Pomorski Wojewódzki Konkurs z Matematyki - potęgi i wzory skróconego mnożenia

1.Potęga o wykładniku naturalnym: $a^n$

Potęga $a^n$ o wykładniku naturalnym $n \geq 1$ to iloczyn $n$ jednakowych czynników równych $a$: $a^n = a \cdot a \cdot \ldots \cdot a$. Liczba $a$ to podstawa, $n$ to wykładnik, a $a^1 = a$. Przykład: $\left(\frac{2}{3}\right)^3 = \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{8}{27}$. Potęga liczby ujemnej jest dodatnia przy wykładniku parzystym i ujemna przy nieparzystym: $(-2)^4 = 16$, $(-2)^3 = -8$. Typowy błąd: mylenie $(-2)^4$ z $-2^4$. Bez nawiasu potęgujemy tylko liczbę $2$, więc $-2^4 = -16$.

2.Iloczyn potęg o tych samych podstawach: $a^m \cdot a^n$

Mnożąc potęgi o tych samych podstawach, podstawę przepisujemy, a wykładniki dodajemy: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. Uzasadnienie: $a^2 \cdot a^3 = (a \cdot a) \cdot (a \cdot a \cdot a) = a^5$. Przykład: $2^3 \cdot 2^4 \cdot 2 = 2^{3+4+1} = 2^8 = 256$ (pamiętaj, że $2 = 2^1$). Wzór działa tylko dla mnożenia i tylko przy jednakowych podstawach. Typowe błędy: mnożenie wykładników ($2^3 \cdot 2^4 \neq 2^{12}$) oraz stosowanie wzoru do sumy - $2^3 + 2^4 = 8 + 16 = 24$, a nie $2^7$.

3.Iloraz potęg o tych samych podstawach: $a^m : a^n$

Dzieląc potęgi o tych samych podstawach ($a \neq 0$), podstawę przepisujemy, a wykładniki odejmujemy: $a^m : a^n = \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$. Uzasadnienie: w ułamku $\frac{a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a}{a \cdot a}$ dwa czynniki się skracają i zostaje $a^3$, czyli $a^{5-2}$. Przykład: $\frac{3^7 \cdot 3^5}{3^9} = \frac{3^{12}}{3^9} = 3^3 = 27$. Typowy błąd: dzielenie wykładników, np. $5^8 : 5^2 = 5^4$ - poprawnie $5^8 : 5^2 = 5^6$.

4.Potęga potęgi: $(a^m)^n$

Podnosząc potęgę do potęgi, podstawę przepisujemy, a wykładniki mnożymy: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$. Uzasadnienie: $(a^2)^3 = a^2 \cdot a^2 \cdot a^2 = a^{2+2+2} = a^6$. Przykład: $(2^3)^4 = 2^{12} = 4096$. Wzór pozwala sprowadzać potęgi do wspólnej podstawy: $8^5 = (2^3)^5 = 2^{15}$, $27^4 = (3^3)^4 = 3^{12}$. Typowy błąd: dodawanie wykładników, czyli mylenie z iloczynem potęg - $(2^3)^4$ to nie jest $2^7$. Uwaga na zapis bez nawiasu: $2^{3^2} = 2^9 = 512$, a $(2^3)^2 = 2^6 = 64$.

5.Potęga iloczynu i ilorazu: $(a \cdot b)^n$ oraz $\left(\frac{a}{b}\right)^n$

Potęga iloczynu: $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$. Potęga ilorazu: $\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$ dla $b \neq 0$. Czytane od prawej to wzory na mnożenie i dzielenie potęg o różnych podstawach i jednakowych wykładnikach. Przykłady: $(2x)^3 = 2^3 \cdot x^3 = 8x^3$; $2^5 \cdot 5^5 = (2 \cdot 5)^5 = 10^5$; $\frac{12^4}{6^4} = \left(\frac{12}{6}\right)^4 = 2^4 = 16$. Typowe błędy: potęgowanie tylko jednego czynnika, np. $(2x)^3 = 2x^3$, oraz przenoszenie wzoru na sumę - $(a + b)^n$ to nie jest $a^n + b^n$.

6.Porównywanie potęg

Porównywanie potęg ułatwia sprowadzenie ich do tej samej podstawy albo do tego samego wykładnika. Przy podstawie większej od $1$ większa jest potęga o większym wykładniku. Przy tym samym dodatnim wykładniku i dodatnich podstawach większa jest potęga o większej podstawie. Przykład 1: $4^{15} = (2^2)^{15} = 2^{30}$ i $8^{11} = (2^3)^{11} = 2^{33}$, więc $4^{15} < 8^{11}$. Przykład 2: $2^{30} = (2^3)^{10} = 8^{10}$ i $3^{20} = (3^2)^{10} = 9^{10}$, więc $2^{30} < 3^{20}$. Uwaga: przy podstawie między $0$ a $1$ jest odwrotnie, np. $\left(\frac{1}{2}\right)^5 < \left(\frac{1}{2}\right)^3$.

7.Potęga o wykładniku całkowitym niedodatnim - wykładnik zero: $a^0 = 1$

Wykładnik całkowity niedodatni to wykładnik zero albo wykładnik ujemny. Dla każdej liczby $a \neq 0$ przyjmujemy $a^0 = 1$. Uzasadnienie: wzór na iloraz potęg ma działać także dla równych wykładników, a $\frac{a^3}{a^3} = 1$ i jednocześnie $\frac{a^3}{a^3} = a^{3-3} = a^0$. Przykłady: $7^0 = 1$, $(-5)^0 = 1$, $\left(\frac{2}{3}\right)^0 = 1$. Symbolu $0^0$ nie określamy. Typowe błędy: $a^0 = 0$ albo $a^0 = a$. Uwaga na nawiasy i kolejność działań: $-5^0 = -1$, bo potęgujemy tylko liczbę $5$, a $3 \cdot 4^0 = 3 \cdot 1 = 3$.

8.Potęga o wykładniku całkowitym ujemnym: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$

Dla $a \neq 0$ i naturalnego $n \geq 1$: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, czyli potęga o wykładniku ujemnym to odwrotność potęgi o wykładniku przeciwnym. Uzasadnienie: $\frac{a^2}{a^5} = \frac{1}{a^3}$, a ze wzoru na iloraz potęg $\frac{a^2}{a^5} = a^{2-5} = a^{-3}$. Przykłady: $2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$; $10^{-2} = \frac{1}{100} = 0{,}01$; $5^{-1} = \frac{1}{5}$; $(-2)^{-3} = \frac{1}{(-2)^3} = -\frac{1}{8}$. Typowy błąd: uznanie, że minus w wykładniku zmienia znak liczby - $2^{-3}$ to nie jest $-8$ ani $-6$.

9.Potęga ułamka o wykładniku ujemnym: $\left(\frac{a}{b}\right)^{-n}$

Dla $a \neq 0$ i $b \neq 0$: $\left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^n$ - odwracamy ułamek i zmieniamy znak wykładnika, bo $\left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \frac{1}{\left(\frac{a}{b}\right)^n} = \frac{b^n}{a^n}$. Przykłady: $\left(\frac{2}{3}\right)^{-2} = \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4}$; $(0{,}2)^{-3} = \left(\frac{1}{5}\right)^{-3} = 5^3 = 125$. Liczbę mieszaną najpierw zamień na ułamek niewłaściwy: $\left(1\frac{1}{2}\right)^{-2} = \left(\frac{3}{2}\right)^{-2} = \frac{4}{9}$. Typowy błąd: zmiana znaku wyniku zamiast odwrócenia ułamka.

10.Działania na potęgach o wykładnikach całkowitych

Wzory na potęgi działają także dla wykładników zerowych i ujemnych (podstawy różne od zera): $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, $a^m : a^n = a^{m-n}$, $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$. Przykłady: $3^{-5} \cdot 3^7 = 3^2 = 9$; $2^3 : 2^{-2} = 2^{3-(-2)} = 2^5 = 32$; $(2^{-3})^{-2} = 2^6 = 64$; $(5^{-1})^2 = 5^{-2} = \frac{1}{25}$. Typowy błąd: zgubienie znaku przy odejmowaniu ujemnego wykładnika - $2^3 : 2^{-2}$ to nie jest $2^1$, bo $3 - (-2) = 5$.

11.Potęgi o wykładniku ujemnym w ułamku: przenoszenie czynników

Skoro $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, to także $\frac{1}{a^{-n}} = a^n$. Czynnik z ujemnym wykładnikiem można więc przenieść na drugą stronę kreski ułamkowej, zmieniając znak wykładnika. Przykład: $\frac{2^{-3} \cdot 5^2}{5^{-1} \cdot 2^2} = \frac{5^2 \cdot 5^1}{2^2 \cdot 2^3} = \frac{5^3}{2^5} = \frac{125}{32}$. Przenosić wolno tylko czynniki. Typowy błąd: przenoszenie składników sumy, np. $\frac{1}{2^{-1} + 3^{-1}} = 2 + 3$. Poprawnie: $2^{-1} + 3^{-1} = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{5}{6}$, więc $\frac{1}{2^{-1} + 3^{-1}} = \frac{6}{5}$.

12.Obliczanie wyrażeń z potęgami o wykładniku zerowym i ujemnym

Plan: 1) każdą potęgę o wykładniku ujemnym zamień na odwrotność, a potęgę o wykładniku zero na $1$; 2) wykonaj działania zgodnie z kolejnością działań. Przykład: $\left(\frac{1}{3}\right)^{-2} - 2^{-2} \cdot 8 + (-7)^0 = 9 - \frac{1}{4} \cdot 8 + 1 = 9 - 2 + 1 = 8$. Gdy podstawy są potęgami tej samej liczby, sprowadź je do niej: $4^{-3} \cdot 8^2 = (2^2)^{-3} \cdot (2^3)^2 = 2^{-6} \cdot 2^6 = 2^0 = 1$. Typowe błędy: $2^{-1} + 2^{-1} = 2^{-2}$ (poprawnie $\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$) oraz $(-3)^{-2} = -9$ (poprawnie $\frac{1}{9}$).

13.Notacja wykładnicza: $a \cdot 10^k$

Notacja wykładnicza to zapis liczby dodatniej w postaci $a \cdot 10^k$, gdzie $1 \leq a < 10$, a $k$ jest liczbą całkowitą. Duże liczby mają wykładnik dodatni: $384000 = 3{,}84 \cdot 10^5$ (przecinek przesunięty o $5$ miejsc w lewo). Liczby dodatnie mniejsze od $1$ mają ujemny wykładnik liczby $10$: $0{,}00072 = 7{,}2 \cdot 10^{-4}$ (przecinek przesunięty o $4$ miejsca w prawo). Typowy błąd: czynnik spoza zakresu, np. $38{,}4 \cdot 10^4$ albo $0{,}72 \cdot 10^{-3}$ - wartości są poprawne, ale to nie jest notacja wykładnicza.

14.Działania na liczbach w notacji wykładniczej

Mnożąc lub dzieląc liczby w notacji wykładniczej, osobno działamy na czynnikach liczbowych i osobno na potęgach liczby $10$, a na końcu poprawiamy zapis tak, by czynnik spełniał $1 \leq a < 10$. Przykład 1: $(4 \cdot 10^5) \cdot (3 \cdot 10^{-2}) = 12 \cdot 10^3 = 1{,}2 \cdot 10^4$. Przykład 2: $\frac{3{,}6 \cdot 10^{-3}}{9 \cdot 10^4} = 0{,}4 \cdot 10^{-7} = 4 \cdot 10^{-8}$. Przy dodawaniu najpierw ujednolicamy potęgi: $3 \cdot 10^4 + 5 \cdot 10^3 = 30 \cdot 10^3 + 5 \cdot 10^3 = 3{,}5 \cdot 10^4$. Typowy błąd: pozostawienie wyniku w postaci $12 \cdot 10^3$.

15.Pierwiastek kwadratowy: $\sqrt{a}$

Pierwiastek kwadratowy z liczby $a \geq 0$ to taka liczba nieujemna $b$, że $b^2 = a$. Przykłady: $\sqrt{49} = 7$; $\sqrt{0{,}09} = 0{,}3$; $\sqrt{2\frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2}$ (liczbę mieszaną zamień najpierw na ułamek niewłaściwy). Dla $a \geq 0$ zachodzi $(\sqrt{a})^2 = a$. Typowe błędy: $\sqrt{16} = \pm 4$ (pierwiastek to tylko $4$); $\sqrt{9 + 16} = 3 + 4$ (poprawnie $\sqrt{25} = 5$); $\sqrt{(-3)^2} = -3$ (poprawnie $\sqrt{9} = 3$).

16.Pierwiastek sześcienny: $\sqrt[3]{a}$

Pierwiastek sześcienny z liczby $a \geq 0$ to taka liczba nieujemna $b$, że $b^3 = a$. Przykłady: $\sqrt[3]{64} = 4$; $\sqrt[3]{0{,}008} = 0{,}2$; $\sqrt[3]{\frac{27}{125}} = \frac{3}{5}$; $\sqrt[3]{3\frac{3}{8}} = \sqrt[3]{\frac{27}{8}} = \frac{3}{2}$. Warto znać na pamięć sześciany liczb od $1$ do $10$: $1$, $8$, $27$, $64$, $125$, $216$, $343$, $512$, $729$, $1000$. Pierwiastek sześcienny z liczby ujemnej też istnieje: $\sqrt[3]{-8} = -2$, bo $(-2)^3 = -8$. Typowe błędy: mylenie stopni, np. $\sqrt[3]{64} = 8$ (to wynik $\sqrt{64}$), oraz dzielenie przez $3$, np. $\sqrt[3]{27} = 9$.

17.Pierwiastek z iloczynu i ilorazu

Dla $a \geq 0$ i $b \geq 0$: $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$, a dla $b > 0$: $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$. Te same wzory działają dla pierwiastków sześciennych. Czytane od prawej to mnożenie i dzielenie pierwiastków tego samego stopnia. Przykłady: $\sqrt{0{,}04 \cdot 81} = 0{,}2 \cdot 9 = 1{,}8$; $\sqrt{3} \cdot \sqrt{12} = \sqrt{36} = 6$; $\frac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}} = \sqrt{25} = 5$; $\sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{4} = \sqrt[3]{8} = 2$. Typowy błąd: rozdzielanie sumy lub różnicy - $\sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8$, a nie $10 - 6 = 4$.

18.Wyłączanie czynnika przed znak pierwiastka

Liczbę pod pierwiastkiem zapisujemy jako iloczyn, w którym jeden czynnik jest możliwie największym kwadratem (przy pierwiastku sześciennym - sześcianem), i ten czynnik pierwiastkujemy: $\sqrt{a^2 \cdot b} = a\sqrt{b}$ dla $a \geq 0$, $b \geq 0$. Przykłady: $\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}$; $\sqrt[3]{54} = \sqrt[3]{27 \cdot 2} = 3\sqrt[3]{2}$. Dzięki temu można dodawać pierwiastki: $\sqrt{50} + \sqrt{18} = 5\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = 8\sqrt{2}$. Typowy błąd: za mały kwadrat, np. $\sqrt{72} = 3\sqrt{8}$ - równość jest prawdziwa, ale pierwiastek nie jest uproszczony do końca.

19.Włączanie czynnika pod pierwiastek

Włączanie pod pierwiastek to działanie odwrotne do wyłączania: nieujemny czynnik sprzed pierwiastka podnosimy do kwadratu (przy pierwiastku sześciennym - do sześcianu) i wpisujemy pod znak pierwiastka: $a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 \cdot b}$ dla $a \geq 0$. Przykłady: $3\sqrt{5} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{45}$; $2\sqrt[3]{3} = \sqrt[3]{8 \cdot 3} = \sqrt[3]{24}$. Zastosowanie - porównywanie liczb: $4\sqrt{3} = \sqrt{48}$ i $5\sqrt{2} = \sqrt{50}$, więc $4\sqrt{3} < 5\sqrt{2}$. Typowy błąd: wpisanie czynnika bez podniesienia do kwadratu, np. $3\sqrt{5} = \sqrt{15}$.

20.Szacowanie pierwiastków

Szacowanie pierwiastków polega na znalezieniu sąsiednich kwadratów (lub sześcianów), między którymi leży liczba pod pierwiastkiem. Przykład: $121 < 137 < 144$, więc $11 < \sqrt{137} < 12$. Dokładniej: $11{,}5^2 = 132{,}25$, więc $11{,}5 < \sqrt{137} < 12$. Pierwiastek sześcienny: $27 < 50 < 64$, więc $3 < \sqrt[3]{50} < 4$. Wyrażenie: $2\sqrt{7} = \sqrt{28}$ i $25 < 28 < 36$, więc $5 < 2\sqrt{7} < 6$. Uwaga: bez włączenia czynnika pod pierwiastek oszacowanie jest poprawne, ale mniej dokładne - z $2 < \sqrt{7} < 3$ wynika tylko $4 < 2\sqrt{7} < 6$.

21.Wyrażenia algebraiczne i ich wartość liczbowa

Wyrażenie algebraiczne to zapis złożony z liczb, liter (zmiennych), znaków działań i nawiasów, np. $2a + 3$ albo $x^2 - 5xy$. Wyrażeniami zapisujemy zależności: liczba o $3$ większa od podwojonej liczby $n$ to $2n + 3$; obwód prostokąta o bokach $a$ i $b$ to $2a + 2b$; trzy kolejne liczby naturalne to $n$, $n + 1$, $n + 2$. Wartość liczbową obliczamy, wstawiając liczby za zmienne: dla $x = -2$ wyrażenie $3x^2 - 4x + 1$ ma wartość $3 \cdot (-2)^2 - 4 \cdot (-2) + 1 = 12 + 8 + 1 = 21$. Typowy błąd: wstawienie liczby ujemnej bez nawiasu, np. $-2^2$ zamiast $(-2)^2$.

22.Jednomiany i jednomiany podobne

Jednomian to iloczyn liczb i zmiennych, np. $5x$, $-3a^2b$, $7$. Porządkujemy go, zapisując najpierw współczynnik liczbowy, a potem zmienne alfabetycznie w postaci potęg: $2a \cdot (-3b) \cdot a^2 = -6a^3b$. Jednomiany podobne różnią się co najwyżej współczynnikiem liczbowym: $4x^2y$ i $-x^2y$ są podobne, a $4x^2y$ i $4xy^2$ nie są. Mnożąc jednomiany, mnożymy współczynniki i dodajemy wykładniki tych samych zmiennych: $3x^2y \cdot (-2xy^3) = -6x^3y^4$. Typowy błąd: $x \cdot x = 2x$ - poprawnie $x \cdot x = x^2$, natomiast $x + x = 2x$.

23.Sumy algebraiczne i redukcja wyrazów podobnych

Suma algebraiczna to suma jednomianów, zwanych wyrazami sumy, np. $3x^2 - 2x + 5$ ma wyrazy $3x^2$, $-2x$ i $5$. Redukcja wyrazów podobnych to zastąpienie wyrazów podobnych jednym: dodajemy współczynniki, a część literową przepisujemy. Przykład: $5a - 3b + 2a + 7b - a = (5 + 2 - 1)a + (-3 + 7)b = 6a + 4b$. Odejmując sumę w nawiasie, zmieniamy znak każdego jej wyrazu: $(4x - 3) - (x - 5) = 4x - 3 - x + 5 = 3x + 2$. Typowe błędy: zmiana znaku tylko pierwszego wyrazu po minusie oraz łączenie wyrazów niepodobnych, np. $2a + 3b = 5ab$.

24.Mnożenie sumy przez jednomian

Mnożąc sumę algebraiczną przez jednomian, mnożymy przez niego każdy wyraz sumy (rozdzielność mnożenia względem dodawania): $a(b + c) = ab + ac$. Przykłady: $3x(2x - 5) = 6x^2 - 15x$; $-2a(a^2 - 3a + 4) = -2a^3 + 6a^2 - 8a$. Przykład z redukcją: $2(3x - 1) - 3(x - 4) = 6x - 2 - 3x + 12 = 3x + 10$. Typowe błędy: pomnożenie tylko pierwszego wyrazu, np. $3(x + 2) = 3x + 2$, oraz zgubienie znaku przy ujemnym jednomianie, np. $-3(x - 4) = -3x - 12$ zamiast $-3x + 12$.

25.Mnożenie sumy przez sumę (dwumianu przez dwumian)

Mnożąc sumę przez sumę, każdy wyraz pierwszej sumy mnożymy przez każdy wyraz drugiej, a potem redukujemy wyrazy podobne: $(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd$. Przykłady: $(x + 3)(x - 5) = x^2 - 5x + 3x - 15 = x^2 - 2x - 15$; $(2a - 1)(3a + 4) = 6a^2 + 8a - 3a - 4 = 6a^2 + 5a - 4$. Kontrola: przed redukcją liczba wyrazów to iloczyn liczb wyrazów w nawiasach, np. $2 \cdot 2 = 4$ albo $2 \cdot 3 = 6$. Typowy błąd: mnożenie tylko pierwszych i tylko ostatnich wyrazów, np. $(x + 3)(x - 5) = x^2 - 15$.

26.Wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias

Wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias to działanie odwrotne do mnożenia sumy przez jednomian: $ab + ac = a(b + c)$. Szukamy największego wspólnego dzielnika współczynników i najniższych potęg wspólnych zmiennych, a każdy wyraz dzielimy przez ten czynnik. Przykłady: $6x^2 - 9x = 3x(2x - 3)$; $12a^2b + 8ab^2 = 4ab(3a + 2b)$; $5x^3 - 5x = 5x(x^2 - 1)$. Sprawdzenie: po wymnożeniu nawiasu musi wrócić wyrażenie wyjściowe. Typowy błąd: zgubienie jedynki, gdy cały wyraz jest wspólnym czynnikiem - $3x^2 + 3x = 3x(x + 1)$, a nie $3x \cdot x$.

27.Wzory skróconego mnożenia: kwadrat sumy $(a + b)^2$

Kwadrat sumy: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Uzasadnienie przez rozwinięcie nawiasów: $(a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Słownie: kwadrat pierwszego wyrazu, plus podwojony iloczyn obu wyrazów, plus kwadrat drugiego wyrazu. Przykłady: $(x + 5)^2 = x^2 + 10x + 25$; $(2a + 3b)^2 = (2a)^2 + 2 \cdot 2a \cdot 3b + (3b)^2 = 4a^2 + 12ab + 9b^2$. Typowe błędy: pominięcie wyrazu środkowego, czyli $(a + b)^2 = a^2 + b^2$ (sprawdź: $(1 + 2)^2 = 9$, a $1^2 + 2^2 = 5$), oraz $(2a)^2 = 2a^2$ zamiast $4a^2$.

28.Wzory skróconego mnożenia: kwadrat różnicy $(a - b)^2$

Kwadrat różnicy: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Uzasadnienie: $(a - b)(a - b) = a^2 - ab - ba + b^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Minus stoi tylko przy podwojonym iloczynie, a kwadrat drugiego wyrazu jest dodawany. Przykłady: $(x - 4)^2 = x^2 - 8x + 16$; $(3a - 2b)^2 = 9a^2 - 12ab + 4b^2$; $\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 = x^2 - x + \frac{1}{4}$. Warto wiedzieć: $(a - b)^2 = (b - a)^2$, bo liczby przeciwne mają równe kwadraty. Typowe błędy: $(a - b)^2 = a^2 - b^2$ oraz $(a - b)^2 = a^2 - 2ab - b^2$.

29.Wzory skróconego mnożenia: różnica kwadratów $a^2 - b^2$

Różnica kwadratów: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$. Uzasadnienie: $(a - b)(a + b) = a^2 + ab - ba - b^2 = a^2 - b^2$, bo wyrazy środkowe się znoszą. Czytane od prawej: iloczyn różnicy i sumy tych samych wyrazów to różnica ich kwadratów. Przykłady: $(x - 3)(x + 3) = x^2 - 9$; $(2a + 5)(2a - 5) = 4a^2 - 25$; $(\sqrt{7} - 2)(\sqrt{7} + 2) = 7 - 4 = 3$. Typowe błędy: mylenie z kwadratem różnicy, czyli $a^2 - b^2 = (a - b)^2$, oraz rozkładanie sumy kwadratów - $a^2 + b^2$ nie rozkłada się tym wzorem.

30.Rozpoznawanie wzoru wstecz: zwijanie do kwadratu sumy lub różnicy

Sumę trzech wyrazów można zwinąć do kwadratu, gdy dwa wyrazy to kwadraty $a^2$ i $b^2$, a trzeci to $2ab$ albo $-2ab$. Sposób: 1) odczytaj $a$ i $b$ z wyrazów będących kwadratami; 2) sprawdź, czy wyraz środkowy to podwojony iloczyn $2ab$; 3) znak wyrazu środkowego decyduje, czy to kwadrat sumy, czy kwadrat różnicy. Przykłady: $x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2$, bo $2 \cdot x \cdot 3 = 6x$; $4a^2 - 20a + 25 = (2a - 5)^2$, bo $2 \cdot 2a \cdot 5 = 20a$. Typowy błąd: brak sprawdzenia wyrazu środkowego - $x^2 + 5x + 9$ nie jest kwadratem sumy, bo $2 \cdot x \cdot 3 = 6x$.

31.Zastosowania wzorów skróconego mnożenia: szybkie rachunki

Wzory skróconego mnożenia pozwalają liczyć w pamięci. Kwadrat liczby bliskiej okrągłej: $99^2 = (100 - 1)^2 = 10000 - 200 + 1 = 9801$; $52^2 = (50 + 2)^2 = 2500 + 200 + 4 = 2704$. Iloczyn liczb równo oddalonych od okrągłej to różnica kwadratów: $101 \cdot 99 = (100 + 1)(100 - 1) = 10000 - 1 = 9999$; $51 \cdot 49 = 50^2 - 1^2 = 2499$. Różnica kwadratów dużych liczb: $67^2 - 33^2 = (67 - 33)(67 + 33) = 34 \cdot 100 = 3400$. Typowy błąd: $99^2 = 100^2 - 1^2 = 9999$ - to wynik iloczynu $101 \cdot 99$, a nie kwadratu liczby $99$.

32.Rozkład na czynniki z użyciem wzorów skróconego mnożenia

Rozkład na czynniki to zapisanie sumy algebraicznej w postaci iloczynu. Kolejność: 1) wyłącz wspólny czynnik przed nawias; 2) przy dwóch wyrazach sprawdź różnicę kwadratów; 3) przy trzech wyrazach sprawdź kwadrat sumy lub różnicy; 4) sprawdź, czy czynniki rozkładają się dalej. Przykłady: $3x^2 - 12 = 3(x^2 - 4) = 3(x - 2)(x + 2)$; $2a^2 + 12a + 18 = 2(a^2 + 6a + 9) = 2(a + 3)^2$; $x^4 - 16 = (x^2 - 4)(x^2 + 4) = (x - 2)(x + 2)(x^2 + 4)$. Typowy błąd: zatrzymanie się za wcześnie, np. na $(x^2 - 4)(x^2 + 4)$, choć $x^2 - 4$ rozkłada się dalej.

33.Usuwanie niewymierności z mianownika

Usuwanie niewymierności z mianownika to rozszerzenie ułamka tak, by w mianowniku nie było pierwiastka. Gdy mianownik to $\sqrt{a}$, mnożymy licznik i mianownik przez $\sqrt{a}$: $\frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$. Gdy mianownik to suma lub różnica z pierwiastkiem, mnożymy przez wyrażenie z przeciwnym znakiem i stosujemy różnicę kwadratów: $\frac{4}{\sqrt{5} - 1} = \frac{4(\sqrt{5} + 1)}{(\sqrt{5} - 1)(\sqrt{5} + 1)} = \frac{4(\sqrt{5} + 1)}{4} = \sqrt{5} + 1$. Typowy błąd: mnożenie przez $\sqrt{5} - 1$ - wtedy $(\sqrt{5} - 1)^2 = 6 - 2\sqrt{5}$ i pierwiastek zostaje.

34.Dowodzenie podzielności za pomocą wzorów skróconego mnożenia

Aby wykazać, że liczba dzieli się przez $k$, zapisujemy ją jako iloczyn liczb całkowitych, w którym widać czynnik $k$. Przykład 1: $n^2 - 1 = (n - 1)(n + 1)$; gdy $n$ jest nieparzyste, $n - 1$ i $n + 1$ to kolejne liczby parzyste, więc jedna z nich dzieli się przez $4$, a iloczyn przez $8$. Przykład 2: $(n + 3)^2 - n^2 = (n + 3 - n)(n + 3 + n) = 3(2n + 3)$, czyli liczba podzielna przez $3$ dla każdego całkowitego $n$. Typowy błąd: sprawdzenie kilku przykładów liczbowych zamiast uzasadnienia dla każdego $n$.

35.Dowodzenie własności liczb: zapis ogólny liczby parzystej i nieparzystej

W dowodach własności liczb zapisujemy liczby ogólnie ($n$ całkowite): parzysta to $2n$, nieparzysta to $2n + 1$, podzielna przez $3$ to $3n$, kolejne liczby całkowite to $n$, $n + 1$, $n + 2$. Przykład 1: kwadrat liczby nieparzystej przy dzieleniu przez $4$ daje resztę $1$, bo $(2n + 1)^2 = 4n^2 + 4n + 1 = 4(n^2 + n) + 1$. Przykład 2: różnica kwadratów dwóch kolejnych liczb całkowitych jest sumą tych liczb: $(n + 1)^2 - n^2 = 2n + 1$, np. $51^2 - 50^2 = 101$. Typowy błąd: oznaczenie dwóch dowolnych liczb parzystych tą samą literą - mają być $2n$ i $2m$.

36.Związki między $a + b$, $a - b$, $ab$ i $a^2 + b^2$

Z kwadratu sumy i kwadratu różnicy wynikają związki: $a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab$, $a^2 + b^2 = (a - b)^2 + 2ab$ oraz $(a + b)^2 - (a - b)^2 = 4ab$. Przykład 1: jeśli $a + b = 7$ i $ab = 10$, to $a^2 + b^2 = 7^2 - 2 \cdot 10 = 29$ - bez wyznaczania $a$ i $b$. Przykład 2: jeśli $x + \frac{1}{x} = 3$, to po podniesieniu obu stron do kwadratu $x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = 9$, czyli $x^2 + \frac{1}{x^2} = 9 - 2 = 7$. Typowy błąd: $a^2 + b^2 = (a + b)^2$, czyli zgubienie wyrazu $2ab$.

37.Wzory skróconego mnożenia w wyrażeniach z pierwiastkami

Wzory skróconego mnożenia stosujemy też do wyrażeń z pierwiastkami, pamiętając, że $(\sqrt{a})^2 = a$ i $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$. Przykłady: $(\sqrt{3} + \sqrt{2})^2 = 3 + 2\sqrt{6} + 2 = 5 + 2\sqrt{6}$; $(2\sqrt{5} - 1)^2 = (2\sqrt{5})^2 - 2 \cdot 2\sqrt{5} \cdot 1 + 1 = 20 - 4\sqrt{5} + 1 = 21 - 4\sqrt{5}$; $(3 + \sqrt{2})^2 + (3 - \sqrt{2})^2 = (11 + 6\sqrt{2}) + (11 - 6\sqrt{2}) = 22$. Typowe błędy: $(\sqrt{3} + \sqrt{2})^2 = 3 + 2 = 5$ (brak podwojonego iloczynu) oraz $(2\sqrt{5})^2 = 10$ zamiast $4 \cdot 5 = 20$.

38.Suma potęg jako iloczyn: wyłączanie potęgi przed nawias

Sumę potęg o tej samej podstawie zamieniamy na iloczyn, wyłączając przed nawias potęgę o najmniejszym wykładniku: $a^{n+2} + a^n = a^n(a^2 + 1)$. Przykład 1: $3^{10} + 3^9 + 3^8 = 3^8(3^2 + 3 + 1) = 3^8 \cdot 13$, więc ta liczba dzieli się przez $13$. Przykład 2: $2^{12} - 2^{10} = 2^{10}(2^2 - 1) = 3 \cdot 2^{10}$. Przykład 3: $5^{n+1} + 5^n = 5^n(5 + 1) = 6 \cdot 5^n$, czyli liczba podzielna przez $6$ dla każdego naturalnego $n$. Typowy błąd: dodawanie wykładników w sumie, np. $3^{10} + 3^9 = 3^{19}$ - wykładniki dodajemy tylko przy mnożeniu potęg.

39.Upraszczanie wyrażeń z kilkoma wzorami skróconego mnożenia

Plan: 1) rozwiń każdy wzór w osobnym nawiasie; 2) opuść nawiasy, zmieniając znaki po minusie; 3) zredukuj wyrazy podobne. Przykład 1: $(x + 2)^2 - (x - 3)(x + 3) = (x^2 + 4x + 4) - (x^2 - 9) = 4x + 13$. Dla $x = -\frac{1}{4}$ wartość to $4 \cdot \left(-\frac{1}{4}\right) + 13 = 12$ - łatwiej ją obliczyć po uproszczeniu. Przykład 2: $(2a - 1)^2 - 4a(a - 1) = 4a^2 - 4a + 1 - 4a^2 + 4a = 1$, więc wartość nie zależy od $a$. Typowy błąd: opuszczenie nawiasu po minusie bez zmiany znaków, np. $-(x^2 - 9) = -x^2 - 9$ zamiast $-x^2 + 9$.

40.Dopełnianie do pełnego kwadratu i znak wyrażenia

Kwadrat każdej liczby jest nieujemny: $(x - p)^2 \geq 0$, a zeru równa się tylko dla $x = p$. Dlatego wyrażenie warto zapisać jako pełny kwadrat plus liczba. Przykład 1: $x^2 - 6x + 10 = (x^2 - 6x + 9) + 1 = (x - 3)^2 + 1$, więc wartość jest dodatnia dla każdego $x$, a najmniejsza wynosi $1$ (dla $x = 3$). Sposób: do $x^2 - 6x$ dopisujemy kwadrat połowy współczynnika przy $x$, czyli $3^2 = 9$, i wyrównujemy: $10 = 9 + 1$. Przykład 2: $a^2 + b^2 \geq 2ab$, bo $a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2 \geq 0$. Typowy błąd: dopisanie $9$ bez wyrównania, co zmienia wartość wyrażenia.