Pomorski Wojewódzki Konkurs z Matematyki - układy równań i zadania tekstowe

1.Równanie pierwszego stopnia z jedną niewiadomą

To równanie, które po uporządkowaniu ma postać $a \cdot x + b = 0$, gdzie $a \neq 0$ - niewiadoma $x$ występuje tylko w pierwszej potędze. Ma dokładnie jedno rozwiązanie, czyli liczbę, która wstawiona za $x$ daje równość prawdziwą. Przykład: $3(x - 2) = x + 8$. Opuszczamy nawias: $3x - 6 = x + 8$, przenosimy wyrazy: $2x = 14$, więc $x = 7$. Sprawdzenie w równaniu wyjściowym: lewa strona $3 \cdot (7 - 2) = 15$, prawa $7 + 8 = 15$. Typowy błąd: przy przenoszeniu wyrazu na drugą stronę nie zmienia się jego znaku.

2.Równania równoważne i metoda równań równoważnych

Równania równoważne mają te same rozwiązania. Równanie równoważne otrzymasz, gdy do obu stron dodasz (lub od obu odejmiesz) to samo wyrażenie albo obie strony pomnożysz (podzielisz) przez tę samą liczbę różną od zera. Przykład: $\frac{x + 1}{2} - \frac{x - 2}{3} = 2$. Mnożymy obie strony przez 6: $3(x + 1) - 2(x - 2) = 12$, czyli $3x + 3 - 2x + 4 = 12$, stąd $x = 5$. Sprawdzenie: $\frac{6}{2} - \frac{3}{3} = 3 - 1 = 2$. Typowe błędy: pomnożenie przez wspólny mianownik tylko części wyrazów oraz zgubienie zmiany znaku po minusie przed ułamkiem (tu $-2 \cdot (-2) = +4$).

3.Równanie tożsamościowe i równanie sprzeczne

Równanie tożsamościowe spełnia każda liczba: po uporządkowaniu zostaje równość zawsze prawdziwa, np. $0 = 0$. Równanie sprzeczne nie ma żadnego rozwiązania: po uporządkowaniu zostaje fałsz, np. $0 = 5$. Przykłady: $2(x + 3) = 2x + 6$ daje $2x + 6 = 2x + 6$, czyli $0 = 0$ - równanie tożsamościowe. $2(x + 3) = 2x + 1$ daje $6 = 1$ - równanie sprzeczne. Pułapka: $3x = 2x$ nie jest sprzeczne, bo ma jedno rozwiązanie $x = 0$. Dlatego nie dziel obu stron przez $x$ - niewiadoma może być zerem i gubisz rozwiązanie.

4.Przekształcanie wzorów

Przekształcić wzór to wyznaczyć z niego wskazaną wielkość: traktujesz ją jak niewiadomą, pozostałe litery jak liczby i wykonujesz te same działania po obu stronach. Przykład 1: $s = v \cdot t$; dzieląc obie strony przez $v$ (dla $v \neq 0$), dostajesz $t = \frac{s}{v}$. Przykład 2: z wzoru na pole trapezu $P = \frac{(a + b) \cdot h}{2}$ wyznacz $a$. Mnożymy przez 2: $2P = (a + b) \cdot h$; dzielimy przez $h$: $\frac{2P}{h} = a + b$; odejmujemy $b$: $a = \frac{2P}{h} - b$. Sprawdzenie: dla $P = 20$, $h = 4$, $b = 3$ jest $a = 7$ i $\frac{(7 + 3) \cdot 4}{2} = 20$.

5.Układ równań stopnia pierwszego z dwiema niewiadomymi

To dwa równania pierwszego stopnia z niewiadomymi $x$ i $y$, które mają być spełnione jednocześnie; łączymy je klamrą: $\begin{cases} x + y = 10 \\ x - y = 4 \end{cases}$. Rozwiązaniem układu jest para liczb spełniająca OBA równania. Tutaj jest nią $x = 7$, $y = 3$, bo $7 + 3 = 10$ i $7 - 3 = 4$. Para $x = 6$, $y = 4$ spełnia tylko pierwsze równanie, więc rozwiązaniem nie jest. Samo równanie $x + y = 10$ ma nieskończenie wiele rozwiązań. Drugie równanie dokłada warunek: układ może mieć jedno rozwiązanie, nieskończenie wiele albo żadnego. Typowy błąd: sprawdzenie pary tylko w jednym równaniu.

6.Metoda podstawiania

Kroki: 1) z jednego równania wyznacz jedną niewiadomą (najlepiej tę ze współczynnikiem 1 lub $-1$); 2) wstaw otrzymane wyrażenie do DRUGIEGO równania - powstaje równanie z jedną niewiadomą; 3) rozwiąż je; 4) oblicz drugą niewiadomą; 5) sprawdź parę w obu równaniach. Przykład: $y = 2x - 1$ i $3x + 2y = 12$. Wstawiamy: $3x + 2(2x - 1) = 12$, czyli $7x - 2 = 12$, $x = 2$. Wtedy $y = 2 \cdot 2 - 1 = 3$. Sprawdzenie: $3 \cdot 2 + 2 \cdot 3 = 12$. Typowe błędy: wstawienie wyrażenia do tego samego równania, z którego je wyznaczono (wychodzi $0 = 0$), i brak nawiasu przy podstawianiu.

7.Metoda przeciwnych współczynników

Kroki: 1) pomnóż równania przez takie liczby, aby przy jednej niewiadomej stały liczby przeciwne, np. $6y$ i $-6y$; 2) dodaj równania stronami - ta niewiadoma znika; 3) rozwiąż równanie z jedną niewiadomą; 4) oblicz drugą niewiadomą; 5) sprawdź. Przykład: $2x + 3y = 13$ i $5x - 2y = 4$. Pierwsze równanie mnożymy przez 2, drugie przez 3: $4x + 6y = 26$ i $15x - 6y = 12$. Dodajemy stronami: $19x = 38$, $x = 2$. Z pierwszego równania $4 + 3y = 13$, więc $y = 3$. Sprawdzenie: $5 \cdot 2 - 2 \cdot 3 = 4$. Typowy błąd: pomnożenie tylko lewej strony równania, bez wyrazu wolnego.

8.Porządkowanie układu równań z ułamkami i nawiasami

Najpierw doprowadź każde równanie do postaci $a \cdot x + b \cdot y = c$: pomnóż obie strony przez wspólny mianownik, opuść nawiasy, niewiadome przenieś na lewą stronę, liczby na prawą. Przykład: $\frac{x}{2} + \frac{y}{3} = 4$ i $2(x - 1) = y$. Pierwsze równanie mnożymy przez 6: $3x + 2y = 24$. Drugie porządkujemy: $2x - y = 2$. Mnożymy je przez 2 i dodajemy do pierwszego: $7x = 28$, $x = 4$, a potem $y = 2 \cdot 4 - 2 = 6$. Sprawdzenie: $\frac{4}{2} + \frac{6}{3} = 4$ oraz $2 \cdot (4 - 1) = 6$. Typowy błąd: pomnożenie przez mianownik samych ułamków, bez prawej strony.

9.Układ oznaczony, nieoznaczony i sprzeczny

Układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi może mieć: dokładnie jedno rozwiązanie - układ oznaczony; nieskończenie wiele rozwiązań - układ nieoznaczony; brak rozwiązań - układ sprzeczny. Widać to podczas rozwiązywania. Oznaczony: wychodzą konkretne wartości, np. $x = 2$, $y = 3$. Nieoznaczony: niewiadome znikają i zostaje prawda $0 = 0$, np. dla $x + 2y = 3$ i $2x + 4y = 6$ (drugie równanie to pierwsze pomnożone przez 2); rozwiązaniami są wszystkie pary spełniające jedno z równań, np. $(1, 1)$ i $(3, 0)$. Sprzeczny: zostaje fałsz, np. $0 = 4$ dla $x + 2y = 3$ i $2x + 4y = 10$.

10.Liczba rozwiązań układu a współczynniki równań

Liczbę rozwiązań można ustalić bez rozwiązywania, porównując współczynniki. Gdy współczynniki przy $x$ i $y$ nie są proporcjonalne - układ oznaczony. Gdy jedno równanie powstaje z drugiego przez pomnożenie obu stron przez liczbę różną od zera - układ nieoznaczony. Gdy lewe strony są proporcjonalne, a wyrazy wolne nie - układ sprzeczny. Przykłady z równaniem $3x - 6y = 9$: z $x - 2y = 3$ tworzy układ nieoznaczony (pierwsze to drugie pomnożone przez 3); z $x - 2y = 5$ - układ sprzeczny (bo $9 \neq 3 \cdot 5$); z $x + 2y = 3$ - układ oznaczony o rozwiązaniu $x = 3$, $y = 0$.

11.Układanie układu równań do zadania tekstowego - zadania o monetach i banknotach

Etapy: 1) oznacz niewiadome i zapisz, co znaczą; 2) ułóż dwa równania - tu jedno o liczbie sztuk, drugie o wartości; 3) rozwiąż układ; 4) sprawdź wynik z TREŚCIĄ zadania; 5) zapisz odpowiedź. Przykład: w skarbonce jest 30 monet dwuzłotowych i pięciozłotowych o łącznej wartości 96 zł. $x$ - liczba dwuzłotówek, $y$ - pięciozłotówek. Układ: $x + y = 30$ i $2x + 5y = 96$. Z pierwszego $x = 30 - y$, więc $2(30 - y) + 5y = 96$, $3y = 36$, $y = 12$, $x = 18$. Sprawdzenie: $18 + 12 = 30$ monet i $2 \cdot 18 + 5 \cdot 12 = 96$ zł. Typowy błąd: pomylenie liczby monet z ich wartością.

12.Zadania o wieku

Niewiadome to wiek osób DZIŚ. Wiek „za $k$ lat” zapisujesz jako $x + k$, a „$k$ lat temu” jako $x - k$ - dla KAŻDEJ osoby. Różnica wieku dwóch osób nigdy się nie zmienia. Przykład: ojciec jest dziś 4 razy starszy od syna, a za 20 lat będzie od niego 2 razy starszy. Niech $x$ - wiek syna, $y$ - wiek ojca. Układ: $y = 4x$ i $y + 20 = 2(x + 20)$. Podstawiamy: $4x + 20 = 2x + 40$, $2x = 20$, $x = 10$, $y = 40$. Sprawdzenie: $40 = 4 \cdot 10$; za 20 lat ojciec ma 60 lat, syn 30 lat i $60 = 2 \cdot 30$. Typowy błąd: dodanie lat tylko jednej osobie, np. $y + 20 = 2x$.

13.Zadania o liczbach i cyfrach

Liczbę dwucyfrową o cyfrze dziesiątek $a$ i cyfrze jedności $b$ zapisujemy jako $10a + b$. Po przestawieniu cyfr powstaje liczba $10b + a$. Cyfra $a$ jest od 1 do 9, cyfra $b$ od 0 do 9. Przykład: suma cyfr liczby dwucyfrowej wynosi 11, a po przestawieniu cyfr powstaje liczba o 27 większa. Układ: $a + b = 11$ i $10b + a = 10a + b + 27$. Z drugiego: $9b - 9a = 27$, czyli $b - a = 3$. Dodajemy stronami do pierwszego: $2b = 14$, $b = 7$, $a = 4$. Szukana liczba to 47. Sprawdzenie: $4 + 7 = 11$ i $74 - 47 = 27$. Typowy błąd: zapis liczby jako $a \cdot b$ zamiast $10a + b$.

14.Zadania o mieszaninach i stężeniach

Masa substancji rozpuszczonej = stężenie $\cdot$ masa roztworu. Przy mieszaniu układasz dwa równania: bilans masy roztworów i bilans masy substancji. Przykład: ile roztworu 10% i ile roztworu 30% trzeba zmieszać, aby otrzymać 400 g roztworu 15%? $x$, $y$ - masy roztworów w gramach. Układ: $x + y = 400$ i $0{,}1x + 0{,}3y = 0{,}15 \cdot 400 = 60$. Drugie równanie mnożymy przez 10: $x + 3y = 600$. Odejmujemy pierwsze: $2y = 200$, $y = 100$, $x = 300$. Sprawdzenie: $30 + 30 = 60$ g substancji w 400 g roztworu, czyli 15%. Typowy błąd: dodawanie stężeń zamiast mas substancji.

15.Zadania o pracy - wydajność i praca wspólna

Całą pracę przyjmujemy za 1. Wydajność to część pracy na jednostkę czasu: kto sam wykonuje pracę w $t$ godzin, ma wydajność $\frac{1}{t}$. Przy pracy wspólnej DODAJEMY wydajności, nie czasy. Przykład: dwie pompy razem napełniają zbiornik w 4 h. Gdy pierwsza pracuje 3 h, a druga 6 h, zbiornik też jest pełny. Niech $a$, $b$ - wydajności pomp. Układ: $4a + 4b = 1$ i $3a + 6b = 1$. Z pierwszego $a = \frac{1}{4} - b$, więc $\frac{3}{4} - 3b + 6b = 1$, $b = \frac{1}{12}$, $a = \frac{1}{6}$. Pierwsza pompa sama potrzebuje 6 h, druga 12 h. Sprawdzenie: $\frac{4}{6} + \frac{4}{12} = 1$.

16.Zadania geometryczne z układem równań (obwód i pole)

Niewiadome to długości odcinków, a równania wynikają ze wzorów na obwód i pole. Przykład: prostokąt ma obwód 40 cm. Gdy jego długość zwiększymy o 4 cm, a szerokość zmniejszymy o 2 cm, pole się nie zmieni. Niech $x$ - długość, $y$ - szerokość w cm. Układ: $2x + 2y = 40$ i $(x + 4)(y - 2) = x \cdot y$. Po wymnożeniu: $x \cdot y - 2x + 4y - 8 = x \cdot y$, czyli $-x + 2y = 4$ - iloczyn $x \cdot y$ się redukuje. Z pierwszego równania $x + y = 20$; dodajemy stronami: $3y = 24$, $y = 8$, $x = 12$. Sprawdzenie: pola $12 \cdot 8 = 96$ i $16 \cdot 6 = 96$. Długości muszą wyjść dodatnie.

17.Proporcja i jej własność

Proporcja to równość dwóch ilorazów: $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$. Liczby $a$ i $d$ to wyrazy skrajne, $b$ i $c$ - wyrazy środkowe. Własność proporcji: iloczyn wyrazów skrajnych jest równy iloczynowi wyrazów środkowych, $a \cdot d = b \cdot c$ (mnożenie „na krzyż”). Przykład 1: $\frac{x}{12} = \frac{5}{8}$ daje $8x = 60$, $x = 7{,}5$. Przykład 2: $\frac{x + 1}{3} = \frac{x - 2}{2}$ daje $2(x + 1) = 3(x - 2)$, czyli $2x + 2 = 3x - 6$, $x = 8$; sprawdzenie: $\frac{9}{3} = \frac{6}{2}$. Typowy błąd: mnożenie na krzyż, gdy po jednej stronie stoi suma, np. $\frac{x}{2} + 1 = \frac{x}{3}$.

18.Wielkości wprost proporcjonalne (proporcjonalność prosta)

Dwie wielkości są wprost proporcjonalne, gdy wzrost jednej pewną liczbę razy powoduje wzrost drugiej tyle samo razy. Ich iloraz jest stały: $\frac{y}{x} = a$, czyli $y = a \cdot x$; liczba $a$ to współczynnik proporcjonalności. Przykłady: koszt i liczba sztuk przy stałej cenie, droga i czas przy stałej prędkości, obwód kwadratu i długość boku. Przykład: 6 zeszytów kosztuje 21 zł. Ile kosztuje 10? Z proporcji $\frac{21}{6} = \frac{x}{10}$ mamy $6x = 210$, $x = 35$ zł (jeden zeszyt kosztuje $3{,}5$ zł). Pułapka: pole kwadratu i długość boku NIE są wprost proporcjonalne.

19.Podział proporcjonalny

Podzielić wielkość w stosunku $a : b : c$ to rozdzielić ją na części proporcjonalne do liczb $a$, $b$, $c$. Metoda: 1) policz liczbę równych części: $a + b + c$; 2) oblicz wartość jednej części; 3) pomnóż ją przez $a$, $b$ i $c$. Przykład: 360 zł dzielimy w stosunku $2 : 3 : 4$. Części jest $2 + 3 + 4 = 9$, jedna to $360 : 9 = 40$ zł, więc kwoty wynoszą 80 zł, 120 zł i 160 zł. Odwrotnie: liczby są w stosunku $3 : 5$, a ich różnica to 14. Różnica to $5 - 3 = 2$ części, jedna część to 7, więc liczby to 21 i 35. Typowy błąd: dzielenie przez $a$ zamiast przez sumę części.

20.Wielkości odwrotnie proporcjonalne (proporcjonalność odwrotna)

Dwie wielkości są odwrotnie proporcjonalne, gdy wzrost jednej pewną liczbę razy powoduje zmniejszenie drugiej tyle samo razy. Ich iloczyn jest stały: $x \cdot y = k$, czyli $y = \frac{k}{x}$. Przykłady: prędkość i czas przejazdu tej samej drogi, liczba pracowników i liczba dni tej samej pracy, boki prostokąta o stałym polu. Przykład: jadąc 60 km/h, kierowca pokonuje trasę w 4 godziny. A przy 80 km/h? Iloczyn jest stały: $60 \cdot 4 = 80 \cdot t$, więc $t = 240 : 80 = 3$ godziny. Typowy błąd: zwykła proporcja $\frac{60}{4} = \frac{80}{t}$ - daje ona dłuższy czas przy szybszej jeździe.

21.Rozpoznawanie proporcjonalności prostej i odwrotnej; liczba pracowników i dni

Zapytaj: gdy jedna wielkość rośnie kilka razy, co dzieje się z drugą? Rośnie tyle samo razy - proporcjonalność prosta (stały iloraz). Maleje tyle samo razy - proporcjonalność odwrotna (stały iloczyn). Inaczej - żadna z nich. W zadaniach o pracy łączna praca to liczba pracowników $\cdot$ liczba dni (przy równej wydajności). Przykład: 6 robotników wykonuje pracę w 15 dni. Ilu trzeba na 9 dni? Praca to $6 \cdot 15 = 90$ roboczodni, więc potrzeba $90 : 9 = 10$ robotników. Trudniej: 4 maszyny w 6 h dają 480 części, więc jedna w godzinę $480 : 24 = 20$; 5 maszyn w 8 h da $5 \cdot 8 \cdot 20 = 800$.

22.Prędkość, droga, czas - wzór $s = v \cdot t$

W ruchu ze stałą prędkością droga to iloczyn prędkości i czasu: $s = v \cdot t$. Po przekształceniu $v = \frac{s}{t}$ oraz $t = \frac{s}{v}$. Jednostki muszą do siebie pasować: prędkość w km/h, czas w godzinach, droga w km (albo m/s, sekundy, metry). Przykład: rowerzysta jedzie 18 km/h. W ciągu 40 minut, czyli $\frac{2}{3}$ godziny, przejedzie $18 \cdot \frac{2}{3} = 12$ km. Trasę 27 km pokona w czasie $27 : 18 = 1{,}5$ godziny, czyli w 1 godzinę 30 minut. Typowy błąd: wstawienie czasu w minutach do wzoru z prędkością w km/h.

23.Zamiana jednostek prędkości: km/h i m/s

Ponieważ 1 km to 1000 m, a 1 h to 3600 s, mamy $1~\mathrm{km/h} = \frac{1000}{3600}~\mathrm{m/s} = \frac{1}{3{,}6}~\mathrm{m/s}$, a $1~\mathrm{m/s} = 3{,}6~\mathrm{km/h}$. Reguła: z km/h na m/s DZIELISZ przez 3,6; z m/s na km/h MNOŻYSZ przez 3,6. Przykłady: 72 km/h to $72 : 3{,}6 = 20$ m/s; 15 m/s to $15 \cdot 3{,}6 = 54$ km/h. Warto pamiętać: 36 km/h to 10 m/s, 90 km/h to 25 m/s, 108 km/h to 30 m/s. Kontrola wyniku: ta sama prędkość wyrażona w km/h ma zawsze większą liczbę niż w m/s. Typowy błąd: pomnożenie zamiast podzielenia.

24.Prędkość średnia

Prędkość średnia to CAŁA droga podzielona przez CAŁY czas, razem z postojami: $v_{\text{śr}} = \frac{s_1 + s_2}{t_1 + t_2}$. Nie jest średnią arytmetyczną prędkości - chyba że oba odcinki trwały tyle samo czasu. Przykład: 120 km w jedną stronę z prędkością 60 km/h i 120 km z powrotem z prędkością 40 km/h. Czasy: $120 : 60 = 2$ h i $120 : 40 = 3$ h. Prędkość średnia: $\frac{240}{5} = 48$ km/h, a nie 50 km/h. Wynik jest bliższy mniejszej prędkości, bo wolniejsza jazda trwała dłużej. Gdy nie podano długości trasy, przyjmij wygodną liczbę - wynik od niej nie zależy.

25.Ruch naprzeciw siebie - spotkanie

Gdy dwa obiekty zbliżają się do siebie z przeciwnych kierunków, odległość między nimi maleje z prędkością równą SUMIE ich prędkości. Czas do spotkania: $t = \frac{s}{v_1 + v_2}$, gdzie $s$ to odległość początkowa. Przykład: z miast odległych o 210 km wyjeżdżają jednocześnie naprzeciw siebie samochód (80 km/h) i motocykl (60 km/h). Zbliżają się o $80 + 60 = 140$ km na godzinę, spotkają się po $210 : 140 = 1{,}5$ h. Samochód przejedzie $80 \cdot 1{,}5 = 120$ km, motocykl 90 km; razem 210 km. Gdy jeden wyrusza wcześniej, najpierw odejmij drogę, którą pokonał sam.

26.Ruch w tym samym kierunku - doganianie

Gdy szybszy obiekt goni wolniejszy, odległość między nimi maleje z prędkością równą RÓŻNICY prędkości. Czas doganiania: $t = \frac{d}{v_1 - v_2}$, gdzie $d$ to początkowa przewaga wolniejszego. Przykład: rowerzysta wyjechał o 8:00 z prędkością 15 km/h. O 10:00 z tego samego miejsca ruszył za nim motocyklista (45 km/h). Przewaga rowerzysty: $15 \cdot 2 = 30$ km. Odległość maleje o $45 - 15 = 30$ km na godzinę, więc dogoni go po 1 godzinie, o 11:00, 45 km od startu. Rowerzysta w 3 h też przejedzie $15 \cdot 3 = 45$ km. Typowy błąd: dzielenie przewagi przez sumę prędkości.

27.Ruch z prądem i pod prąd rzeki

$v$ - prędkość własna łodzi (w stojącej wodzie), $u$ - prędkość prądu. Z prądem łódź płynie z prędkością $v + u$, pod prąd z prędkością $v - u$. Prędkość własna to średnia arytmetyczna tych prędkości, a prędkość prądu - połowa ich różnicy. Tratwa bez napędu płynie z prędkością prądu. Przykład: statek płynie 60 km z prądem 3 godziny, a z powrotem 5 godzin. Prędkości: $60 : 3 = 20$ km/h i $60 : 5 = 12$ km/h. Układ: $v + u = 20$ i $v - u = 12$. Dodajemy stronami: $2v = 32$, $v = 16$ km/h, więc $u = 4$ km/h. Typowy błąd: odjęcie prędkości prądu przy ruchu z prądem.

28.Mijanie się pociągów i przejazd przez most

Pociąg o długości $d$ przejedzie cały most o długości $m$ po pokonaniu drogi $d + m$ (od wjazdu lokomotywy do zjazdu ostatniego wagonu). Dwa pociągi mijają się na drodze równej sumie ich długości: naprzeciw siebie z sumą prędkości, przy wyprzedzaniu z różnicą. Przykład 1: pociąg długości 200 m jedzie 72 km/h, czyli 20 m/s, przez most długości 400 m. Czas: $(200 + 400) : 20 = 30$ s. Przykład 2: pociągi długości 150 m i 250 m jadą naprzeciw siebie z prędkościami 20 m/s i 30 m/s. Mijanie trwa $(150 + 250) : (20 + 30) = 8$ s.

29.Obliczenia zegarowe: zamiana jednostek czasu

1 h = 60 min = 3600 s, 1 doba = 24 h = 1440 min, 1 tydzień = 7 dób = 168 h. Godzina dzieli się na 60, a nie na 100 części, więc część dziesiętna godziny to NIE minuty: $0{,}1$ h to 6 min, $0{,}25$ h to 15 min, $0{,}75$ h to 45 min. Przykłady: $2{,}4$ h to 2 h i $0{,}4 \cdot 60 = 24$ min; 50 min to $\frac{50}{60} = \frac{5}{6}$ h; 1 h 12 min to $1{,}2$ h. Odejmowanie z pożyczką: od 9:40 do 14:15 mija 13 h 75 min - 9 h 40 min = 4 h 35 min. Typowe błędy: zapis 1 h 30 min jako $1{,}3$ h (poprawnie $1{,}5$ h) oraz $2{,}25$ h jako 2 h 25 min (poprawnie 2 h 15 min).

30.Prędkość kątowa wskazówek zegara

Tarcza zegara to kąt pełny $360^\circ$, więc między sąsiednimi liczbami jest $360^\circ : 12 = 30^\circ$. Wskazówka minutowa obiega tarczę w 60 minut: $360^\circ : 60 = 6^\circ$ na minutę. Godzinowa pokonuje $30^\circ$ w 60 minut: $0{,}5^\circ$ na minutę. Minutowa zbliża się do godzinowej (albo oddala od niej) o $6^\circ - 0{,}5^\circ = 5{,}5^\circ$ na minutę. Przykład: w 20 minut minutowa obraca się o $20 \cdot 6^\circ = 120^\circ$, a godzinowa o $20 \cdot 0{,}5^\circ = 10^\circ$. Typowy błąd: założenie, że godzinowa stoi w miejscu między pełnymi godzinami.

31.Kąt między wskazówkami zegara

Metoda dla godziny $h$ (od 1 do 12) i $m$ minut: 1) położenie wskazówki godzinowej, liczone od dwunastki: $30^\circ \cdot h + 0{,}5^\circ \cdot m$; 2) położenie minutowej: $6^\circ \cdot m$; 3) kąt to większe położenie minus mniejsze; 4) gdy wyjdzie ponad $180^\circ$, odejmij wynik od $360^\circ$ - zwykle pytamy o mniejszy kąt. Przykład: 7:20. Godzinowa: $7 \cdot 30^\circ + 20 \cdot 0{,}5^\circ = 220^\circ$. Minutowa: $20 \cdot 6^\circ = 120^\circ$. Kąt: $220^\circ - 120^\circ = 100^\circ$. O 3:30 godzinowa jest na $105^\circ$, minutowa na $180^\circ$, kąt to $75^\circ$, a nie $90^\circ$.

32.Kiedy wskazówki zegara się pokrywają albo tworzą kąt prosty

To zadanie o doganianiu: wskazówka minutowa goni godzinową z prędkością $5{,}5^\circ$ na minutę. Czas = kąt do nadrobienia podzielony przez $5{,}5^\circ$. Przykład: kiedy między 3:00 a 4:00 wskazówki się pokryją? O 3:00 godzinowa wyprzedza minutową o $90^\circ$. Czas: $90 : 5{,}5 = \frac{180}{11} = 16\frac{4}{11}$ minuty po godzinie 3:00. Pierwszy kąt prosty po 12:00: minutowa ma wyprzedzić godzinową o $90^\circ$ - też po $16\frac{4}{11}$ minuty. Wskazówki pokrywają się co $360 : 5{,}5 = 65\frac{5}{11}$ minuty - w ciągu 12 godzin 11 razy, a nie 12.

33.Zegar spieszący się i spóźniający

Zegar, który spieszy się (albo spóźnia) o stałą liczbę minut na godzinę lub dobę, ma błąd wprost proporcjonalny do czasu od nastawienia. Metoda: 1) oblicz, ile czasu RZECZYWISTEGO minęło; 2) pomnóż go przez błąd na godzinę (dobę); 3) spieszący się pokazuje godzinę późniejszą, spóźniający się - wcześniejszą. Przykład: zegar spóźnia się 2 minuty na godzinę; nastawiono go o 8:00. O 20:00 minęło 12 godzin, spóźnienie to $12 \cdot 2 = 24$ minuty, zegar pokazuje 19:36. Dwa zegary: jeden spieszy się 3 minuty na dobę, drugi spóźnia się 2 - różnica wskazań rośnie o $3 + 2 = 5$ minut na dobę.

34.Rok przestępny

Rok zwykły ma 365 dni, a rok przestępny 366 dni - dodatkowym dniem jest 29 lutego. Reguła: rok jest przestępny, gdy jego numer dzieli się przez 4, z wyjątkiem lat podzielnych przez 100 i niepodzielnych przez 400. Sprawdzaj po kolei: 1) dzieli się przez 400 - przestępny; 2) dzieli się przez 100 - zwykły; 3) dzieli się przez 4 - przestępny; 4) w pozostałych przypadkach - zwykły. Przykłady: 2016, 2000 i 1600 - przestępne; 1900, 1800 i 1700 - zwykłe (dzielą się przez 100, ale nie przez 400); 2018 - zwykły. Typowy błąd: uznanie roku 1900 za przestępny, bo $1900 : 4 = 475$.

35.Obliczenia kalendarzowe: liczba dni miesięcy

31 dni mają: styczeń, marzec, maj, lipiec, sierpień, październik i grudzień. 30 dni mają: kwiecień, czerwiec, wrzesień i listopad. Luty ma 28 dni, a w roku przestępnym 29. Rok zwykły: $7 \cdot 31 + 4 \cdot 30 + 28 = 365$ dni. Lipiec i sierpień to sąsiednie miesiące po 31 dni, tak samo grudzień i styczeń. Liczenie dni między datami: od 15 marca do 20 maja mija $16 + 30 + 20 = 66$ dni (16 dni do końca marca, cały kwiecień i 20 dni maja). Typowy błąd: policzenie obu dat granicznych - ustal, czy pytają, ile dni MIJA, czy ile dni coś TRWA razem z pierwszym dniem.

36.Dzień tygodnia po upływie $n$ dni - reszta z dzielenia przez 7

Dni tygodnia powtarzają się co 7 dni, więc liczy się tylko reszta z dzielenia liczby dni przez 7. Metoda: podziel $n$ przez 7 i przesuń dzień tygodnia do przodu o resztę. Przykład: dziś jest środa. Jaki dzień tygodnia będzie za 100 dni? $100 = 14 \cdot 7 + 2$, reszta 2, więc będzie piątek. Wstecz - przesuwasz do tyłu. Rok zwykły ma $365 = 52 \cdot 7 + 1$ dni, więc ta sama data rok później wypada o 1 dzień tygodnia dalej; gdy między datami jest 29 lutego - o 2 dni dalej, bo $366 = 52 \cdot 7 + 2$. Typowy błąd: przesunięcie o iloraz zamiast o resztę.

37.Daty i wieki

Wiek (stulecie) to 100 lat. Pierwszy wiek to lata 1-100, więc wiek XX to lata 1901-2000, a wiek XXI zaczął się 1 stycznia 2001 roku. Reguła: gdy rok nie kończy się na 00, weź liczbę pełnych setek i dodaj 1 (rok 1795: 17 setek, wiek XVIII); gdy kończy się na 00, numerem wieku jest liczba setek (rok 1900: wiek XIX). Pierwsza połowa XIX wieku to lata 1801-1850, druga - lata 1851-1900. Liczbę lat między datami obliczasz przez odejmowanie: od roku 1410 do roku 1918 minęło $1918 - 1410 = 508$ lat. Typowy błąd: uznanie roku 1900 za początek XX wieku.

38.Obliczenia procentowe: podwyżki i obniżki

Podwyżka o $p\%$ to pomnożenie przez $1 + \frac{p}{100}$, a obniżka o $p\%$ - przez $1 - \frac{p}{100}$. Kolejne zmiany MNOŻYMY, bo każda liczona jest od nowej ceny. Przykład: cenę 200 zł podniesiono o 20%, a potem obniżono o 20%. Wynik: $200 \cdot 1{,}2 \cdot 0{,}8 = 192$ zł - mniej niż na początku. Dwie podwyżki po 10% dają mnożnik $1{,}1 \cdot 1{,}1 = 1{,}21$, czyli wzrost o 21%, a nie o 20%. Cena przed zmianą: jeśli po obniżce o 25% towar kosztuje 150 zł, to $0{,}75 \cdot x = 150$ i $x = 200$ zł. Typowy błąd: doliczenie 25% do ceny po obniżce ($187{,}50$ zł).

39.Punkty procentowe i stężenie procentowe

Punkt procentowy to jednostka RÓŻNICY dwóch wielkości podanych w procentach. Wzrost z 20% do 25% to wzrost o 5 punktów procentowych, ale o 25 procent, bo $\frac{25 - 20}{20} = \frac{1}{4}$. Stężenie procentowe roztworu to stosunek masy substancji do masy CAŁEGO roztworu (substancja + woda): $c = \frac{m_s}{m_r} \cdot 100\%$. Przykład: 20 g soli i 180 g wody dają 200 g roztworu o stężeniu $\frac{20}{200} = 10\%$. Po dolaniu 200 g wody: soli nadal 20 g, roztworu 400 g, stężenie 5% - spadek o 5 punktów procentowych. Typowy błąd: dzielenie masy soli przez masę samej wody.

40.Strategie rozwiązywania zadań tekstowych

1) Analiza danych: wypisz dane i szukane, sprawdź jednostki. 2) Rysunek: w zadaniach o ruchu oś z miejscami startu i spotkania, w geometrycznych figura. 3) Tabela: w zadaniach o wieku (dziś, za kilka lat), o ruchu (prędkość, czas, droga), o mieszaninach (masa roztworu, stężenie, masa substancji). 4) Model: oznacz niewiadome, ułóż równanie albo układ równań. 5) Sprawdzenie wyniku z warunkami zadania, nie tylko z równaniem: czy liczba osób jest całkowita, czas dodatni, cyfra od 0 do 9? 6) Odpowiedź z jednostką na zadane pytanie (częsty błąd: podanie $x$, gdy pytano o $y$).