Przedmiotowy Konkurs Matematyczny (mazowieckie) - liczby i działania

1.System dziesiątkowy pozycyjny i zaokrąglanie

Liczby zapisujemy dziesięcioma cyframi (0-9), a wartość cyfry zależy od jej pozycji: jedności, dziesiątki, setki, tysiące… - każda pozycja w lewo jest 10 razy większa. Przykład: $3405 = 3 \cdot 1000 + 4 \cdot 100 + 0 \cdot 10 + 5$. Zaokrąglając, patrzymy na pierwszą odrzucaną cyfrę: 0-4 - w dół, 5-9 - w górę, a odrzucone pozycje zastępujemy zerami. Przykład zaokrąglania do setek: $3449 \approx 3400$ (odrzucana cyfra 4), $3451 \approx 3500$ (odrzucana cyfra 5).

2.System rzymski (do 3000)

Znaki: I (1), V (5), X (10), L (50), C (100), D (500), M (1000). Znaki ustawione od największego do najmniejszego dodajemy. Mniejszy znak przed większym odejmujemy, ale tylko w parach: IV (4), IX (9), XL (40), XC (90), CD (400), CM (900). Znaki I, X, C, M piszemy najwyżej trzy razy z rzędu, a V, L, D - pojedynczo. Przykłady: MMXXIV to $1000 + 1000 + 10 + 10 + 4 = 2024$; 1999 to MCMXCIX ($1000 + 900 + 90 + 9$); 3000 to MMM.

3.Kolejność wykonywania działań

1) Działania w nawiasach (od najbardziej wewnętrznych). 2) Potęgowanie i pierwiastkowanie. 3) Mnożenie i dzielenie - w kolejności od lewej do prawej. 4) Dodawanie i odejmowanie - od lewej do prawej. Przykład: $20 - 2 \cdot 3^2 = 20 - 2 \cdot 9 = 20 - 18 = 2$, a z nawiasem $(20 - 2) \cdot 3^2 = 18 \cdot 9 = 162$. Mnożenie nie ma pierwszeństwa przed dzieleniem: $24 : 4 \cdot 2 = 6 \cdot 2 = 12$, a nie $24 : 8 = 3$.

4.Prawa działań: przemienność, łączność, rozdzielność

Przemienność: $a + b = b + a$, $a \cdot b = b \cdot a$. Łączność: $(a + b) + c = a + (b + c)$, $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$. Rozdzielność mnożenia względem dodawania (i odejmowania): $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$. Prawa ułatwiają rachunki w pamięci: $25 \cdot 17 \cdot 4 = (25 \cdot 4) \cdot 17 = 1700$, $7 \cdot 98 = 7 \cdot 100 - 7 \cdot 2 = 686$. Odejmowanie i dzielenie nie są przemienne: $8 - 3 \neq 3 - 8$.

5.Dzielnik i wielokrotność

Liczba $b$ jest dzielnikiem liczby $a$, gdy $a$ dzieli się przez $b$ bez reszty; wtedy $a$ jest wielokrotnością liczby $b$. Dzielniki najwygodniej wypisywać parami: $12 = 1 \cdot 12 = 2 \cdot 6 = 3 \cdot 4$, więc dzielniki 12 to 1, 2, 3, 4, 6, 12. Wielokrotności 12 to 12, 24, 36, 48, … - jest ich nieskończenie wiele, a dzielników skończenie wiele. Liczba 1 jest dzielnikiem każdej liczby naturalnej, a każda liczba różna od zera jest dzielnikiem i wielokrotnością samej siebie.

6.Cechy podzielności przez 2, 5, 10 i 100

Decydują ostatnie cyfry liczby. Przez 2 dzielą się liczby o ostatniej cyfrze parzystej (0, 2, 4, 6, 8) - to liczby parzyste. Przez 5 - liczby zakończone cyfrą 0 lub 5. Przez 10 - liczby zakończone cyfrą 0. Przez 100 - liczby zakończone dwoma zerami. Przykłady: 4370 dzieli się przez 2, 5 i 10, ale nie przez 100; 52 300 dzieli się przez 2, 5, 10 i 100; 2145 dzieli się przez 5, ale nie przez 2. Liczba podzielna przez 10 dzieli się też przez 2 i przez 5.

7.Cechy podzielności przez 3 i 9

Liczba dzieli się przez 3, gdy suma jej cyfr dzieli się przez 3, a przez 9 - gdy suma jej cyfr dzieli się przez 9. Przykład: 7425 ma sumę cyfr $7 + 4 + 2 + 5 = 18$, więc dzieli się przez 9 i przez 3: $7425 : 9 = 825$. Liczba 1236 ma sumę cyfr 12 - dzieli się przez 3 ($1236 : 3 = 412$), ale nie przez 9. Każda liczba podzielna przez 9 dzieli się przez 3, ale nie odwrotnie (np. 12).

8.Cecha podzielności przez 4 i łączenie cech

Liczba dzieli się przez 4, gdy liczba utworzona z jej dwóch ostatnich cyfr dzieli się przez 4. Przykład: 3716 - końcówka 16 dzieli się przez 4, więc $3716 : 4 = 929$; 1234 - końcówka 34 nie dzieli się przez 4. Cechy można łączyć: liczba dzieli się przez 6, gdy dzieli się przez 2 i przez 3 (np. 438 - parzysta, suma cyfr 15), a przez 12 - gdy dzieli się przez 3 i przez 4. Uwaga: podzielność przez 2 i przez 4 nie wystarcza do podzielności przez 8 (np. 12).

9.Liczby pierwsze i złożone

Liczba pierwsza to liczba naturalna, która ma dokładnie dwa dzielniki: 1 i samą siebie. Liczba złożona to liczba naturalna większa od 1, która ma więcej niż dwa dzielniki, np. $15 = 3 \cdot 5$ ma dzielniki 1, 3, 5, 15. Liczby 0 i 1 nie są ani pierwsze, ani złożone. Liczby pierwsze mniejsze od 50: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47 (jest ich 15). Liczba 2 to jedyna parzysta liczba pierwsza.

10.Jak rozpoznać liczbę złożoną

Liczba naturalna większa od 1 jest złożona, gdy ma dzielnik różny od 1 i od niej samej - często wskazuje go cecha podzielności: 111 jest złożona, bo suma cyfr wynosi 3 ($111 = 3 \cdot 37$); 1005 jest złożona, bo kończy się cyfrą 5. Sprawdzając, czy liczba jest pierwsza, dzielimy ją tylko przez liczby pierwsze, których kwadrat jej nie przekracza. Przykład: dla 97 sprawdzamy 2, 3, 5 i 7 (bo $11^2 = 121 > 97$); żadna z nich nie dzieli 97, więc 97 jest liczbą pierwszą.

11.Największy wspólny dzielnik (NWD)

NWD dwóch liczb to największa liczba, przez którą dzielą się obie. Metoda rozkładu: rozkładamy obie liczby na czynniki pierwsze i mnożymy czynniki wspólne, każdy tyle razy, ile razy występuje w obu rozkładach. Przykład: $84 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 7$, $90 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5$, więc $\mathrm{NWD}(84, 90) = 2 \cdot 3 = 6$ (sprawdzenie: $84 : 6 = 14$, $90 : 6 = 15$). Liczby, których NWD jest równy 1, to liczby względnie pierwsze, np. 8 i 15.

12.Najmniejsza wspólna wielokrotność (NWW)

NWW dwóch liczb to najmniejsza dodatnia liczba, która dzieli się przez obie. Metoda rozkładu: bierzemy wszystkie czynniki jednej liczby i dopisujemy brakujące czynniki drugiej. Przykład: $12 = 2 \cdot 2 \cdot 3$, $18 = 2 \cdot 3 \cdot 3$, więc $\mathrm{NWW}(12, 18) = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 = 36$. Zależność: $\mathrm{NWD}(a, b) \cdot \mathrm{NWW}(a, b) = a \cdot b$; sprawdzenie: $6 \cdot 36 = 216 = 12 \cdot 18$. NWW mianowników to najmniejszy wspólny mianownik ułamków.

13.Rozkład liczby na czynniki pierwsze

Każdą liczbę naturalną większą od 1 można zapisać jako iloczyn liczb pierwszych - i to tylko w jeden sposób, nie licząc kolejności czynników. Rozkład zapisujemy w słupku: obok liczby jej najmniejszy dzielnik pierwszy, pod spodem iloraz - aż do 1. Przykład: $360 \to 180 \to 90 \to 45 \to 15 \to 5 \to 1$ (dzielimy kolejno przez 2, 2, 2, 3, 3, 5), więc $360 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5$. Sprawdzenie: $8 \cdot 9 \cdot 5 = 360$.

14.Rozkład liczb wielocyfrowych na czynniki pierwsze

Najpierw wykorzystujemy cechy podzielności (2, 3, 5, 9, 10), a potem próbujemy dzielić przez 7, 11, 13, 17… Wystarczy sprawdzać liczby pierwsze $p$, dla których $p^2$ nie przekracza dzielonej liczby - gdy żadna z nich nie dzieli, liczba jest pierwsza. Przykład: $5880 = 10 \cdot 588 = (2 \cdot 5) \cdot (2^2 \cdot 3 \cdot 7^2) = 2^3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7^2$. Warto pamiętać: $1001 = 7 \cdot 11 \cdot 13$, np. $13\,013 = 13 \cdot 1001 = 7 \cdot 11 \cdot 13^2$.

15.Dzielenie z resztą: $a = b \cdot q + r$

Dzieląc liczbę naturalną $a$ przez liczbę naturalną $b > 0$, otrzymujemy iloraz $q$ i resztę $r$, które spełniają warunek $a = b \cdot q + r$, gdzie $0 \le r < b$. Reszta jest mniejsza od dzielnika. Przykład: $47 : 5 = 9$ reszty 2, bo $47 = 5 \cdot 9 + 2$ (sprawdzenie: $45 + 2 = 47$). Gdy $r = 0$, liczba $a$ dzieli się przez $b$. Zapis $47 = 5 \cdot 8 + 7$ jest prawdziwą równością, ale nie przedstawia dzielenia z resztą, bo $7 > 5$.

16.Liczby całkowite i liczby przeciwne

Liczby całkowite to liczby naturalne, liczby do nich przeciwne i zero: …, $-2$, $-1$, $0$, $1$, $2$, … Liczby ujemne opisują np. temperaturę poniżej zera ($-5^\circ\mathrm{C}$), dług lub głębokość pod poziomem morza. Liczby przeciwne (różne od zera) leżą na osi liczbowej po przeciwnych stronach zera, w tej samej odległości od niego; liczbą przeciwną do 0 jest 0; ich suma to 0: $7 + (-7) = 0$. Na osi większa jest liczba położona bardziej w prawo: $-2 > -5$. Iloczyn i iloraz liczb o różnych znakach są ujemne, o jednakowych - dodatnie: $(-4) \cdot (-5) = 20$, $(-12) : 3 = -4$.

17.Wartość bezwzględna liczby

Wartość bezwzględna liczby to jej odległość od zera na osi liczbowej, więc nie jest ujemna. Liczba dodatnia i zero mają wartość bezwzględną równą sobie, a liczba ujemna - równą liczbie do niej przeciwnej: $|7| = 7$, $|-7| = 7$, $|0| = 0$, $|-2{,}5| = 2{,}5$. Z dwóch liczb ujemnych większa jest ta o mniejszej wartości bezwzględnej: $-3 > -8$. Dodając liczby o różnych znakach, od większej wartości bezwzględnej odejmujemy mniejszą i bierzemy znak liczby o większej wartości bezwzględnej: $-9 + 4 = -5$.

18.Ułamek zwykły, ułamek niewłaściwy i liczba mieszana

Ułamek $\frac{a}{b}$ opisuje $a$ części z $b$ równych części całości i jest ilorazem: $\frac{a}{b} = a : b$, gdzie mianownik $b \neq 0$. Licznik stoi nad kreską ułamkową, mianownik pod nią. Ułamek właściwy ma licznik mniejszy od mianownika ($\frac{3}{4}$), a niewłaściwy - nie mniejszy ($\frac{7}{4}$). Ułamek niewłaściwy zamieniamy na liczbę mieszaną, dzieląc z resztą: $\frac{17}{5} = 3\frac{2}{5}$, bo $17 = 5 \cdot 3 + 2$. W drugą stronę: $3\frac{2}{5} = \frac{3 \cdot 5 + 2}{5} = \frac{17}{5}$.

19.Skracanie i rozszerzanie ułamków

Wartość ułamka się nie zmienia, gdy licznik i mianownik pomnożymy (rozszerzanie) albo podzielimy (skracanie) przez tę samą liczbę różną od zera. Rozszerzanie: $\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 5} = \frac{15}{20}$. Skracanie: $\frac{18}{24} = \frac{18 : 6}{24 : 6} = \frac{3}{4}$. Ułamek jest nieskracalny, gdy NWD licznika i mianownika wynosi 1, dlatego najszybciej skracać od razu przez NWD. Błąd: nie wolno skracać składników sumy, np. $\frac{2 + 3}{2 + 5} = \frac{5}{7}$, a nie $\frac{3}{5}$.

20.Wspólny mianownik, porównywanie, dodawanie i odejmowanie ułamków

Ułamki o różnych mianownikach rozszerzamy do wspólnego mianownika - najlepiej do NWW mianowników. Przykład ($\mathrm{NWW}(6, 9) = 18$): $\frac{5}{6} - \frac{4}{9} = \frac{15}{18} - \frac{8}{18} = \frac{7}{18}$. Dodajemy i odejmujemy liczniki, a mianownik zostaje. Przy wspólnym mianowniku większy jest ułamek o większym liczniku: $\frac{2}{3} = \frac{8}{12} > \frac{7}{12}$. Przy tym samym liczniku większy jest ułamek o mniejszym mianowniku: $\frac{3}{5} > \frac{3}{7}$. W liczbach mieszanych dodajemy osobno całości i osobno ułamki.

21.Mnożenie i dzielenie ułamków, odwrotność liczby

Mnożenie: licznik razy licznik, mianownik razy mianownik: $\frac{4}{9} \cdot \frac{3}{8} = \frac{12}{72} = \frac{1}{6}$. Odwrotność liczby $\frac{a}{b}$ to $\frac{b}{a}$ - ich iloczyn wynosi 1; zero nie ma odwrotności. Dzielenie przez ułamek to mnożenie przez jego odwrotność: $\frac{2}{5} : \frac{4}{15} = \frac{2}{5} \cdot \frac{15}{4} = \frac{30}{20} = 1\frac{1}{2}$. Liczby mieszane najpierw zamieniamy na ułamki niewłaściwe. Ułamek liczby to mnożenie ($\frac{3}{4}$ z 20 to 15), a całość z części to dzielenie ($15 : \frac{3}{4} = 20$).

22.Ułamki dziesiętne skończone

Ułamek dziesiętny to inny zapis ułamka o mianowniku 10, 100, 1000…: $0{,}37 = \frac{37}{100}$, $2{,}5 = 2\frac{5}{10} = 2\frac{1}{2}$. Ułamek zwykły zamieniamy na dziesiętny, rozszerzając go do mianownika 10, 100, 1000 ($\frac{3}{8} = \frac{375}{1000} = 0{,}375$) albo dzieląc licznik przez mianownik. Rozwinięcie skończone mają ułamki nieskracalne, których mianownik rozkłada się tylko na dwójki i piątki. Porównujemy cyfra po cyfrze od lewej: $0{,}7 > 0{,}69$. Zaokrąglamy jak liczby naturalne: $3{,}146 \approx 3{,}15$.

23.Ułamki dziesiętne nieskończone okresowe

Gdy mianownik ułamka nieskracalnego ma czynnik pierwszy inny niż 2 i 5 (np. 3, 7, 11), dzielenie licznika przez mianownik nigdy się nie kończy, a cyfry zaczynają się powtarzać. Powtarzającą się grupę cyfr nazywamy okresem i zapisujemy w nawiasie: $\frac{1}{3} = 0{,}333\ldots = 0{,}(3)$, $\frac{2}{11} = 0{,}1818\ldots = 0{,}(18)$, $\frac{1}{6} = 0{,}1666\ldots = 0{,}1(6)$. W obliczeniach praktycznych takie liczby zaokrąglamy, np. $\frac{2}{3} \approx 0{,}67$.

24.Procent

Procent to jedna setna część całości: $1\% = \frac{1}{100} = 0{,}01$. Warto pamiętać: $100\%$ to cała wielkość, $50\% = \frac{1}{2}$, $25\% = \frac{1}{4}$, $20\% = \frac{1}{5}$, $10\% = \frac{1}{10}$. Ułamek zamieniamy na procent, mnożąc go przez $100\%$: $\frac{3}{8} \cdot 100\% = 37{,}5\%$, $0{,}06 = 6\%$. Procent zamieniamy na ułamek, dzieląc przez 100: $45\% = \frac{45}{100} = \frac{9}{20} = 0{,}45$. Część jako procent całości: 12 uczniów z 30 to $\frac{12}{30} = 40\%$.

25.Procent danej liczby

Aby obliczyć $p\%$ liczby $b$, mnożymy tę liczbę przez $\frac{p}{100}$: $a = \frac{p}{100} \cdot b$. Przykład: $15\%$ liczby 80 to $0{,}15 \cdot 80 = 12$. W pamięci: $10\%$ to jedna dziesiąta (z 80 to 8), $5\%$ to połowa z $10\%$ (4), razem $15\%$ to 12. Podobnie $1\%$ liczby 80 to $0{,}8$, a $50\%$ to 40. Gdy $p > 100$, wynik jest większy od liczby: $150\%$ z 80 to 120.

26.Jaki to procent i liczba z danego procentu

Jakim procentem liczby $b$ jest liczba $a$: obliczamy $\frac{a}{b} \cdot 100\%$. Przykład: 9 z 36 to $\frac{9}{36} = \frac{1}{4} = 25\%$. Liczba $b$, której $p\%$ wynosi $a$: $b = a : \frac{p}{100}$. Przykład: $30\%$ pewnej liczby to 21, więc ta liczba to $21 : 0{,}3 = 70$ (sprawdzenie: $0{,}3 \cdot 70 = 21$). Najpierw ustalamy, która wielkość jest całością ($100\%$) - to względem niej liczymy procent.

27.Podwyżki i obniżki, także dwukrotne

Po podwyżce o $p\%$ nowa wartość to $(100 + p)\%$ starej, np. 200 zł po podwyżce o $15\%$: $1{,}15 \cdot 200 = 230$ zł. Po obniżce o $p\%$ zostaje $(100 - p)\%$, np. po obniżce o $20\%$: $0{,}8 \cdot 200 = 160$ zł. Przy dwukrotnej zmianie druga liczy się od nowej wartości, więc mnożymy: dwie podwyżki o $10\%$ to $1{,}1 \cdot 1{,}1 = 1{,}21$, czyli wzrost o $21\%$, a nie o $20\%$. Podwyżka o $50\%$ i obniżka o $50\%$ dają $1{,}5 \cdot 0{,}5 = 0{,}75$, czyli spadek o $25\%$.

28.Jednostki długości i masy, obliczenia zegarowe i kalendarzowe

Długość: $1~\mathrm{cm} = 10~\mathrm{mm}$, $1~\mathrm{dm} = 10~\mathrm{cm}$, $1~\mathrm{m} = 100~\mathrm{cm}$, $1~\mathrm{km} = 1000~\mathrm{m}$. Masa: $1~\mathrm{dag} = 10~\mathrm{g}$, $1~\mathrm{kg} = 100~\mathrm{dag} = 1000~\mathrm{g}$, $1~\mathrm{t} = 1000~\mathrm{kg}$. Zapis dwumianowany zamieniamy na ułamek: 2 m 35 cm to $2{,}35~\mathrm{m}$. Czas: 1 h to 60 min, 1 min to 60 s, doba to 24 h, tydzień to 7 dni, rok to 365 dni, a rok przestępny 366 (luty ma wtedy 29 dni).

29.Skala

Skala $1 : n$ oznacza, że 1 cm na planie lub mapie odpowiada $n$ cm w rzeczywistości. Długość rzeczywistą obliczamy, mnożąc długość na mapie przez $n$, a długość na mapie - dzieląc długość rzeczywistą przez $n$. Przykład w skali $1 : 50\,000$: 3 cm na mapie to $150\,000~\mathrm{cm} = 1{,}5~\mathrm{km}$, a 4 km w terenie to $400\,000~\mathrm{cm} : 50\,000 = 8~\mathrm{cm}$ na mapie. Skala $2 : 1$ oznacza powiększenie dwukrotne. Przed obliczeniem zamieniamy jednostki: $1~\mathrm{km} = 100\,000~\mathrm{cm}$.

30.Prędkość, droga i czas

Przy ruchu ze stałą prędkością: $s = v \cdot t$, $v = \frac{s}{t}$, $t = \frac{s}{v}$ ($s$ - droga, $v$ - prędkość, $t$ - czas). Przykład: jadąc z prędkością $60~\mathrm{km/h}$ przez $2{,}5~\mathrm{h}$, samochód pokona $60 \cdot 2{,}5 = 150~\mathrm{km}$. Zamiana jednostek: $1~\mathrm{m/s} = 3{,}6~\mathrm{km/h}$, więc km/h dzielimy przez 3,6, a m/s mnożymy przez 3,6: $36~\mathrm{km/h} = 10~\mathrm{m/s}$, $15~\mathrm{m/s} = 54~\mathrm{km/h}$. Jednostki muszą do siebie pasować (km i h albo m i s).

31.Potęga o wykładniku naturalnym, kwadraty i sześciany

Potęga $a^n$ ($n$ - liczba naturalna dodatnia) to iloczyn $n$ czynników równych $a$; $a$ to podstawa, $n$ - wykładnik, $a^1 = a$. Kwadrat liczby to $a^2$, sześcian - $a^3$. Przykłady: $2^5 = 32$, $\left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9}$, $0{,}3^2 = 0{,}09$, $(-2)^3 = -8$. Liczba ujemna w potędze parzystej daje wynik dodatni, a w nieparzystej - ujemny. Uwaga na nawias: $(-3)^2 = 9$, ale $-3^2 = -9$. Kwadraty od $11^2$ do $15^2$: 121, 144, 169, 196, 225.

32.Mnożenie i dzielenie potęg o tej samej podstawie

Przy mnożeniu potęg o tej samej podstawie wykładniki dodajemy: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, np. $2^3 \cdot 2^4 = 2^7 = 128$ (sprawdzenie: $8 \cdot 16 = 128$). Przy dzieleniu wykładniki odejmujemy: $a^m : a^n = a^{m-n}$ dla $a \neq 0$ i $m > n$, np. $5^6 : 5^4 = 5^2 = 25$ (sprawdzenie: $15\,625 : 625 = 25$). Podstawa się nie zmienia - częsty błąd to $2^3 \cdot 2^4 = 4^7$. Przy mnożeniu potęg wykładników nie mnożymy.

33.Potęga potęgi

Potęgę podnoszoną do potęgi obliczamy, mnożąc wykładniki: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$. Przykład: $(2^3)^2 = 2^6 = 64$ (sprawdzenie: $8^2 = 64$). Wzór wynika z definicji: $(a^3)^2 = a^3 \cdot a^3 = a^{3+3} = a^6$. Pomaga sprowadzać potęgi do wspólnej podstawy: $4^5 = (2^2)^5 = 2^{10} = 1024$, $27^2 = (3^3)^2 = 3^6 = 729$. Typowy błąd to dodanie wykładników zamiast ich pomnożenia: $(2^3)^2$ to nie $2^5$.

34.Potęga iloczynu i ilorazu

Iloczyn podnosimy do potęgi, potęgując każdy czynnik: $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$, np. $(2 \cdot 5)^3 = 2^3 \cdot 5^3 = 8 \cdot 125 = 1000$. W drugą stronę: potęgi o różnych podstawach i jednakowych wykładnikach mnożymy, mnożąc podstawy: $4^3 \cdot 25^3 = 100^3 = 1\,000\,000$. Iloraz: $\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$ oraz $a^n : b^n = (a : b)^n$ dla $b \neq 0$, np. $\left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{9}{16}$, $15^4 : 5^4 = 3^4 = 81$.

35.Notacja wykładnicza $a \cdot 10^k$

Bardzo duże i bardzo małe liczby zapisujemy w postaci $a \cdot 10^k$, gdzie $1 \le a < 10$, a $k$ jest liczbą całkowitą. Przykład: $3\,700\,000 = 3{,}7 \cdot 10^6$ (przecinek przesunięty o 6 miejsc w lewo). Liczby mniejsze od 1 mają ujemny wykładnik: $0{,}0042 = 4{,}2 \cdot 10^{-3}$. Zapis $37 \cdot 10^5$ nie jest notacją wykładniczą, bo $37 > 10$. Mnożenie: $(2 \cdot 10^3) \cdot (4 \cdot 10^5) = 8 \cdot 10^8$ - mnożymy osobno liczby i potęgi dziesiątki.

36.Pierwiastek kwadratowy i sześcienny

Pierwiastek kwadratowy z liczby nieujemnej $a$ to liczba nieujemna, której kwadrat równa się $a$: $\sqrt{49} = 7$, bo $7^2 = 49$. Pierwiastek sześcienny z $a$ to liczba, której sześcian równa się $a$: $\sqrt[3]{64} = 4$, bo $4^3 = 64$. Z ułamków: $\sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$, $\sqrt{0{,}16} = 0{,}4$, $\sqrt[3]{0{,}008} = 0{,}2$. Liczbę mieszaną zamieniamy najpierw na ułamek niewłaściwy: $\sqrt{1\frac{9}{16}} = \sqrt{\frac{25}{16}} = \frac{5}{4}$. Pierwiastka kwadratowego z liczby ujemnej nie obliczamy.

37.Szacowanie pierwiastków

Pierwiastek szacujemy, szukając najbliższych kwadratów (lub sześcianów) liczb całkowitych. Przykład: $36 < 40 < 49$, więc $6 < \sqrt{40} < 7$; liczba 40 leży bliżej 36, więc $\sqrt{40} \approx 6{,}3$. Dla pierwiastka sześciennego: $64 < 100 < 125$, więc $4 < \sqrt[3]{100} < 5$. Szacujemy też wyrażenia: $\sqrt{50} + \sqrt{10}$ to trochę ponad $7 + 3 = 10$. Im większa liczba pod pierwiastkiem, tym większy pierwiastek: $\sqrt{17} < \sqrt{19}$.

38.Pierwiastek z iloczynu i ilorazu, mnożenie i dzielenie pierwiastków

Dla liczb nieujemnych: $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ oraz $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ ($b \neq 0$); podobnie dla pierwiastków sześciennych. Przykład: $\sqrt{16 \cdot 9} = 4 \cdot 3 = 12$. Pierwiastki tego samego stopnia mnożymy i dzielimy, mnożąc lub dzieląc liczby pod pierwiastkiem: $\sqrt{2} \cdot \sqrt{32} = \sqrt{64} = 8$, $\sqrt{75} : \sqrt{3} = \sqrt{25} = 5$, $\sqrt[3]{4} \cdot \sqrt[3]{2} = \sqrt[3]{8} = 2$. Pierwiastka z sumy nie rozbijamy: $\sqrt{9 + 16} = 5$, a nie 7.

39.Wyłączanie czynnika przed znak pierwiastka i włączanie pod znak

Wyłączanie: liczbę pod pierwiastkiem zapisujemy jako iloczyn, w którym jeden czynnik jest kwadratem (przy pierwiastku sześciennym - sześcianem), i z tego czynnika wyciągamy pierwiastek: $\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}$, $\sqrt[3]{24} = \sqrt[3]{8 \cdot 3} = 2\sqrt[3]{3}$. Włączanie: liczbę dodatnią przed pierwiastkiem podnosimy do kwadratu (do sześcianu) i mnożymy przez liczbę pod pierwiastkiem: $3\sqrt{2} = \sqrt{9 \cdot 2} = \sqrt{18}$, $2\sqrt[3]{5} = \sqrt[3]{40}$. Włączanie ułatwia porównywanie: $3\sqrt{2} = \sqrt{18} < \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$.

40.Usuwanie niewymierności z mianownika ułamka

Ułamek z pierwiastkiem w mianowniku zapisujemy tak, by mianownik był liczbą wymierną: licznik i mianownik mnożymy przez ten sam pierwiastek (to mnożenie przez 1): $\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\frac{10}{\sqrt{5}} = \frac{10\sqrt{5}}{5} = 2\sqrt{5}$. Gdy w mianowniku jest suma, mnożymy przez różnicę tych samych liczb (i odwrotnie): $\frac{1}{\sqrt{2} + 1} = \frac{\sqrt{2} - 1}{(\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} - 1)} = \frac{\sqrt{2} - 1}{2 - 1} = \sqrt{2} - 1$.