdot 5 = 20$. Romb o kącie prostym jest kwadratem.

24.Prostokąt i kwadrat - własności

Prostokąt: przeciwległe boki równe i równoległe, cztery kąty proste, przekątne równej długości dzielące się na połowy; prostokąt niebędący kwadratem ma 2 osie symetrii (proste przez środki przeciwległych boków). Kwadrat ma wszystkie własności prostokąta i rombu: przekątne są równe, prostopadłe, dzielą się na połowy i dzielą kąty na $45^\circ$; ma 4 osie symetrii. Obwody: prostokąt $L = 2a + 2b$, kwadrat $L = 4a$. Przykład: prostokąt o bokach 3 i 4 ma przekątną $\sqrt{9 + 16} = 5$, a kwadrat o boku 5 ma obwód 20.

25.Trapez - własności, trapez równoramienny i prostokątny

Podstawy trapezu są równoległe, więc kąty przy jednym ramieniu dają razem $180^\circ$. Trapez równoramienny ma równe ramiona i oś symetrii przechodzącą przez środki podstaw, dlatego kąty przy każdej podstawie są równe, a przekątne mają równe długości. Trapez prostokątny ma ramię prostopadłe do podstaw (dwa kąty proste). Przykład: w trapezie równoramiennym kąt przy dłuższej podstawie ma $70^\circ$, więc kąty to $70^\circ$, $70^\circ$, $110^\circ$, $110^\circ$ (sprawdzenie: $140^\circ + 220^\circ = 360^\circ$).

26.Wielokąt foremny

Wielokąt foremny ma wszystkie boki równej długości i wszystkie kąty wewnętrzne równe, np. trójkąt równoboczny, kwadrat, pięciokąt foremny, sześciokąt foremny. Romb niebędący kwadratem nie jest foremny (różne kąty), prostokąt niebędący kwadratem też nie (różne boki). Suma kątów $n$-kąta wynosi $(n - 2) \cdot 180^\circ$, więc kąt $n$-kąta foremnego ma $\frac{(n - 2) \cdot 180^\circ}{n}$. Przykłady: sześciokąt - $\frac{4 \cdot 180^\circ}{6} = 120^\circ$, pięciokąt - $\frac{3 \cdot 180^\circ}{5} = 108^\circ$. Sześciokąt foremny składa się z 6 trójkątów równobocznych.

27.Pole prostokąta i kwadratu, jednostki pola

Pole prostokąta: $P = a \cdot b$, pole kwadratu: $P = a^2$ - wymiary w tych samych jednostkach. Przykład: boki 5 cm i 8 cm dają $P = 40~\mathrm{cm^2}$. Jednostki pola to kwadraty jednostek długości: $\mathrm{mm^2}$, $\mathrm{cm^2}$, $\mathrm{dm^2}$, $\mathrm{m^2}$, $\mathrm{km^2}$. Skoro $1~\mathrm{m} = 100~\mathrm{cm}$, to $1~\mathrm{m^2} = 100 \cdot 100~\mathrm{cm^2} = 10\,000~\mathrm{cm^2}$ (a nie 100). Przy różnych jednostkach najpierw je ujednolicamy: boki 2 m i 50 cm to $200~\mathrm{cm} \cdot 50~\mathrm{cm} = 10\,000~\mathrm{cm^2} = 1~\mathrm{m^2}$.

28.Ar i hektar

Ar i hektar to jednostki pola używane dla działek, pól uprawnych i lasów. Ar to pole kwadratu o boku 10 m: $1~\mathrm{a} = 10~\mathrm{m} \cdot 10~\mathrm{m} = 100~\mathrm{m^2}$. Hektar to pole kwadratu o boku 100 m: $1~\mathrm{ha} = 100~\mathrm{m} \cdot 100~\mathrm{m} = 10\,000~\mathrm{m^2} = 100~\mathrm{a}$. Ponadto $1~\mathrm{km^2} = 1\,000\,000~\mathrm{m^2} = 100~\mathrm{ha}$. Przykłady: działka 20 m na 35 m ma $700~\mathrm{m^2} = 7~\mathrm{a}$; pole 250 m na 400 m ma $100\,000~\mathrm{m^2} = 10~\mathrm{ha}$.

29.Pole trójkąta

Pole trójkąta: $P = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$, gdzie $h$ to wysokość opuszczona na bok $a$ (odcinek prostopadły z przeciwległego wierzchołka do prostej zawierającej ten bok). Przykład: $a = 10$, $h = 6$, więc $P = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 6 = 30$. W trójkącie prostokątnym przyprostokątne są wysokościami: $P = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b$. Wzór pozwala też wyznaczyć wysokość: w trójkącie o bokach 5, 12, 13 pole wynosi $\frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 12 = 30$, więc wysokość na przeciwprostokątną $h = \frac{2 \cdot 30}{13} = \frac{60}{13}$.

30.Pole równoległoboku i rombu

Pole równoległoboku: $P = a \cdot h$, gdzie $h$ to wysokość opuszczona na bok $a$ (odległość między bokami równoległymi). Przykład: $a = 9$, $h = 4$, więc $P = 9 \cdot 4 = 36$. Romb jest równoległobokiem, więc $P = a \cdot h$, a także $P = \frac{e \cdot f}{2}$, gdzie $e$, $f$ to długości przekątnych. Przykład: przekątne 8 i 10 dają $P = \frac{8 \cdot 10}{2} = 40$. Wzór z przekątnymi działa też dla kwadratu: przekątna 6 daje $P = \frac{6 \cdot 6}{2} = 18$ (bok $3\sqrt{2}$, a $(3\sqrt{2})^2 = 18$).

31.Pole trapezu, metoda podziału i uzupełniania

Pole trapezu: $P = \frac{(a + b) \cdot h}{2}$, gdzie $a$, $b$ - podstawy, $h$ - wysokość (odległość między podstawami). Przykład: $a = 10$, $b = 6$, $h = 5$, więc $P = \frac{16 \cdot 5}{2} = 40$. Pole wielokąta bez gotowego wzoru liczymy metodą podziału na mniejsze wielokąty (trójkąty, prostokąty) i dodajemy ich pola albo metodą uzupełniania do większej figury i odejmujemy dołożone części. Przykład: prostokąt $6 \times 4$ bez trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych 2 i 3 ma pole $24 - 3 = 21$.

32.Okrąg i koło: promień, średnica, cięciwa

Okrąg o środku $S$ i promieniu $r$ tworzą wszystkie punkty płaszczyzny odległe od $S$ o $r$ (sama linia), a koło to okrąg razem z jego wnętrzem. Promień łączy środek z punktem okręgu. Cięciwa łączy dwa punkty okręgu. Średnica to cięciwa przechodząca przez środek - najdłuższa cięciwa: $d = 2r$. Przykład: $r = 3{,}5~\mathrm{cm}$, więc $d = 7~\mathrm{cm}$; $d = 15$, więc $r = 7{,}5$. Każda prosta przechodząca przez środek koła jest jego osią symetrii, a środek koła jest jego środkiem symetrii.

33.Liczba $\pi$

Liczba $\pi$ to stosunek długości okręgu do jego średnicy - taki sam dla każdego okręgu: $\pi = \frac{L}{d}$. Jest liczbą niewymierną: $\pi \approx 3{,}14159\ldots$, w obliczeniach przybliżamy ją jako $3{,}14$ albo $\frac{22}{7}$. Wynik dokładny zostawiamy z $\pi$ (np. $6\pi$), a przybliżony oznaczamy znakiem $\approx$: $6\pi \approx 6 \cdot 3{,}14 = 18{,}84$. Przykład: okrąg o średnicy 10 cm ma długość $10\pi~\mathrm{cm} \approx 31{,}4~\mathrm{cm}$ - nieco więcej niż trzy średnice.

34.Długość okręgu

Długość okręgu o promieniu $r$: $L = 2\pi r$, a przy danej średnicy $L = \pi d$. Przykład: $r = 5$, więc $L = 2\pi \cdot 5 = 10\pi \approx 31{,}4$. Promień z długości okręgu: $r = \frac{L}{2\pi}$, średnica: $d = \frac{L}{\pi}$. Przykład: $L = 18\pi~\mathrm{cm}$, więc $r = \frac{18\pi}{2\pi} = 9~\mathrm{cm}$ i $d = 18~\mathrm{cm}$ (sprawdzenie: $2\pi \cdot 9 = 18\pi$). Gdy promień rośnie 2 razy, długość okręgu też rośnie 2 razy - wszystkie okręgi są figurami podobnymi.

35.Pole koła

Pole koła o promieniu $r$: $P = \pi r^2$; przy danej średnicy najpierw $r = \frac{d}{2}$. Przykład: $r = 4$, więc $P = \pi \cdot 4^2 = 16\pi \approx 50{,}24$; średnica 10 daje $r = 5$ i $P = 25\pi$. Promień z pola: $r^2 = \frac{P}{\pi}$. Przykład: $P = 49\pi~\mathrm{cm^2}$, więc $r^2 = 49$, $r = 7~\mathrm{cm}$, $d = 14~\mathrm{cm}$ (sprawdzenie: $\pi \cdot 7^2 = 49\pi$). Typowy błąd: $\pi \cdot 4^2$ to $16\pi$, a nie $(4\pi)^2$. Gdy promień rośnie 3 razy, pole rośnie $3^2 = 9$ razy.

36.Pole pierścienia kołowego

Pierścień kołowy to figura między dwoma okręgami o wspólnym środku (współśrodkowymi) i promieniach $R > r$. Jego pole to różnica pól dwóch kół: $P = \pi R^2 - \pi r^2 = \pi (R^2 - r^2)$. Przykład: $R = 5$, $r = 3$, więc $P = \pi (25 - 9) = 16\pi$ (sprawdzenie: $25\pi - 9\pi = 16\pi$). Typowy błąd: liczenie $\pi (R - r)^2$, co tu dałoby $4\pi$. Szerokość pierścienia to $R - r$; np. $R = 10~\mathrm{cm}$ i szerokość 2 cm dają $r = 8~\mathrm{cm}$ oraz $P = \pi (100 - 64) = 36\pi~\mathrm{cm^2}$.

37.Symetralna odcinka

Symetralna odcinka $AB$ to prosta prostopadła do tego odcinka przechodząca przez jego środek. Własność: każdy punkt symetralnej jest jednakowo odległy od końców odcinka, a każdy punkt jednakowo odległy od $A$ i $B$ leży na symetralnej. Symetralna jest osią symetrii odcinka. Przykład: $P$ leży na symetralnej odcinka $AB$ i $|PA| = 7~\mathrm{cm}$, więc $|PB| = 7~\mathrm{cm}$, a gdy $P$ nie leży na $AB$, trójkąt $ABP$ jest równoramienny. Konstrukcja: z obu końców odcinka kreślimy cyrklem łuki o tym samym promieniu, większym od połowy odcinka, i przez punkty przecięcia łuków prowadzimy prostą.

38.Dwusieczna kąta

Dwusieczna kąta to półprosta o początku w wierzchołku kąta, która dzieli go na dwa równe kąty. Własność: każdy punkt dwusiecznej jest jednakowo odległy od obu ramion kąta (odległości mierzymy wzdłuż odcinków prostopadłych do ramion). Dwusieczna zawiera się w osi symetrii kąta. Przykład: dwusieczna kąta $130^\circ$ tworzy z każdym ramieniem kąt $65^\circ$ (sprawdzenie: $2 \cdot 65^\circ = 130^\circ$). Dwusieczne dwóch kątów przyległych są prostopadłe, bo $\frac{\alpha}{2} + \frac{180^\circ - \alpha}{2} = 90^\circ$.

39.Symetria osiowa, figury osiowosymetryczne i oś symetrii

Punkty $A$ i $A'$ są symetryczne względem prostej $l$, gdy $l$ jest symetralną odcinka $AA'$; punkt prostej $l$ jest symetryczny sam do siebie. Figura jest osiowosymetryczna, gdy ma oś symetrii - prostą, względem której figura przechodzi na siebie (po złożeniu wzdłuż osi połówki się pokrywają). Liczba osi: trójkąt równoramienny niebędący równobocznym - 1, trójkąt równoboczny - 3, trapez równoramienny niebędący prostokątem - 1, prostokąt i romb niebędące kwadratem - po 2, kwadrat - 4, $n$-kąt foremny - $n$, koło - nieskończenie wiele.

40.Symetria środkowa, figury środkowosymetryczne i środek symetrii

Punkty $A$ i $A'$ są symetryczne względem punktu $O$, gdy $O$ jest środkiem odcinka $AA'$. Figura jest środkowosymetryczna, gdy ma środek symetrii - punkt, wokół którego obrót o $180^\circ$ daje tę samą figurę. Środkowosymetryczne są: odcinek (jego środek), równoległobok, romb, prostokąt i kwadrat (punkt przecięcia przekątnych), okrąg i koło (środek), sześciokąt foremny. Nie mają środka symetrii: trójkąty, trapezy niebędące równoległobokami, pięciokąt foremny. Przykład: litery S i N mają środek symetrii, ale nie mają osi symetrii.