Zachodniopomorski Konkurs Matematyczny - symetrie, konstrukcje, bryły

1.Symetria osiowa

Punkt $A'$ jest symetryczny do punktu $A$ względem prostej $l$, gdy prosta $l$ jest symetralną odcinka $AA'$: odcinek $AA'$ jest prostopadły do $l$, a $l$ dzieli go na połowy. Punkty leżące na osi $l$ przechodzą na siebie. Symetria osiowa zachowuje długości odcinków i miary kątów, więc obraz figury jest figurą do niej przystającą (ale odwróconą, jak w lustrze). Przykład: jeśli $A$ leży 3 cm od osi, to $A'$ leży 3 cm od osi po drugiej stronie, a $|AA'| = 6$ cm.

2.Figury osiowosymetryczne i ich osie symetrii

Figura jest osiowosymetryczna, gdy istnieje prosta (oś symetrii), względem której figura przechodzi na siebie. Liczba osi: trójkąt równoramienny - 1, trójkąt równoboczny - 3, prostokąt niebędący kwadratem - 2, romb niebędący kwadratem - 2, kwadrat - 4, trapez równoramienny - 1, $n$-kąt foremny - $n$, okrąg i koło - nieskończenie wiele (każda prosta przez środek). Równoległobok, który nie jest prostokątem ani rombem, nie ma osi symetrii. Odcinek ma 2 osie: swoją symetralną i prostą, na której leży.

3.Symetria środkowa

Punkt $A'$ jest symetryczny do punktu $A$ względem punktu $S$, gdy $S$ jest środkiem odcinka $AA'$. Środek symetrii $S$ przechodzi na siebie. Symetria środkowa to obrót o $180^\circ$ wokół $S$: zachowuje długości i kąty, a obraz figury jest do niej przystający i nieodwrócony. Prosta przechodzi na prostą do niej równoległą (lub na siebie, gdy przechodzi przez $S$). Przykład: obrazem odcinka $AB$ jest odcinek $A'B'$ równoległy do $AB$ i tej samej długości.

4.Figury środkowosymetryczne

Figura jest środkowosymetryczna, gdy istnieje punkt (środek symetrii), względem którego figura przechodzi na siebie. Środek symetrii mają: odcinek (jego środek), równoległobok, prostokąt, romb i kwadrat (punkt przecięcia przekątnych), okrąg i koło (środek), prosta (każdy jej punkt). Trójkąt nie ma środka symetrii. Wielokąt foremny ma środek symetrii tylko wtedy, gdy ma parzystą liczbę boków: sześciokąt foremny tak, pięciokąt foremny nie. Trapez równoramienny ma oś symetrii, ale nie ma środka symetrii.

5.Symetria względem osi układu współrzędnych

W symetrii względem osi $OX$ zmienia się znak drugiej współrzędnej: $(x, y) \to (x, -y)$. W symetrii względem osi $OY$ zmienia się znak pierwszej współrzędnej: $(x, y) \to (-x, y)$. Przykład: punkt $A = (3, -5)$ ma obraz $(3, 5)$ względem osi $OX$ i obraz $(-3, -5)$ względem osi $OY$. Punkty leżące na osi symetrii się nie zmieniają, np. $(4, 0)$ w symetrii względem $OX$. Pułapka: względem osi $OX$ zostaje $x$, a zmienia się $y$.

6.Symetria względem początku układu współrzędnych

W symetrii względem punktu $O = (0, 0)$ zmieniają się znaki obu współrzędnych: $(x, y) \to (-x, -y)$. Przykład: $A = (2, -7)$ przechodzi na $A' = (-2, 7)$, a $O$ jest środkiem odcinka $AA'$. Taki sam wynik daje złożenie dwóch symetrii: najpierw względem osi $OX$, potem względem osi $OY$. Ogólnie złożenie symetrii osiowych względem dwóch prostych prostopadłych to symetria środkowa względem ich punktu przecięcia.

7.Symetria względem prostych $x = a$ i $y = b$

Prosta $x = a$ jest pionowa: w symetrii względem niej zmienia się tylko pierwsza współrzędna, $(x, y) \to (2a - x, y)$, bo prosta $x = a$ ma leżeć w połowie drogi między punktem a jego obrazem. Prosta $y = b$ jest pozioma: $(x, y) \to (x, 2b - y)$. Przykład: punkt $(5, 1)$ względem prostej $x = 2$ przechodzi na $(-1, 1)$, bo 5 i $-1$ leżą po 3 jednostki od 2. Względem prostej $y = 3$ punkt $(5, 1)$ przechodzi na $(5, 5)$.

8.Środek odcinka i symetria względem punktu $S = (a, b)$

Środek odcinka o końcach $(x_1, y_1)$ i $(x_2, y_2)$ ma współrzędne $\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$, np. środek odcinka od $(1, 4)$ do $(5, -2)$ to $(3, 1)$. Punkt symetryczny do $A = (x, y)$ względem $S = (a, b)$ wyznaczamy z tego, że $S$ jest środkiem $AA'$: $A' = (2a - x, 2b - y)$. Przykład: $A = (1, 4)$, $S = (3, 1)$, więc $A' = (5, -2)$. Długość odcinka w układzie liczymy z Pitagorasa: $\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.

9.Najkrótsza droga z odbiciem od prostej

Szukamy najkrótszej drogi z punktu $A$ do punktu $B$ (leżących po tej samej stronie prostej $l$), która dotyka prostej $l$. Odbijamy punkt $B$ symetrycznie względem $l$ do $B'$ i łączymy $A$ z $B'$ odcinkiem; punkt przecięcia tego odcinka z prostą $l$ to szukany punkt $P$. Działa to, bo $|PB| = |PB'|$, a najkrótszą drogą z $A$ do $B'$ jest odcinek. Tak samo odbija się światło w lustrze: kąt padania jest równy kątowi odbicia.

10.Symetralna odcinka

Symetralna odcinka to prosta prostopadła do odcinka przechodząca przez jego środek. Każdy punkt symetralnej jest jednakowo odległy od obu końców odcinka, a każdy punkt jednakowo odległy od końców leży na symetralnej. Dlatego symetralne boków trójkąta przecinają się w jednym punkcie - środku okręgu opisanego na trójkącie. Przykład: jeśli $P$ leży na symetralnej odcinka $AB$ i $|PA| = 7$, to $|PB| = 7$. Symetralna odcinka $AA'$ to oś symetrii, która przeprowadza $A$ na $A'$.

11.Konstrukcja symetralnej i środka odcinka

Cyrklem o rozwartości większej niż połowa odcinka $AB$ zataczamy łuki ze środkiem w $A$ i ze środkiem w $B$ (tym samym promieniem), tak aby przecięły się w dwóch punktach po obu stronach odcinka. Prosta przez te dwa punkty to symetralna odcinka $AB$, a jej punkt przecięcia z $AB$ to środek odcinka. Konstrukcja działa, bo oba punkty przecięcia łuków są jednakowo odległe od $A$ i $B$. Pułapka: przy promieniu mniejszym niż połowa $AB$ łuki się nie przetną.

12.Dwusieczna kąta - własność i konstrukcja

Dwusieczna kąta to półprosta dzieląca kąt na dwa równe kąty. Każdy jej punkt jest jednakowo odległy od obu ramion kąta (odległości mierzymy prostopadle). Dlatego dwusieczne kątów trójkąta przecinają się w środku okręgu wpisanego. Konstrukcja: z wierzchołka kreślimy łuk przecinający oba ramiona; z tych dwóch punktów kreślimy łuki o równym promieniu, aż się przetną; półprosta z wierzchołka przez punkt przecięcia to dwusieczna. Dwusieczne kątów przyległych są prostopadłe.

13.Konstrukcja prostej prostopadłej przez punkt

Gdy punkt $P$ leży poza prostą $l$: z $P$ zataczamy łuk przecinający $l$ w punktach $A$ i $B$, a potem kreślimy symetralną odcinka $AB$ - przechodzi ona przez $P$ i jest prostopadła do $l$. Gdy $P$ leży na prostej $l$: odkładamy na $l$ po obu stronach $P$ równe odcinki $PA$ i $PB$ i kreślimy symetralną odcinka $AB$. Długość odcinka prostopadłego od $P$ do $l$ to odległość punktu $P$ od prostej - najkrótszy odcinek łączący $P$ z prostą.

14.Konstrukcja prostej równoległej przez punkt

Przez punkt $P$ leżący poza prostą $l$ można poprowadzić dokładnie jedną prostą równoległą do $l$. Sposób 1: dwa razy kreślimy prostopadłą - najpierw prostą $k$ przez $P$ prostopadłą do $l$, potem prostą przez $P$ prostopadłą do $k$. Sposób 2: przenosimy kąt - przez $P$ prowadzimy sieczną przecinającą $l$ i odkładamy przy $P$ kąt równy kątowi przy $l$ jako kąt odpowiadający. Sposób 1 działa, bo dwie proste prostopadłe do tej samej prostej są równoległe.

15.Konstrukcja kątów $60^\circ$, $30^\circ$, $90^\circ$ i $45^\circ$

Kąt $60^\circ$: z wierzchołka $O$ zataczamy łuk o promieniu $r$ przecinający ramię w punkcie $A$, a potem z $A$ łuk tym samym promieniem - punkt $B$ przecięcia łuków daje trójkąt równoboczny $OAB$, więc $|\angle AOB| = 60^\circ$. Kąt $30^\circ$ to dwusieczna kąta $60^\circ$. Kąt $90^\circ$ daje konstrukcja prostej prostopadłej, a $45^\circ$ - dwusieczna kąta prostego. Dalej: $15^\circ$, $75^\circ = 45^\circ + 30^\circ$, $120^\circ = 2 \cdot 60^\circ$, $135^\circ = 90^\circ + 45^\circ$.

16.Graniastosłup - budowa

Graniastosłup ma dwie przystające podstawy (wielokąty) leżące w równoległych płaszczyznach, a jego ściany boczne są równoległobokami. Graniastosłup prosty ma krawędzie boczne prostopadłe do podstaw, więc ściany boczne są prostokątami, a krawędź boczna jest wysokością $H$. Graniastosłup prawidłowy to graniastosłup prosty z wielokątem foremnym w podstawie. Gdy podstawa ma $n$ boków: $2n$ wierzchołków, $3n$ krawędzi i $n + 2$ ściany. Przykład: graniastosłup sześciokątny ma 12 wierzchołków, 18 krawędzi i 8 ścian.

17.Ostrosłup - budowa

Ostrosłup ma jedną podstawę (wielokąt), a jego ściany boczne są trójkątami o wspólnym wierzchołku (wierzchołek ostrosłupa). Wysokość $H$ to odcinek prostopadły od wierzchołka do płaszczyzny podstawy. Ostrosłup prawidłowy ma w podstawie wielokąt foremny, a spodek wysokości leży w środku podstawy; jego ściany boczne są przystającymi trójkątami równoramiennymi. Gdy podstawa ma $n$ boków: $n + 1$ wierzchołków, $2n$ krawędzi i $n + 1$ ścian. Czworościan foremny ma 6 równych krawędzi, a jego ściany to 4 trójkąty równoboczne.

18.Siatka bryły

Siatka to płaska figura złożona ze wszystkich ścian bryły, z której można ją skleić. Pole siatki równa się polu powierzchni bryły. Siatka graniastosłupa prostego: prostokąt złożony ze ścian bocznych (o długości równej obwodowi podstawy) i dwie podstawy. Siatka ostrosłupa: podstawa i przyległe do jej boków trójkąty. Sześcian ma 11 różnych siatek. W siatce sześcianu ściany przeciwległe nie stykają się bokami: w pasku czterech kwadratów ściany przeciwległe są oddzielone jednym kwadratem.

19.Pole powierzchni graniastosłupa

Pole powierzchni całkowitej to suma pól wszystkich ścian: $P_c = 2P_p + P_b$, gdzie $P_p$ to pole podstawy, a $P_b$ - pole powierzchni bocznej. W graniastosłupie prostym $P_b = O_p \cdot H$ ($O_p$ - obwód podstawy, $H$ - wysokość). Prostopadłościan o krawędziach $a$, $b$, $c$: $P_c = 2(ab + bc + ac)$; sześcian: $P_c = 6a^2$. Przykład: prostopadłościan $2 \times 3 \times 4$ ma $P_c = 2(6 + 12 + 8) = 52$.

20.Objętość graniastosłupa i jednostki objętości

Objętość graniastosłupa: $V = P_p \cdot H$ (pole podstawy razy wysokość). Prostopadłościan: $V = a \cdot b \cdot c$, sześcian: $V = a^3$. Przykład: graniastosłup o podstawie trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych 3 i 4 i wysokości 10 ma $V = 6 \cdot 10 = 60$. Jednostki: $1~\mathrm{dm^3} = 1~\mathrm{l} = 1000~\mathrm{cm^3}$, $1~\mathrm{cm^3} = 1~\mathrm{ml}$, $1~\mathrm{m^3} = 1000~\mathrm{dm^3} = 1000~\mathrm{l}$. Pułapka: $1~\mathrm{m} = 10~\mathrm{dm}$, ale $1~\mathrm{m^3} = 10^3~\mathrm{dm^3}$.

21.Przekątna prostopadłościanu i sześcianu

Przekątna prostopadłościanu łączy dwa wierzchołki nieleżące na jednej ścianie. Z dwukrotnego użycia twierdzenia Pitagorasa (najpierw przekątna podstawy, potem trójkąt z krawędzią boczną): $d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$. Przykład: dla krawędzi 2, 3, 6 jest $d = \sqrt{4 + 9 + 36} = 7$. W sześcianie o krawędzi $a$ przekątna ściany ma długość $a\sqrt{2}$, a przekątna sześcianu - $a\sqrt{3}$. Prostopadłościan ma 4 przekątne, wszystkie tej samej długości.

22.Pole powierzchni ostrosłupa

Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa: $P_c = P_p + P_b$ (jedna podstawa i ściany boczne). W ostrosłupie prawidłowym ściany boczne to przystające trójkąty równoramienne, więc $P_b = n \cdot \frac{1}{2} a \cdot h_s$, gdzie $h_s$ to wysokość ściany bocznej (opuszczona na krawędź podstawy). Przykład: ostrosłup prawidłowy czworokątny o krawędzi podstawy 6 i wysokości ściany bocznej 5 ma $P_c = 36 + 4 \cdot \frac{6 \cdot 5}{2} = 96$. Pułapka: $h_s$ to nie jest wysokość ostrosłupa $H$.

23.Objętość ostrosłupa

Objętość ostrosłupa to jedna trzecia iloczynu pola podstawy i wysokości: $V = \frac{1}{3} P_p \cdot H$. Ostrosłup ma więc 3 razy mniejszą objętość niż graniastosłup o tej samej podstawie i wysokości. Przykład: ostrosłup prawidłowy czworokątny o krawędzi podstawy 6 i wysokości 4 ma $V = \frac{1}{3} \cdot 36 \cdot 4 = 48$. Do objętości potrzebna jest wysokość bryły $H$, a nie wysokość ściany bocznej.

24.Pola podstaw brył prawidłowych

W bryłach prawidłowych podstawą jest wielokąt foremny: trójkąt równoboczny o boku $a$ ma pole $\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$, kwadrat - $a^2$, sześciokąt foremny - $\frac{3a^2\sqrt{3}}{2}$ (6 trójkątów równobocznych). Przykład: graniastosłup prawidłowy trójkątny o krawędzi podstawy 4 i wysokości 5 ma $V = \frac{16\sqrt{3}}{4} \cdot 5 = 20\sqrt{3}$ oraz $P_c = 2 \cdot 4\sqrt{3} + 3 \cdot 4 \cdot 5 = 8\sqrt{3} + 60$.

25.Trójkąty prostokątne w ostrosłupie prawidłowym

W ostrosłupie prawidłowym wysokość $H$ pada w środek podstawy. Powstają trzy trójkąty prostokątne: 1) $H$, promień okręgu wpisanego w podstawę $r$ i wysokość ściany bocznej $h_s$: $H^2 + r^2 = h_s^2$; 2) $H$, promień okręgu opisanego na podstawie $R$ i krawędź boczna $b$: $H^2 + R^2 = b^2$; 3) połowa krawędzi podstawy, $h_s$ i $b$: $\left(\frac{a}{2}\right)^2 + h_s^2 = b^2$. W każdym zadaniu szukaj tego trójkąta, w którym znasz dwa boki.

26.Ostrosłup prawidłowy czworokątny

Podstawą jest kwadrat o boku $a$, a spodek wysokości leży w punkcie przecięcia przekątnych podstawy. Odległość tego punktu od boku podstawy to $r = \frac{a}{2}$, a od wierzchołka podstawy - $R = \frac{a\sqrt{2}}{2}$ (połowa przekątnej). Przykład: przy $a = 8$ i $H = 3$ wysokość ściany bocznej to $h_s = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$, a krawędź boczna $b = \sqrt{3^2 + (4\sqrt{2})^2} = \sqrt{41}$. Sprawdzenie: $4^2 + 5^2 = 41 = b^2$.

27.Ostrosłup prawidłowy trójkątny i czworościan foremny

Podstawą jest trójkąt równoboczny o boku $a$, a spodek wysokości to środek trójkąta, który dzieli wysokość podstawy $h_p$ w stosunku $2 : 1$. Odległość od wierzchołka podstawy: $R = \frac{2}{3}h_p = \frac{a\sqrt{3}}{3}$; od boku: $r = \frac{1}{3}h_p = \frac{a\sqrt{3}}{6}$. Czworościan foremny o krawędzi $a$ ma wysokość $H = \sqrt{a^2 - R^2} = \frac{a\sqrt{6}}{3}$. Przykład: dla $a = 6$ jest $R = 2\sqrt{3}$ i $H = \sqrt{36 - 12} = 2\sqrt{6}$.

28.Kąt nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy

To kąt między krawędzią boczną a jej rzutem na podstawę, czyli odcinkiem łączącym koniec krawędzi w podstawie ze spodkiem wysokości. W ostrosłupie prawidłowym leży w trójkącie prostokątnym o bokach $H$, $R$, $b$ - przy wierzchołku podstawy. Przykład: w ostrosłupie prawidłowym czworokątnym kąt ten leży między krawędzią boczną a połową przekątnej podstawy. Pułapka: nie myl go z kątem między krawędzią boczną a krawędzią podstawy - ten leży w ścianie bocznej.

29.Kąt nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy w ostrosłupie prawidłowym

W ostrosłupie prawidłowym jest to kąt między wysokością ściany bocznej $h_s$ a odcinkiem łączącym jej spodek (środek krawędzi podstawy) ze środkiem podstawy. Oba odcinki są prostopadłe do krawędzi podstawy. Kąt ten leży w trójkącie prostokątnym o bokach $H$, $r$, $h_s$. Przykład: w ostrosłupie prawidłowym czworokątnym jest to kąt między $h_s$ a odcinkiem długości $\frac{a}{2}$ łączącym środek kwadratu ze środkiem jego boku. (podpowiedź: Kąt ściany bocznej z podstawą: trójkąt $H$, $r$, $h_s$.)

30.Kąt $45^\circ$ w bryłach

Trójkąt prostokątny z kątem $45^\circ$ jest równoramienny, więc jego przyprostokątne są równe, a przeciwprostokątna jest $\sqrt{2}$ razy dłuższa. Przykłady: jeśli ściana boczna ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest nachylona do podstawy pod kątem $45^\circ$, to $H = r = \frac{a}{2}$ i $h_s = \frac{a\sqrt{2}}{2}$. Jeśli krawędź boczna jest nachylona pod kątem $45^\circ$, to $H = R$. Jeśli przekątna ściany bocznej graniastosłupa prawidłowego czworokątnego tworzy z krawędzią podstawy kąt $45^\circ$, to ściana jest kwadratem, czyli $H = a$.

31.Kąty $30^\circ$ i $60^\circ$ w bryłach

W trójkącie prostokątnym z kątami $30^\circ$ i $60^\circ$ boki są w stosunku $1 : \sqrt{3} : 2$, a naprzeciw kąta $30^\circ$ leży krótsza przyprostokątna. Przykład: w ostrosłupie prawidłowym czworokątnym o krawędzi podstawy 6 ściana boczna jest nachylona do podstawy pod kątem $60^\circ$; w trójkącie $(H, r, h_s)$ kąt $60^\circ$ leży przy $r = 3$, więc $h_s = 2r = 6$ i $H = 3\sqrt{3}$. Wtedy $V = \frac{1}{3} \cdot 36 \cdot 3\sqrt{3} = 36\sqrt{3}$.

32.Kąt nachylenia przekątnej graniastosłupa prostego do podstawy

W graniastosłupie prostym jest to kąt między przekątną bryły a jej rzutem na podstawę, czyli odpowiednią przekątną podstawy wychodzącą z tego samego wierzchołka. Leży w trójkącie prostokątnym o bokach: przekątna podstawy $d_p$, wysokość $H$ i przekątna bryły $D$. Przykład: w graniastosłupie prawidłowym czworokątnym o krawędzi podstawy 4 przekątna bryły jest nachylona do podstawy pod kątem $60^\circ$; wtedy $d_p = 4\sqrt{2}$, $D = 2d_p = 8\sqrt{2}$ i $H = d_p\sqrt{3} = 4\sqrt{6}$. Przy kącie $45^\circ$ byłoby $H = d_p$. (podpowiedź: Trójkąt: przekątna podstawy, wysokość, przekątna bryły.)

33.Bryły podobne

Bryły są podobne w skali $k$, gdy jedna jest powiększeniem drugiej: wszystkie krawędzie (i inne odcinki) są $k$ razy dłuższe. Wtedy pola powierzchni są $k^2$ razy większe, a objętości - $k^3$ razy większe. Przykład: sześcian o krawędzi 2 razy dłuższej ma 4 razy większe pole powierzchni i 8 razy większą objętość. Wszystkie sześciany są podobne, a dwa prostopadłościany są podobne tylko wtedy, gdy ich krawędzie są proporcjonalne.

34.Skala podobieństwa z pól lub objętości

Gdy znamy stosunek objętości brył podobnych, skalę liczymy pierwiastkiem sześciennym, a gdy znamy stosunek pól - pierwiastkiem kwadratowym. Przykład: objętości dwóch podobnych ostrosłupów są w stosunku $27 : 64$, więc $k = \sqrt[3]{\frac{27}{64}} = \frac{3}{4}$, a ich pola powierzchni są w stosunku $k^2 = \frac{9}{16}$. Odwrotnie: pola w stosunku $1 : 4$ dają $k = \frac{1}{2}$ i objętości w stosunku $1 : 8$.

35.Przekrój ostrosłupa płaszczyzną równoległą do podstawy

Płaszczyzna równoległa do podstawy odcina od ostrosłupa mniejszy ostrosłup podobny do całego. Skala to stosunek wysokości: $k = \frac{h}{H}$. Przykład: przekrój w połowie wysokości daje ostrosłup w skali $\frac{1}{2}$, którego podstawa (czyli przekrój) ma $\frac{1}{4}$ pola podstawy, a objętość to $\frac{1}{8}$ objętości całego ostrosłupa. Pozostała część (ostrosłup ścięty) ma więc $\frac{7}{8}$ objętości. Pułapka: przekrój w połowie wysokości nie dzieli objętości na połowy.

36.Skala modelu bryły

Model wykonany w skali $1 : n$ jest bryłą podobną do oryginału w skali $k = \frac{1}{n}$. Długości modelu są $n$ razy mniejsze, pola - $n^2$ razy, a objętości (i masy przy tym samym materiale) - $n^3$ razy mniejsze. Przykład: model budynku w skali $1 : 100$ ma objętość $100^3 = 1\,000\,000$ razy mniejszą od budynku, a pole ścian $10\,000$ razy mniejsze. Przy skali $1 : 2$ model z tego samego materiału waży 8 razy mniej.

37.Ostrosłup i graniastosłup o tej samej podstawie i wysokości

Ostrosłup ma trzy razy mniejszą objętość niż graniastosłup o tej samej podstawie i tej samej wysokości: $V_o = \frac{1}{3} P_p \cdot H$, $V_g = P_p \cdot H$. Przykład: sześcian o krawędzi $a$ można rozciąć na 3 przystające ostrosłupy, każdy o podstawie będącej ścianą sześcianu i wysokości $a$, czyli o objętości $\frac{a^3}{3}$. Ostrosłup o podstawie $2 \times 3$ i wierzchołku na górnej ścianie prostopadłościanu $2 \times 3 \times 6$ ma $V = \frac{1}{3} \cdot 6 \cdot 6 = 12$.

38.Ostrosłup odcięty z naroża sześcianu

Płaszczyzna przechodząca przez trzy wierzchołki sześcianu sąsiednie do jednego wierzchołka odcina z niego ostrosłup trójkątny. Jego podstawą może być trójkąt prostokątny o przyprostokątnych $a$ (połowa ściany), a wysokością krawędź $a$, więc $V = \frac{1}{3} \cdot \frac{a^2}{2} \cdot a = \frac{a^3}{6}$. Przekrój sześcianu tą płaszczyzną ma boki $a\sqrt{2}$ (przekątne ścian), więc jest trójkątem równobocznym. Przykład: dla $a = 6$ odcięty ostrosłup ma objętość 36, a reszta sześcianu - $216 - 36 = 180$.

39.Zmiana wymiarów bryły bez podobieństwa

Gdy zmieniamy tylko niektóre wymiary, bryły nie są podobne i zmianę liczymy ze wzoru. W prostopadłościanie $V = a \cdot b \cdot c$: podwojenie jednej krawędzi podwaja objętość, podwojenie dwóch zwiększa ją 4 razy, a wszystkich trzech - 8 razy. W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym $V = a^2 \cdot H$: zwiększenie krawędzi podstawy 3 razy zwiększa objętość 9 razy, a zwiększenie wysokości 3 razy - tylko 3 razy. Przykład: zmniejszenie wysokości o 20% zmniejsza objętość o 20%.

40.Sześcian: krawędź, pole i objętość

Sześcian o krawędzi $a$ ma 12 krawędzi (suma ich długości to $12a$), pole powierzchni $6a^2$ i objętość $a^3$. Z jednej wielkości wyznaczysz pozostałe: pole 54 daje $a^2 = 9$, $a = 3$, $V = 27$; objętość 64 daje $a = \sqrt[3]{64} = 4$ i pole 96; suma krawędzi 60 daje $a = 5$. Przekątna sześcianu $a\sqrt{3}$ pozwala liczyć odwrotnie: przekątna $6\sqrt{3}$ oznacza krawędź 6 i objętość 216.