Przedmiotowy Konkurs Matematyczny (mazowieckie) - algebra, równania, nierówności

1.Wyrażenie algebraiczne

Wyrażenie algebraiczne to zapis złożony z liczb i liter (zmiennych) połączonych znakami działań i nawiasami, np. $2a + 3$, $\frac{x + y}{2}$, $3(n - 1)$. Litera zastępuje nieznaną lub dowolną liczbę. Wyrażeniami zapisujemy zależności opisane słowami: liczba o $5$ większa od $x$ to $x + 5$, liczba $3$ razy większa od $x$ to $3x$, połowa sumy liczb $a$ i $b$ to $\frac{a + b}{2}$, a obwód trójkąta o bokach $a$, $a + 2$ i $b$ to $a + (a + 2) + b = 2a + b + 2$.

2.Wartość liczbowa wyrażenia algebraicznego

Wartość liczbowa wyrażenia to liczba, którą otrzymujemy po wstawieniu w miejsce liter podanych liczb i wykonaniu działań w zwykłej kolejności: nawiasy, potęgi, mnożenie i dzielenie, na końcu dodawanie i odejmowanie. Liczbę ujemną wstawiamy w nawiasie. Przykład: wartość $3x^2 - 2x$ dla $x = -2$ to $3 \cdot (-2)^2 - 2 \cdot (-2) = 3 \cdot 4 + 4 = 16$. Dla $a = 3$ i $b = -1$ wyrażenie $2a - 5b$ ma wartość $6 + 5 = 11$.

3.Jednomian i współczynnik liczbowy

Jednomian to liczba, litera albo iloczyn liczb i liter, np. $5$, $x$, $-3a^2b$, $\frac{1}{2}xy$. Jednomian uporządkowany ma jeden czynnik liczbowy na początku, a każdą literę tylko raz, z odpowiednią potęgą: $2a \cdot 3b \cdot a = 6a^2b$. Współczynnik liczbowy to ten czynnik liczbowy: w $-3a^2b$ wynosi $-3$, w $x^2y$ wynosi $1$, a w $-ab$ wynosi $-1$. Suma $a + b$ nie jest jednomianem.

4.Jednomiany podobne

Jednomiany podobne różnią się co najwyżej współczynnikiem liczbowym - mają te same litery w tych samych potęgach, np. $3x^2y$ i $-7x^2y$. Nie są podobne $2a^2b$ i $2ab^2$ (inne potęgi) ani $5x$ i $5y$ (inne litery). Liczby bez liter też są do siebie podobne. Jednomiany podobne dodajemy, dodając współczynniki i przepisując część literową: $3x^2y + (-7x^2y) = -4x^2y$, bo $3 - 7 = -4$, oraz $5ab - ab = 4ab$.

5.Suma algebraiczna

Suma algebraiczna to suma jednomianów, np. $2x^2 - 3x + 5 = 2x^2 + (-3x) + 5$. Jednomiany tworzące sumę to jej wyrazy: tu $2x^2$, $-3x$ i $5$; znak stojący przed jednomianem należy do niego. Suma dwóch jednomianów niepodobnych to dwumian (np. $a + 2b$), a trzech - trójmian (np. $x^2 + x - 1$). Sumę algebraiczną porządkujemy, redukując wyrazy podobne i zapisując wyrazy zwykle od najwyższej potęgi.

6.Redukcja wyrazów podobnych

Redukcja wyrazów podobnych to zastąpienie wszystkich jednomianów podobnych w sumie jednym jednomianem - dodajemy ich współczynniki. Przykład: $4a - 3b + 2a + 5b - 1 = 6a + 2b - 1$. Dodając sumy algebraiczne, opuszczamy nawiasy bez zmiany znaków. Przy odejmowaniu minus przed nawiasem zmienia znaki wszystkich wyrazów w nawiasie: $(3x + 2) - (x - 5) = 3x + 2 - x + 5 = 2x + 7$.

7.Mnożenie sumy algebraicznej przez jednomian

Sumę algebraiczną mnożymy przez jednomian, mnożąc przez niego każdy wyraz sumy: $a(b + c) = ab + ac$. Przykład: $-2x(3x - 4) = -6x^2 + 8x$, bo $-2x \cdot 3x = -6x^2$ i $-2x \cdot (-4) = 8x$. Wyrażenia powstałe z kilku takich mnożeń porządkujemy, redukując wyrazy podobne: $2(x + 3) - 3(x - 1) = 2x + 6 - 3x + 3 = -x + 9$. Sprawdzenie dla $x = 1$: $8 - 0 = 8$ oraz $-1 + 9 = 8$.

8.Mnożenie dwumianu przez dwumian i sum algebraicznych

Dwie sumy algebraiczne mnożymy, mnożąc każdy wyraz pierwszej sumy przez każdy wyraz drugiej, a potem redukujemy wyrazy podobne: $(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd$. Przykład: $(x + 3)(x - 2) = x^2 - 2x + 3x - 6 = x^2 + x - 6$. Sprawdzenie dla $x = 1$: $4 \cdot (-1) = -4$ oraz $1 + 1 - 6 = -4$. Dwumian razy trójmian daje przed redukcją $2 \cdot 3 = 6$ iloczynów, np. $(x + 1)(x^2 + x + 1) = x^3 + 2x^2 + 2x + 1$.

9.Wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias

Wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias zamienia sumę w iloczyn; to działanie odwrotne do mnożenia sumy przez jednomian: $ab + ac = a(b + c)$. Wspólny czynnik tworzą NWD współczynników i litery występujące w każdym wyrazie, w najniższej potędze. Przykład: $6x^2 - 9x = 3x(2x - 3)$, bo $6x^2 : 3x = 2x$ i $9x : 3x = 3$. Sprawdzamy mnożeniem: $3x \cdot 2x - 3x \cdot 3 = 6x^2 - 9x$.

10.Wyłączanie przed nawias - przypadki szczególne i rachunki w pamięci

Gdy wyłączamy cały wyraz, w nawiasie zostaje $1$: $4x + 4 = 4(x + 1)$, $a^2 - a = a(a - 1)$. Wyłączając liczbę ujemną, zmieniamy znaki w nawiasie: $-2x - 6 = -2(x + 3)$. Wspólnym czynnikiem może być cały nawias: $x(a + 1) + 2(a + 1) = (a + 1)(x + 2)$. Wyłączanie ułatwia też rachunki w pamięci: $37 \cdot 14 + 37 \cdot 86 = 37 \cdot (14 + 86) = 37 \cdot 100 = 3700$.

11.Kwadrat sumy $(a + b)^2$

Wzór skróconego mnożenia na kwadrat sumy: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ - kwadrat pierwszego wyrazu plus podwojony iloczyn obu wyrazów plus kwadrat drugiego. Wynika z mnożenia $(a + b)(a + b)$. Przykład: $(x + 3)^2 = x^2 + 6x + 9$. Częsty błąd: $(a + b)^2 \neq a^2 + b^2$. Dla $a = 2$, $b = 3$: $(2 + 3)^2 = 25$, a ze wzoru $4 + 12 + 9 = 25$; tymczasem $2^2 + 3^2 = 13$.

12.Kwadrat różnicy $(a - b)^2$

Wzór skróconego mnożenia na kwadrat różnicy: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Minus stoi tylko przy podwojonym iloczynie, oba kwadraty są ze znakiem plus. Przykład: $(2x - 5)^2 = 4x^2 - 20x + 25$, bo $(2x)^2 = 4x^2$ i $2 \cdot 2x \cdot 5 = 20x$. Sprawdzenie dla $x = 1$: $(2 - 5)^2 = 9$ oraz $4 - 20 + 25 = 9$. Zauważ, że $(a - b)^2 = (b - a)^2$, np. $(3 - 7)^2 = (7 - 3)^2 = 16$.

13.Różnica kwadratów $a^2 - b^2$

Wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ - różnica kwadratów to iloczyn różnicy i sumy tych samych wyrażeń. Działa w obie strony: $(x - 4)(x + 4) = x^2 - 16$ oraz $9y^2 - 1 = (3y - 1)(3y + 1)$. Sprawdzenie mnożeniem: $(3y - 1)(3y + 1) = 9y^2 + 3y - 3y - 1 = 9y^2 - 1$ - iloczyny środkowe się znoszą. Dla sumy kwadratów $a^2 + b^2$ podobnego wzoru nie ma.

14.Wzory skróconego mnożenia w obliczeniach w pamięci

Wzory skróconego mnożenia przyspieszają rachunki, gdy liczbę zapiszemy jako „okrągłą” plus lub minus małą liczbę. Kwadrat sumy: $51^2 = (50 + 1)^2 = 2500 + 100 + 1 = 2601$. Kwadrat różnicy: $99^2 = (100 - 1)^2 = 10000 - 200 + 1 = 9801$. Różnica kwadratów: $102 \cdot 98 = (100 + 2)(100 - 2) = 10000 - 4 = 9996$ oraz $47^2 - 43^2 = (47 - 43)(47 + 43) = 4 \cdot 90 = 360$.

15.Równanie i rozwiązanie równania

Równanie to dwa wyrażenia połączone znakiem $=$, w których występuje niewiadoma, np. $x$. Rozwiązanie równania to liczba, która po wstawieniu za niewiadomą daje równość prawdziwą. Sprawdzamy to, licząc osobno lewą ($L$) i prawą ($P$) stronę. Przykład: $x = 3$ jest rozwiązaniem $2x + 1 = 10 - x$, bo $L = 2 \cdot 3 + 1 = 7$ i $P = 10 - 3 = 7$. Tak samo sprawdza się równania drugiego i trzeciego stopnia: $x = -2$ spełnia $x^3 = -8$.

16.Równanie pierwszego stopnia z jedną niewiadomą

Równanie pierwszego stopnia z jedną niewiadomą można zapisać w postaci $ax + b = 0$, gdzie $a \neq 0$; niewiadoma występuje w nim tylko w pierwszej potędze. Takie równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie $x = -\frac{b}{a}$, np. $4x - 12 = 0$ daje $x = 3$. Proste równania rozwiązujemy działaniem odwrotnym: $\frac{x}{3} - 2 = 4$, więc $\frac{x}{3} = 6$ i $x = 18$; sprawdzenie: $18 : 3 - 2 = 4$. Równanie $x^2 = 9$ jest drugiego stopnia.

17.Równania równoważne

Równania równoważne mają ten sam zbiór rozwiązań. Równanie równoważne dostajemy, gdy do obu stron dodamy lub od obu stron odejmiemy tę samą liczbę albo wyrażenie lub gdy obie strony pomnożymy albo podzielimy przez tę samą liczbę różną od zera. Przykład: $5x - 7 = 2x + 8$; odejmujemy $2x$: $3x - 7 = 8$; dodajemy $7$: $3x = 15$; dzielimy przez $3$: $x = 5$. Sprawdzenie: $25 - 7 = 18$ i $10 + 8 = 18$.

18.Równania sprowadzalne do pierwszego stopnia

Równanie z nawiasami lub ułamkami najpierw upraszczamy: opuszczamy nawiasy, mnożymy obie strony przez wspólny mianownik, redukujemy wyrazy podobne. Nawiasy: $3(x - 2) - (x + 4) = 0$, czyli $2x - 10 = 0$ i $x = 5$. Ułamki: $\frac{x}{2} + \frac{x}{3} = 5$; po pomnożeniu przez $6$: $3x + 2x = 30$, więc $x = 6$; sprawdzenie: $3 + 2 = 5$. Kwadraty mogą się zredukować: $(x + 1)^2 = x^2 + 7$ daje $2x + 1 = 7$, czyli $x = 3$.

19.Równanie sprzeczne i równanie tożsamościowe

Gdy po przekształceniach niewiadoma się zredukuje, możliwe są dwa przypadki. Równanie sprzeczne nie ma rozwiązań - otrzymujemy fałsz, np. $2x + 3 = 2x - 1$ daje $3 = -1$. Równanie tożsamościowe spełnia każda liczba (ma nieskończenie wiele rozwiązań) - otrzymujemy prawdę, np. $2(x + 3) = 2x + 6$ daje $6 = 6$. Równanie pierwszego stopnia, w którym niewiadoma się nie redukuje, ma dokładnie jedno rozwiązanie.

20.Przekształcanie wzorów

Przekształcanie wzoru to wyznaczenie z niego innej wielkości; wykonujemy te same działania po obu stronach, jak w równaniu. Ze wzoru na drogę $s = v \cdot t$: $t = \frac{s}{v}$ i $v = \frac{s}{t}$; dla $s = 120~\mathrm{km}$ i $v = 60~\mathrm{km/h}$ mamy $t = 2~\mathrm{h}$, bo $60 \cdot 2 = 120$. Z pola trapezu $P = \frac{(a + b) \cdot h}{2}$: $h = \frac{2P}{a + b}$; dla $P = 20$, $a = 6$, $b = 4$: $h = \frac{40}{10} = 4$.

21.Proporcja i jej własność

Proporcja to równość dwóch ilorazów: $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$, gdzie $b \neq 0$ i $d \neq 0$. W zapisie $a : b = c : d$ liczby $a$ i $d$ to wyrazy skrajne, a $b$ i $c$ - wyrazy środkowe. Własność proporcji: iloczyn wyrazów skrajnych jest równy iloczynowi wyrazów środkowych, czyli $a \cdot d = b \cdot c$. Przykład: $\frac{3}{4} = \frac{6}{8}$, bo $3 \cdot 8 = 24$ i $4 \cdot 6 = 24$; natomiast $\frac{2}{3} \neq \frac{3}{4}$, bo $2 \cdot 4 = 8$, a $3 \cdot 3 = 9$.

22.Rozwiązywanie proporcji

Proporcję z niewiadomą zamieniamy na równanie, korzystając z równości iloczynów wyrazów skrajnych i środkowych. Przykład: $\frac{x}{6} = \frac{5}{3}$, więc $3x = 30$ i $x = 10$; sprawdzenie: $\frac{10}{6} = \frac{5}{3}$. Gdy licznik jest sumą, bierzemy go w nawias: $\frac{x + 1}{4} = \frac{x - 2}{2}$, więc $2(x + 1) = 4(x - 2)$, $2x + 2 = 4x - 8$, $x = 5$; sprawdzenie: $\frac{6}{4} = \frac{3}{2}$.

23.Proporcjonalność prosta i współczynnik proporcjonalności

Wielkości $x$ i $y$ są wprost proporcjonalne, gdy ich iloraz jest stały: $\frac{y}{x} = a$, czyli $y = a \cdot x$, gdzie liczba $a \neq 0$ to współczynnik proporcjonalności. Ile razy wzrośnie jedna wielkość, tyle razy wzrośnie druga. Przykłady: cena zakupu i liczba sztuk towaru, droga i czas przy stałej prędkości, obwód kwadratu i długość boku (współczynnik $4$). Gdy $3$ zeszyty kosztują $7{,}50$ zł, to $a = 2{,}50$ zł, a $8$ zeszytów kosztuje $8 \cdot 2{,}50 = 20$ zł.

24.Podział proporcjonalny

Podział proporcjonalny to podział wielkości na części w danym stosunku. Dzieląc liczbę w stosunku $m : n$, dzielimy ją na $m + n$ równych części: pierwsza osoba dostaje $m$ takich części, druga $n$. Przykład: $60$ zł w stosunku $2 : 3$ - jedna część to $60 : 5 = 12$ zł, więc $24$ zł i $36$ zł; sprawdzenie: $24 + 36 = 60$ i $24 : 36 = 2 : 3$. Tak samo dzielimy na trzy części: $120$ w stosunku $1 : 2 : 3$ to $20$, $40$ i $60$.

25.Równanie liniowe z dwiema niewiadomymi

Równanie liniowe z dwiema niewiadomymi ma postać $ax + by = c$ (gdzie $a$ i $b$ nie są jednocześnie zerami), np. $2x + y = 10$. Jego rozwiązaniem jest para liczb $(x, y)$, która je spełnia, a takich par jest nieskończenie wiele: $(5, 0)$, $(3, 4)$, $(0, 10)$, $(-1, 12)$. Wybierając dowolne $x$, obliczamy $y = 10 - 2x$, np. dla $x = 3$: $y = 10 - 6 = 4$. Żeby wyznaczyć jedną konkretną parę, potrzebne jest drugie równanie, które razem z pierwszym tworzy układ oznaczony.

26.Układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi

Układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi to dwa równania pierwszego stopnia z niewiadomymi $x$ i $y$, które mają być spełnione jednocześnie; zapisujemy je z klamrą: $\begin{cases} x + y = 4 \\ x - y = 2 \end{cases}$. Rozwiązaniem układu jest para liczb spełniająca oba równania. Tu jest to $x = 3$, $y = 1$, bo $3 + 1 = 4$ i $3 - 1 = 2$. Para $x = 2$, $y = 2$ spełnia tylko pierwsze równanie, więc nie jest rozwiązaniem.

27.Metoda podstawiania

Metoda podstawiania: z jednego równania wyznaczamy jedną niewiadomą (najwygodniej tę ze współczynnikiem $1$ lub $-1$) i wstawiamy otrzymane wyrażenie do drugiego równania - powstaje równanie z jedną niewiadomą. Przykład: $\begin{cases} y = 2x - 1 \\ 3x + y = 9 \end{cases}$. Podstawiamy: $3x + (2x - 1) = 9$, $5x = 10$, $x = 2$, a potem $y = 2 \cdot 2 - 1 = 3$. Sprawdzenie: $3 \cdot 2 + 3 = 9$.

28.Metoda przeciwnych współczynników

Metoda przeciwnych współczynników: mnożymy równania przez takie liczby, aby przy jednej niewiadomej otrzymać liczby przeciwne, i dodajemy równania stronami - ta niewiadoma znika. Przykład: $\begin{cases} 2x + 3y = 12 \\ x - y = 1 \end{cases}$. Drugie równanie mnożymy przez $3$: $3x - 3y = 3$. Po dodaniu: $5x = 15$, $x = 3$, a z $x - y = 1$ mamy $y = 2$. Sprawdzenie: $2 \cdot 3 + 3 \cdot 2 = 12$.

29.Układ oznaczony, nieoznaczony i sprzeczny

Układ oznaczony ma dokładnie jedno rozwiązanie (jedną parę liczb). Układ sprzeczny nie ma rozwiązań - podczas rozwiązywania niewiadome znikają i zostaje fałsz, np. $0 = 5$. Układ nieoznaczony ma nieskończenie wiele rozwiązań - niewiadome znikają i zostaje prawda, np. $0 = 0$; rozwiązaniem jest każda para spełniająca jedno z równań, np. dla układu $x + 2y = 3$ i $2x + 4y = 6$ pary $(3, 0)$, $(1, 1)$, $(-1, 2)$.

30.Rozpoznawanie rodzaju układu równań

Rodzaj układu widać po współczynnikach. Gdy jedno równanie powstaje z drugiego przez pomnożenie obu stron przez liczbę, np. $x - y = 1$ i $3x - 3y = 3$, układ jest nieoznaczony. Gdy tak mnożą się tylko lewe strony, np. $x - y = 1$ i $3x - 3y = 5$, układ jest sprzeczny ($3 = 5$). Gdy współczynniki przy niewiadomych nie są proporcjonalne, np. $x - y = 1$ i $x + y = 5$, układ jest oznaczony: $x = 3$, $y = 2$. W zadaniu tekstowym układ sprzeczny oznacza sytuację niemożliwą.

31.Nierówność pierwszego stopnia z jedną niewiadomą

Nierówność pierwszego stopnia z jedną niewiadomą można zapisać np. jako $ax + b > 0$ (albo ze znakiem $<$, $\ge$, $\le$), gdzie $a \neq 0$. Jej rozwiązaniem jest każda liczba, która po wstawieniu daje nierówność prawdziwą; takich liczb jest nieskończenie wiele. Przykład: $2x - 6 > 0$ spełnia $x = 4$, bo $8 - 6 = 2 > 0$, a nie spełnia $x = 3$, bo $6 - 6 = 0$, a $0 > 0$ to fałsz. Zbiór rozwiązań tej nierówności to $x > 3$.

32.Zapisywanie warunków słownych nierównością

W zadaniach warunki opisane słowami zapisujemy nierównościami: „większy niż” to $>$, „mniejszy niż” to $<$, „co najmniej” i „nie mniejszy niż” to $\ge$, „co najwyżej” i „nie większy niż” to $\le$. Przykład: liczba nie mniejsza niż $1{,}5$ to $x \ge 1{,}5$. Podwojona liczba zwiększona o $3$ jest co najwyżej równa $11$: $2x + 3 \le 11$, więc $x \le 4$; dla $x = 4$: $8 + 3 = 11$ - warunek spełniony.

33.Zmiana zwrotu nierówności przy mnożeniu przez liczbę ujemną

Nierówność przekształcamy podobnie jak równanie: do obu stron dodajemy lub odejmujemy to samo, obie strony mnożymy lub dzielimy przez tę samą liczbę różną od zera. Przy liczbie dodatniej zwrot zostaje, a przy mnożeniu lub dzieleniu przez liczbę ujemną zmieniamy zwrot na przeciwny ($<$ na $>$, $\le$ na $\ge$), bo np. $2 < 3$, ale $-2 > -3$. Przykład: $-3x \le 12$; dzielimy przez $-3$: $x \ge -4$. Sprawdzenie dla $x = 0$: $0 \le 12$ - prawda.

34.Rozwiązywanie nierówności z nawiasami i ułamkami

Nierówność z nawiasami lub ułamkami porządkujemy jak równanie: opuszczamy nawiasy, mnożymy przez dodatni wspólny mianownik (zwrot się nie zmienia), zbieramy wyrazy z niewiadomą po jednej stronie. Przykład: $2(x - 1) < 5x + 7$, czyli $2x - 2 < 5x + 7$, $-3x < 9$, $x > -3$. Sprawdzenie: $x = 0$ daje $-2 < 7$ (prawda). Gdy niewiadoma się zredukuje, nierówność jest sprzeczna (np. $x + 1 < x$) albo spełnia ją każda liczba (np. $x + 1 > x$).

35.Zbiór rozwiązań nierówności na osi liczbowej

Zbiór rozwiązań nierówności zaznaczamy na osi liczbowej. Liczbę graniczną oznaczamy kółkiem: pełnym (zamalowanym), gdy należy do zbioru (znaki $\ge$, $\le$), albo pustym, gdy nie należy ($>$, $<$). Od kółka prowadzimy pogrubioną linię w prawo dla $x > a$ i $x \ge a$, a w lewo dla $x < a$ i $x \le a$. Przykład: $x \ge 1{,}5$ - pełne kółko w $1{,}5$, linia w prawo; $x < -\frac{4}{7}$ - puste kółko, linia w lewo. Najmniejsza liczba całkowita spełniająca $x > -3$ to $-2$.

36.Oś liczbowa i przedział

Oś liczbowa to prosta z zaznaczonym punktem $0$, zwrotem (strzałka w prawo) i jednostką. Każdej liczbie odpowiada jeden punkt: liczby dodatnie leżą na prawo od zera, ujemne na lewo, a z dwóch liczb większa leży dalej w prawo, np. $-5 < -2$. Przedział to fragment osi złożony ze wszystkich liczb między dwiema liczbami, opisany podwójną nierównością, np. $-2 < x \le 3$: puste kółko w $-2$, pełne w $3$ i pogrubiony odcinek między nimi.

37.Układ współrzędnych i punkty kratowe

Układ współrzędnych na płaszczyźnie tworzą dwie prostopadłe osie liczbowe: pozioma oś $x$ i pionowa oś $y$, przecinające się w początku układu $(0, 0)$. Położenie punktu opisuje para współrzędnych $(x, y)$: najpierw pierwsza (poziomo), potem druga (pionowo). Punkt $A = (3, -2)$ leży $3$ jednostki w prawo i $2$ w dół od początku układu. Punkt kratowy ma obie współrzędne całkowite, np. $(-4, 1)$; punkt $(1{,}5; 2)$ nie jest kratowy.

38.Środek odcinka w układzie współrzędnych

Środek odcinka o końcach $A = (x_A, y_A)$ i $B = (x_B, y_B)$ ma współrzędne równe średnim arytmetycznym współrzędnych końców: $S = \left(\frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}\right)$. Przykład: dla $A = (-2, 5)$ i $B = (4, 1)$ środek to $S = (1, 3)$, bo $\frac{-2 + 4}{2} = 1$ i $\frac{5 + 1}{2} = 3$. Znając koniec $A$ i środek $S$, drugi koniec wyznaczamy ze wzoru $B = (2x_S - x_A, 2y_S - y_A)$: dla $A = (1, 2)$ i $S = (3, 0)$ mamy $B = (5, -2)$.

39.Długość odcinka w układzie współrzędnych

Długość odcinka o końcach $A = (x_A, y_A)$ i $B = (x_B, y_B)$ obliczamy z twierdzenia Pitagorasa: różnice współrzędnych to przyprostokątne trójkąta prostokątnego, a odcinek $AB$ - jego przeciwprostokątna: $|AB| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$. Przykład: $A = (1, 2)$, $B = (4, 6)$: $|AB| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$. Odcinek pionowy od $(2, -1)$ do $(2, 5)$ ma długość $5 - (-1) = 6$.

40.Punkty kratowe na prostej AB

Aby znaleźć inne punkty kratowe na prostej przechodzącej przez punkty kratowe $A$ i $B$, odczytujemy przesunięcie z $A$ do $B$ (o ile zmienia się $x$, o ile $y$) i dzielimy obie liczby przez ich NWD - to najmniejszy krok. Dodając ten krok lub go odejmując, dostajemy kolejne punkty kratowe prostej. Przykład: $A = (1, 1)$, $B = (7, 5)$: przesunięcie $(6, 4)$, NWD równe $2$, krok $(3, 2)$, więc na prostej leżą m.in. $(4, 3)$, $(10, 7)$ i $(-2, -1)$.