Pomorski Wojewódzki Konkurs z Matematyki - Tales, podobieństwo i bryły

1.Twierdzenie Talesa - sformułowanie

Jeżeli ramiona kąta przetniemy dwiema prostymi równoległymi, to odcinki wyznaczone przez te proste na jednym ramieniu są proporcjonalne do odpowiednich odcinków na drugim ramieniu. Oznaczenia: kąt o wierzchołku $O$; jedna prosta przecina ramiona w punktach $A$ i $C$, druga w punktach $B$ i $D$ ($A$ leży między $O$ i $B$, $C$ między $O$ i $D$), $AC \parallel BD$. Wtedy $\frac{OA}{AB} = \frac{OC}{CD}$. Przykład: $OA = 4$, $AB = 6$, $OC = 6$. Z proporcji $\frac{4}{6} = \frac{6}{CD}$ mamy $CD = \frac{6 \cdot 6}{4} = 9$. Typowy błąd: stosowanie proporcji, gdy proste nie są równoległe.

2.Twierdzenie Talesa - różne zapisy proporcji

Oznaczenia: wierzchołek kąta $O$, punkty $A$, $B$ na jednym ramieniu, $C$, $D$ na drugim, $AC \parallel BD$. Oprócz $\frac{OA}{AB} = \frac{OC}{CD}$ prawdziwe są też proporcje $\frac{OA}{OB} = \frac{OC}{OD}$ oraz $\frac{OA}{OC} = \frac{AB}{CD}$. W każdej porównujemy odcinki ułożone tak samo na obu ramionach: część do części albo część do całości. Przykład: $OA = 3$, $OB = 12$, $OC = 5$. Z $\frac{3}{12} = \frac{5}{OD}$ mamy $OD = 20$, więc $CD = 20 - 5 = 15$. Typowy błąd: pomylenie odcinka $AB$ z całym odcinkiem $OB$, np. zapis $\frac{OA}{OB} = \frac{OC}{CD}$.

3.Twierdzenie Talesa a odcinki na prostych równoległych

Twierdzenie Talesa mówi o odcinkach na ramionach kąta. Odcinki $AC$ i $BD$ leżące na prostych równoległych też są proporcjonalne, ale do odcinków liczonych od wierzchołka $O$: $\frac{AC}{BD} = \frac{OA}{OB} = \frac{OC}{OD}$. Wynika to z podobieństwa trójkątów $OAC$ i $OBD$. Przykład: $OA = 6$, $AB = 4$, $AC = 9$. Wtedy $OB = 10$ i $\frac{9}{BD} = \frac{6}{10}$, więc $BD = 15$. Typowy błąd: zapis $\frac{AC}{BD} = \frac{OA}{AB}$, który dałby $BD = 6$ - odcinek leżący dalej od wierzchołka wyszedłby krótszy, a to niemożliwe.

4.Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Talesa

Służy do uzasadniania równoległości prostych. Jeżeli ramiona kąta o wierzchołku $O$ przecinają dwie proste - jedna w punktach $A$ i $C$, druga w punktach $B$ i $D$ ($A$, $B$ na jednym ramieniu, $C$, $D$ na drugim) - i zachodzi $\frac{OA}{OB} = \frac{OC}{OD}$, to proste $AC$ i $BD$ są równoległe. Przykład: $OA = 4$, $OB = 10$, $OC = 6$, $OD = 15$. Ponieważ $\frac{4}{10} = \frac{6}{15} = \frac{2}{5}$, mamy $AC \parallel BD$. Uwaga: o równoległości wolno wnioskować tylko z proporcji odcinków leżących na ramionach. Sama równość $\frac{OA}{OB} = \frac{AC}{BD}$ nie wystarcza.

5.Podział odcinka w danym stosunku

Stosunek $m : n$ oznacza podział na $m + n$ równych części. Rachunkowo: odcinek $AB = 20$ cm dzielimy punktem $C$ w stosunku $2 : 3$; jedna część to $20 : 5 = 4$ cm, więc $AC = 8$ cm i $CB = 12$ cm. Konstrukcyjnie: z punktu $A$ rysujemy półprostą pod kątem do $AB$ i odkładamy na niej cyrklem 5 równych odcinków o końcach $P_1$, ..., $P_5$. Łączymy $P_5$ z $B$, a przez $P_2$ prowadzimy prostą równoległą do $P_5B$ - przecina ona $AB$ w punkcie $C$. Z twierdzenia Talesa $\frac{AC}{CB} = \frac{2}{3}$. Typowy błąd: dzielenie przez 3 zamiast przez sumę $2 + 3$.

6.Wyznaczanie wysokości z cienia - drzewo i tyczka

Promienie słoneczne padające w tej samej chwili są do siebie równoległe, więc wysokości przedmiotów stojących pionowo są proporcjonalne do długości ich cieni: $\frac{\text{wysokość drzewa}}{\text{cień drzewa}} = \frac{\text{wysokość tyczki}}{\text{cień tyczki}}$. Przykład: tyczka o wysokości $1{,}5$ m rzuca cień 2 m, a drzewo w tej samej chwili cień 12 m. Z proporcji $\frac{h}{12} = \frac{1{,}5}{2}$ mamy $h = 9$ m. Warunki: pomiar w tej samej chwili, poziomy teren, oba przedmioty pionowe. Typowy błąd: odwrócenie jednego z ułamków, np. $\frac{h}{12} = \frac{2}{1{,}5}$.

7.Odcinki w trójkącie i w trapezie

Prosta równoległa do boku $AB$ trójkąta $ABC$, przecinająca boki $AC$ i $BC$ w punktach $D$ i $E$, dzieli je proporcjonalnie: $\frac{CD}{DA} = \frac{CE}{EB}$. Gdy $D$ i $E$ są środkami boków, to $DE \parallel AB$ i $DE = \frac{1}{2} \cdot AB$. W trapezie o podstawach $a$ i $b$ odcinek łączący środki ramion jest równoległy do podstaw i ma długość $\frac{a + b}{2}$, a punkt przecięcia przekątnych dzieli każdą z nich w stosunku $a : b$. Przykład: podstawy 12 i 8, przekątna 15. Stosunek $12 : 8 = 3 : 2$, więc przekątna dzieli się na odcinki 9 i 6 (dłuższy przy dłuższej podstawie).

8.Figury podobne i skala podobieństwa

Figury podobne mają ten sam kształt, ale mogą różnić się wielkością: odpowiednie kąty są równe, a odpowiednie odcinki proporcjonalne. Skala podobieństwa $k$ to iloraz długości odcinka w jednej figurze i długości odpowiadającego mu odcinka w drugiej. Przykład: trójkąt o bokach 9, 12, 15 jest podobny do trójkąta o bokach 6, 8, 10 w skali $k = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}$. Kolejność ma znaczenie: mniejszy trójkąt jest podobny do większego w skali $\frac{2}{3}$. Dla $k = 1$ figury są przystające. Każde dwa kwadraty i każde dwa koła są podobne, ale dwa prostokąty nie zawsze.

9.Cecha podobieństwa trójkątów kąt-kąt-kąt (kkk)

Jeżeli kąty jednego trójkąta są równe kątom drugiego trójkąta, to trójkąty są podobne. W praktyce wystarczy wskazać dwie pary równych kątów - trzecia para wynika z sumy kątów trójkąta, równej $180^\circ$. Przykład: jeden trójkąt ma kąty $50^\circ$ i $60^\circ$, drugi $60^\circ$ i $70^\circ$. W obu trójkątach kąty to $50^\circ$, $60^\circ$, $70^\circ$, więc trójkąty są podobne. Gdzie szukać równych kątów: prosta równoległa do boku trójkąta daje kąty odpowiadające, a przekątne trapezu - kąty naprzemianległe i wierzchołkowe. Cecha kkk nie podaje skali - do niej potrzebne są długości boków.

10.Cecha podobieństwa trójkątów bok-kąt-bok (bkb)

Jeżeli dwa boki jednego trójkąta są proporcjonalne do dwóch boków drugiego trójkąta, a kąty między tymi bokami są równe, to trójkąty są podobne. Przykład: w pierwszym trójkącie boki 4 i 6 tworzą kąt $40^\circ$, w drugim boki 10 i 15 tworzą kąt $40^\circ$. Ponieważ $\frac{10}{4} = \frac{15}{6} = \frac{5}{2}$, trójkąty są podobne w skali $\frac{5}{2}$, a trzeci bok drugiego trójkąta jest $2{,}5$ razy dłuższy od trzeciego boku pierwszego. Typowy błąd: użycie kąta, który nie leży między proporcjonalnymi bokami - wtedy podobieństwo nie musi zachodzić.

11.Cecha podobieństwa trójkątów bok-bok-bok (bbb)

Jeżeli trzy boki jednego trójkąta są proporcjonalne do trzech boków drugiego trójkąta, to trójkąty są podobne. Sprawdzanie: ustaw boki obu trójkątów od najkrótszego do najdłuższego i porównaj trzy ilorazy. Przykład: boki 4, 5, 6 oraz 6; $7{,}5$; 9. Ilorazy $\frac{6}{4} = \frac{7{,}5}{5} = \frac{9}{6} = 1{,}5$ są równe, więc trójkąty są podobne w skali $1{,}5$. Kontrprzykład: boki 3, 4, 5 oraz 6, 8, 11 - ilorazy 2, 2 i $2{,}2$ nie są równe, więc trójkąty nie są podobne. Typowy błąd: porównywanie boków w przypadkowej kolejności albo sprawdzenie tylko dwóch ilorazów.

12.Stosunek obwodów figur podobnych

W figurach podobnych w skali $k$ każda długość zmienia się $k$ razy: boki, wysokości, przekątne, promienie i obwód. Stosunek obwodów figur podobnych jest więc równy skali podobieństwa $k$. Przykład: trójkąt o bokach 5, 6, 7 ma obwód 18. Trójkąt do niego podobny ma obwód 45, więc $k = \frac{45}{18} = \frac{5}{2}$, a jego boki to $12{,}5$; 15; $17{,}5$ (suma 45). Miary kątów w figurach podobnych się nie zmieniają - trójkąt powiększony 3 razy ma takie same kąty jak wyjściowy. Typowy błąd: dodawanie tej samej liczby do każdego boku zamiast mnożenia przez $k$.

13.Stosunek pól figur podobnych - kwadrat skali

Stosunek pól figur podobnych jest równy kwadratowi skali podobieństwa: $\frac{P_2}{P_1} = k^2$. Powód: pole powstaje z iloczynu dwóch długości, a każda z nich zmienia się $k$ razy. Przykład: trójkąt o polu $12~\mathrm{cm^2}$ powiększono w skali $k = 3$; nowe pole to $12 \cdot 3^2 = 108~\mathrm{cm^2}$, a nie 36. W drugą stronę: pola figur podobnych wynoszą 50 i 18, więc $k^2 = \frac{50}{18} = \frac{25}{9}$ i $k = \frac{5}{3}$. Tak samo na planach: w skali $1 : 100$ pole rzeczywiste jest $10\,000$ razy większe od pola na planie. Typowy błąd: pomnożenie pola przez $k$ zamiast przez $k^2$.

14.Podobieństwo trójkątów prostokątnych

Dwa trójkąty prostokątne są podobne, gdy mają równy jeden kąt ostry (wtedy z cechy kkk zgadzają się wszystkie kąty) albo gdy ich przyprostokątne są proporcjonalne (cecha bkb - kątem między nimi jest kąt prosty). Przykład: trójkąt o przyprostokątnych 6 i 8 oraz trójkąt o przyprostokątnych 9 i 12 są podobne, bo $\frac{9}{6} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}$. Przeciwprostokątne mają długości 10 i $10 \cdot \frac{3}{2} = 15$. Wniosek: wszystkie trójkąty o kątach $30^\circ$, $60^\circ$, $90^\circ$ są do siebie podobne, tak samo wszystkie o kątach $45^\circ$, $45^\circ$, $90^\circ$.

15.Wysokość opuszczona na przeciwprostokątną

W trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych $a$, $b$ i przeciwprostokątnej $c$ wysokość $h$ opuszczona na przeciwprostokątną dzieli go na dwa trójkąty prostokątne podobne do całego trójkąta (cecha kkk). Długość $h$ liczymy z pola zapisanego dwoma sposobami: $\frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h$, czyli $h = \frac{a \cdot b}{c}$. Przykład: boki 5, 12, 13 dają $h = \frac{5 \cdot 12}{13} = \frac{60}{13}$ - to najkrótsza wysokość tego trójkąta. Wysokość dzieli przeciwprostokątną na odcinki $\frac{a^2}{c}$ i $\frac{b^2}{c}$, tutaj $\frac{25}{13}$ i $\frac{144}{13}$.

16.Twierdzenie Pitagorasa

W trójkącie prostokątnym suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej: $a^2 + b^2 = c^2$. Przeciwprostokątna $c$ leży naprzeciw kąta prostego i jest najdłuższym bokiem. Gdy szukamy przeciwprostokątnej: $c = \sqrt{a^2 + b^2}$, np. dla 6 i 8 mamy $c = \sqrt{36 + 64} = 10$. Gdy szukamy przyprostokątnej: $a = \sqrt{c^2 - b^2}$, np. dla $c = 13$, $b = 5$ mamy $a = \sqrt{169 - 25} = 12$. Twierdzenie stosujemy tylko w trójkącie prostokątnym. Typowe błędy: dodawanie kwadratów, gdy szukamy przyprostokątnej, oraz zapis $\sqrt{a^2 + b^2} = a + b$.

17.Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa

Jeżeli w trójkącie o bokach $a$, $b$, $c$ zachodzi $a^2 + b^2 = c^2$, to trójkąt jest prostokątny, a kąt prosty leży naprzeciw boku $c$. Sprawdzanie: kwadrat najdłuższego boku porównaj z sumą kwadratów dwóch pozostałych. Przykład: boki 9, 40, 41 - $81 + 1600 = 1681 = 41^2$, więc trójkąt jest prostokątny. Boki 5, 6, 8 - $25 + 36 = 61$, a $8^2 = 64$, więc nie jest. Dodatkowo: gdy suma kwadratów krótszych boków jest większa od kwadratu najdłuższego, trójkąt jest ostrokątny, a gdy mniejsza - rozwartokątny (tu $61 < 64$, czyli rozwartokątny).

18.Trójki pitagorejskie

Trójka pitagorejska to trzy liczby naturalne dodatnie spełniające równość $a^2 + b^2 = c^2$, czyli długości boków trójkąta prostokątnego. Warto znać: 3, 4, 5; 5, 12, 13; 8, 15, 17; 7, 24, 25; 20, 21, 29; 9, 40, 41. Pomnożenie wszystkich liczb trójki przez tę samą liczbę naturalną większą od 1 daje nową trójkę: z 3, 4, 5 powstają 6, 8, 10; 9, 12, 15; 15, 20, 25. Zastosowanie: przyprostokątne 15 i 20 to liczby 3 i 4 pomnożone przez 5, więc przeciwprostokątna ma $5 \cdot 5 = 25$ - bez liczenia pierwiastka. Typowy błąd: uznanie za trójkę liczb tylko podobnych, np. 5, 12, 14.

19.Przekątna kwadratu ($a\sqrt{2}$) i trójkąt o kątach $45^\circ$, $45^\circ$, $90^\circ$

Przekątna dzieli kwadrat o boku $a$ na dwa trójkąty prostokątne równoramienne o kątach $45^\circ$, $45^\circ$, $90^\circ$. Z twierdzenia Pitagorasa $d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$, więc przekątna kwadratu ma długość $d = a\sqrt{2}$. W każdym trójkącie o kątach $45^\circ$, $45^\circ$, $90^\circ$ boki mają długości $a$, $a$, $a\sqrt{2}$. Przykłady: bok 7 daje przekątną $7\sqrt{2}$; przekątna 10 daje bok $\frac{10}{\sqrt{2}} = 5\sqrt{2}$; przeciwprostokątna $6\sqrt{2}$ oznacza przyprostokątne po 6. Typowy błąd: mnożenie przez $\sqrt{2}$ zamiast dzielenia, gdy z przekątnej liczymy bok.

20.Wysokość trójkąta równobocznego ($\frac{a\sqrt{3}}{2}$) i jego pole

Wysokość trójkąta równobocznego o boku $a$ dzieli go na dwa przystające trójkąty prostokątne o bokach $\frac{a}{2}$, $h$, $a$. Z twierdzenia Pitagorasa $h^2 = a^2 - \frac{a^2}{4} = \frac{3a^2}{4}$, więc $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. Pole: $P = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$. Przykład: $a = 8$ daje $h = 4\sqrt{3}$ i $P = 16\sqrt{3}$. W drugą stronę: $h = 6$ daje $a = \frac{2 \cdot 6}{\sqrt{3}} = \frac{12}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{3}$. Typowe błędy: wysokość $a\sqrt{3}$ bez dzielenia przez 2 oraz pomylenie wzoru na wysokość ze wzorem na pole.

21.Trójkąt o kątach $30^\circ$, $60^\circ$, $90^\circ$

Trójkąt o kątach $30^\circ$, $60^\circ$, $90^\circ$ to połowa trójkąta równobocznego. Jeśli krótsza przyprostokątna (naprzeciw kąta $30^\circ$) ma długość $a$, to przeciwprostokątna ma $2a$, a dłuższa przyprostokątna (naprzeciw kąta $60^\circ$) ma $a\sqrt{3}$. Przykład: przeciwprostokątna 12 daje przyprostokątne 6 i $6\sqrt{3}$. Gdy dana jest dłuższa przyprostokątna 9, to $a = \frac{9}{\sqrt{3}} = 3\sqrt{3}$, a przeciwprostokątna ma $6\sqrt{3}$. Typowy błąd: przypisanie długości $a\sqrt{3}$ przeciwprostokątnej - najdłuższym bokiem jest $2a$, bo $2 > \sqrt{3}$.

22.Cechy przystawania trójkątów

Trójkąty przystające mają równe odpowiednie boki i równe odpowiednie kąty (to podobieństwo w skali 1). Cechy przystawania trójkątów: bok-bok-bok (bbb) - trzy boki jednego trójkąta są równe trzem bokom drugiego; bok-kąt-bok (bkb) - równe dwa boki i kąt między nimi; kąt-bok-kąt (kbk) - równy bok i dwa kąty do niego przyległe. Przykład: przekątna dzieli równoległobok na dwa trójkąty przystające z cechy bbb, bo boki przeciwległe są równe, a przekątna wspólna. Uwaga: trzy pary równych kątów dają tylko podobieństwo - trójkąty równoboczne o bokach 2 i 5 mają jednakowe kąty, a nie są przystające.

23.Suma kątów wielokąta

Suma miar kątów wewnętrznych wielokąta o $n$ bokach wynosi $(n - 2) \cdot 180^\circ$: przekątne poprowadzone z jednego wierzchołka wielokąta wypukłego dzielą go na $n - 2$ trójkąty. Trójkąt: $180^\circ$, czworokąt: $360^\circ$, pięciokąt: $540^\circ$, sześciokąt: $720^\circ$. W wielokącie foremnym (równe boki i równe kąty) jeden kąt ma miarę $\frac{(n - 2) \cdot 180^\circ}{n}$: pięciokąt foremny $108^\circ$, sześciokąt foremny $120^\circ$, ośmiokąt foremny $135^\circ$. Zadanie odwrotne: suma kątów $1440^\circ$ daje $n - 2 = 8$, czyli dziesięciokąt. Typowy błąd: wzór $n \cdot 180^\circ$.

24.Pole trójkąta i pole równoległoboku

Pole trójkąta: $P = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$, gdzie $h$ to wysokość opuszczona na bok $a$ lub jego przedłużenie. Pole równoległoboku: $P = a \cdot h$ - bok razy wysokość opuszczona na ten bok. Przykład: równoległobok o bokach 10 i 6 ma wysokość 3 opuszczoną na bok 10, więc jego pole to 30, a wysokość opuszczona na bok 6 wynosi $30 : 6 = 5$. Trójkąt prostokątny o przyprostokątnych 6 i 8 ma pole $\frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24$, bo przyprostokątne są dla siebie wysokościami. Typowe błędy: mnożenie dwóch boków równoległoboku oraz pominięcie $\frac{1}{2}$ w trójkącie.

25.Pole rombu i pole trapezu

Pole rombu: $P = \frac{d_1 \cdot d_2}{2}$ (połowa iloczynu przekątnych) albo $P = a \cdot h$. Przekątne rombu są prostopadłe i dzielą się na połowy, więc bok liczymy z twierdzenia Pitagorasa. Przykład: przekątne 10 i 24 dają pole 120 i bok $\sqrt{5^2 + 12^2} = 13$. Pole trapezu: $P = \frac{(a + b) \cdot h}{2}$, gdzie $a$, $b$ to podstawy. Przykład: trapez równoramienny o podstawach 16 i 6 oraz ramieniu 13. Wysokość odcina na dłuższej podstawie odcinek $\frac{16 - 6}{2} = 5$, więc $h = \sqrt{13^2 - 5^2} = 12$ i $P = \frac{22 \cdot 12}{2} = 132$. Typowy błąd: wzięcie ramienia za wysokość.

26.Długość okręgu i pole koła

Długość okręgu o promieniu $r$: $L = 2\pi r$ (dla średnicy $d$: $L = \pi d$). Pole koła: $P = \pi r^2$. Liczba $\pi \approx 3{,}14$ to iloraz długości okręgu i jego średnicy. Przykład: średnica 10 cm oznacza $r = 5$ cm, więc $L = 10\pi$ cm i $P = 25\pi~\mathrm{cm^2}$. W drugą stronę: $L = 12\pi$ daje $r = 6$ i $P = 36\pi$; pole $49\pi$ daje $r = 7$ i $L = 14\pi$. Dwukrotne zwiększenie promienia zwiększa długość okręgu 2 razy, a pole koła 4 razy. Typowe błędy: wstawienie średnicy zamiast promienia do wzoru $\pi r^2$ oraz pomylenie wzorów $2\pi r$ i $\pi r^2$.

27.Graniastosłup prosty i graniastosłup prawidłowy

Graniastosłup ma dwie przystające i równoległe podstawy oraz ściany boczne. W graniastosłupie prostym krawędzie boczne są prostopadłe do podstaw, więc ściany boczne są prostokątami, a krawędź boczna jest wysokością $H$ bryły. Graniastosłup prawidłowy to graniastosłup prosty, którego podstawą jest wielokąt foremny, np. trójkąt równoboczny, kwadrat lub sześciokąt foremny. Gdy podstawa ma $n$ boków, graniastosłup ma $n + 2$ ściany, $3n$ krawędzi i $2n$ wierzchołków. Przykład: sześciokątny - 8 ścian, 18 krawędzi, 12 wierzchołków. Typowy błąd: pominięcie podstaw przy liczeniu ścian.

28.Prostopadłościan i sześcian - pole powierzchni całkowitej i objętość

Prostopadłościan to graniastosłup prosty, którego podstawą jest prostokąt; ma wymiary $a$, $b$, $c$. Objętość: $V = a \cdot b \cdot c$. Pole powierzchni całkowitej: $P_c = 2 \cdot (a \cdot b + a \cdot c + b \cdot c)$. Sześcian o krawędzi $a$: $V = a^3$, $P_c = 6a^2$. Przykład: prostopadłościan o wymiarach 3 cm, 4 cm, 5 cm ma $V = 60~\mathrm{cm^3}$ i $P_c = 2 \cdot (12 + 15 + 20) = 94~\mathrm{cm^2}$. Sześcian o polu powierzchni $150~\mathrm{cm^2}$ ma ścianę o polu $25~\mathrm{cm^2}$, krawędź 5 cm i objętość $125~\mathrm{cm^3}$. Typowy błąd: policzenie trzech ścian zamiast sześciu.

29.Przekątna prostopadłościanu i przekątna sześcianu

Przekątna prostopadłościanu łączy dwa wierzchołki, które nie leżą na jednej ścianie. Dla wymiarów $a$, $b$, $c$: $d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$. Wzór wynika z dwukrotnego użycia twierdzenia Pitagorasa: przekątna podstawy $p$ spełnia $p^2 = a^2 + b^2$, a odcinki $p$, $c$ i $d$ tworzą trójkąt prostokątny, więc $d^2 = p^2 + c^2$. Przykład: wymiary 2, 3, 6 dają $d = \sqrt{4 + 9 + 36} = 7$. Przekątna sześcianu o krawędzi $a$ ma długość $a\sqrt{3}$, a przekątna jego ściany $a\sqrt{2}$. Typowy błąd: pomylenie przekątnej bryły z przekątną ściany.

30.Objętość graniastosłupa: $V = P_p \cdot H$

Objętość graniastosłupa to pole podstawy razy wysokość bryły: $V = P_p \cdot H$. Przykład 1: podstawą graniastosłupa prostego jest trójkąt prostokątny o przyprostokątnych 6 cm i 8 cm, wysokość bryły to 10 cm. $P_p = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24~\mathrm{cm^2}$, $V = 24 \cdot 10 = 240~\mathrm{cm^3}$. Przykład 2: graniastosłup prawidłowy sześciokątny o krawędzi podstawy 2 cm i wysokości 5 cm. Sześciokąt foremny to 6 trójkątów równobocznych: $P_p = 6 \cdot \frac{2^2\sqrt{3}}{4} = 6\sqrt{3}~\mathrm{cm^2}$, $V = 30\sqrt{3}~\mathrm{cm^3}$. Typowy błąd: wstawienie obwodu zamiast pola podstawy.

31.Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa

Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa: $P_c = 2 \cdot P_p + P_b$ - dwie podstawy i ściany boczne. W graniastosłupie prostym pole powierzchni bocznej to obwód podstawy razy wysokość bryły, bo ściany boczne ułożone obok siebie tworzą jeden prostokąt. Przykład: podstawą jest trójkąt prostokątny o przyprostokątnych 6 cm i 8 cm, wysokość bryły to 10 cm. Przeciwprostokątna ma 10 cm, obwód podstawy 24 cm, więc $P_b = 24 \cdot 10 = 240~\mathrm{cm^2}$ i $P_c = 2 \cdot 24 + 240 = 288~\mathrm{cm^2}$. Typowe błędy: jedna podstawa zamiast dwóch albo pominięta ściana na przeciwprostokątnej.

32.Siatki brył

Siatka bryły to płaska figura, która powstaje po rozcięciu powierzchni bryły wzdłuż krawędzi i rozłożeniu na płaszczyźnie. Siatka graniastosłupa prostego: dwie podstawy i prostokąty ścian bocznych, które ułożone obok siebie tworzą prostokąt o bokach równych obwodowi podstawy i wysokości bryły. Siatka ostrosłupa: jedna podstawa i trójkąty ścian bocznych. Pole powierzchni bryły jest równe polu jej siatki. Przykład: siatka graniastosłupa prawidłowego trójkątnego o krawędzi podstawy 4 cm i wysokości 10 cm to dwa trójkąty równoboczne i prostokąt 12 cm na 10 cm. Sześcian ma 11 różnych siatek.

33.Ostrosłup prosty i ostrosłup prawidłowy - wysokość ostrosłupa

Ostrosłup ma jedną podstawę i ściany boczne - trójkąty o wspólnym wierzchołku. Wysokość ostrosłupa $H$ to odcinek poprowadzony z wierzchołka prostopadle do płaszczyzny podstawy; jego drugi koniec to spodek wysokości. Ostrosłup prosty ma wszystkie krawędzie boczne równe. Ostrosłup prawidłowy ma w podstawie wielokąt foremny, a spodek wysokości leży w środku podstawy; jego ściany boczne są przystającymi trójkątami równoramiennymi. Gdy podstawa ma $n$ boków, ostrosłup ma $n + 1$ ścian, $2n$ krawędzi i $n + 1$ wierzchołków, np. pięciokątny: 6 ścian, 10 krawędzi, 6 wierzchołków.

34.Objętość ostrosłupa: $V = \frac{1}{3} P_p \cdot H$

Objętość ostrosłupa to jedna trzecia iloczynu pola podstawy i wysokości: $V = \frac{1}{3} P_p \cdot H$. $H$ oznacza wysokość bryły (prostopadłą do podstawy), a nie wysokość ściany bocznej. Przykład: ostrosłup prawidłowy czworokątny o krawędzi podstawy 6 cm i wysokości 4 cm ma $P_p = 36~\mathrm{cm^2}$ i $V = \frac{1}{3} \cdot 36 \cdot 4 = 48~\mathrm{cm^3}$. Zadanie odwrotne: $V = 100~\mathrm{cm^3}$ i $P_p = 25~\mathrm{cm^2}$ dają $100 = \frac{1}{3} \cdot 25 \cdot H$, czyli $H = 12$ cm. Typowe błędy: pominięcie $\frac{1}{3}$ oraz wstawienie wysokości ściany bocznej.

35.Wysokość ściany bocznej a wysokość ostrosłupa

Wysokość ściany bocznej $h$ to wysokość trójkąta będącego ścianą boczną, poprowadzona z wierzchołka ostrosłupa do krawędzi podstawy. W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym o krawędzi podstawy $a$ trójkąt prostokątny tworzą: wysokość bryły $H$, odcinek długości $\frac{a}{2}$ łączący środek podstawy ze środkiem krawędzi podstawy oraz wysokość ściany bocznej $h$ jako przeciwprostokątna. Stąd $H^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 = h^2$. Przykład: $a = 10$ i $H = 12$ dają $h = \sqrt{144 + 25} = 13$. W takim ostrosłupie zawsze $h > H$. Typowy błąd: wstawienie całej krawędzi $a$ zamiast jej połowy.

36.Krawędź boczna a wysokość ostrosłupa

Krawędź boczna $b$ łączy wierzchołek ostrosłupa z wierzchołkiem podstawy. W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym o krawędzi podstawy $a$ trójkąt prostokątny tworzą: wysokość bryły $H$, połowa przekątnej podstawy $\frac{a\sqrt{2}}{2}$ oraz krawędź boczna $b$ jako przeciwprostokątna. Stąd $H^2 + \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2 = b^2$. Przykład: $a = 6\sqrt{2}$ daje przekątną podstawy 12 i jej połowę 6; przy $H = 8$ mamy $b = \sqrt{64 + 36} = 10$. Drugi trójkąt prostokątny leży w ścianie bocznej: $h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 = b^2$. W ostrosłupie prawidłowym $H < h < b$.

37.Pole powierzchni ostrosłupa

Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa: $P_c = P_p + P_b$ - jedna podstawa i ściany boczne. W ostrosłupie prawidłowym ściany boczne to $n$ przystających trójkątów równoramiennych, więc $P_b = n \cdot \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$, gdzie $a$ to krawędź podstawy, a $h$ - wysokość ściany bocznej. Przykład: ostrosłup prawidłowy czworokątny, $a = 10$ cm, $H = 12$ cm. Najpierw $h = \sqrt{12^2 + 5^2} = 13$ cm, potem $P_b = 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 13 = 260~\mathrm{cm^2}$ i $P_c = 100 + 260 = 360~\mathrm{cm^2}$. Typowy błąd: użycie wysokości bryły $H$ zamiast wysokości ściany $h$.

38.Czworościan foremny

Czworościan foremny to ostrosłup, którego wszystkie cztery ściany są przystającymi trójkątami równobocznymi; ma 4 ściany, 6 równych krawędzi i 4 wierzchołki. Dla krawędzi $a$: $P_c = 4 \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = a^2\sqrt{3}$. Spodek wysokości leży w środku podstawy, odległym od jej wierzchołka o $\frac{2}{3}$ wysokości trójkąta, czyli o $\frac{a\sqrt{3}}{3}$. Z twierdzenia Pitagorasa $H = \sqrt{a^2 - \frac{a^2}{3}} = \frac{a\sqrt{6}}{3}$, a objętość to $V = \frac{a^3\sqrt{2}}{12}$. Przykład: $a = 6$ daje $P_c = 36\sqrt{3}$, $H = 2\sqrt{6}$ i $V = 18\sqrt{2}$.

39.Zamiana jednostek pola i objętości

Przy zamianie jednostek pola przelicznik długości podnosimy do kwadratu, a przy objętości - do sześcianu. Pole: $1~\mathrm{cm^2} = 100~\mathrm{mm^2}$, $1~\mathrm{dm^2} = 100~\mathrm{cm^2}$, $1~\mathrm{m^2} = 10\,000~\mathrm{cm^2}$. Objętość: $1~\mathrm{dm^3} = 1000~\mathrm{cm^3}$, $1~\mathrm{m^3} = 1000~\mathrm{dm^3}$. Pojemność: 1 litr to $1~\mathrm{dm^3}$, a 1 mililitr to $1~\mathrm{cm^3}$. Przykład: akwarium o wymiarach 50 cm, 30 cm i 40 cm ma objętość $60\,000~\mathrm{cm^3} = 60~\mathrm{dm^3}$, czyli mieści 60 litrów. Typowy błąd: przelicznik $1~\mathrm{dm^3} = 10~\mathrm{cm^3}$.

40.Zadania łączone: twierdzenie Pitagorasa w bryłach, skala podobieństwa a objętość

W bryłach podobnych w skali $k$ krawędzie są w stosunku $k$, pola powierzchni w stosunku $k^2$, a objętości w stosunku $k^3$. Przykład: sześciany o krawędziach 2 cm i 6 cm są podobne w skali $k = 3$; ich pola powierzchni to 24 i $216~\mathrm{cm^2}$ (9 razy więcej), a objętości 8 i $216~\mathrm{cm^3}$ (27 razy więcej). Model w skali $1 : 10$ ma objętość 1000 razy mniejszą od oryginału. Twierdzenie Pitagorasa w bryłach: najpierw znajdź trójkąt prostokątny zawierający szukany odcinek (wysokość bryły, wysokość ściany bocznej, przekątną), oblicz ten odcinek, a potem pole lub objętość.