Zachodniopomorski Konkurs Matematyczny - trójkąty, okręgi i koła

1.Rodzaje kątów; kąty wierzchołkowe i przyległe

Kąt ostry ma miarę większą od $0^\circ$ i mniejszą od $90^\circ$, prosty - $90^\circ$, rozwarty - między $90^\circ$ a $180^\circ$, półpełny - $180^\circ$, wklęsły - między $180^\circ$ a $360^\circ$, pełny - $360^\circ$. Kąty wierzchołkowe, leżące naprzeciw siebie przy przecięciu dwóch prostych, są równe. Kąty przyległe mają wspólne ramię, a pozostałe ramiona są przeciwnymi półprostymi; ich miary sumują się do $180^\circ$. Kąt przyległy do kąta $35^\circ$ ma $145^\circ$.

2.Kąty odpowiadające i naprzemianległe

Gdy dwie proste równoległe przetnie sieczna, powstaje 8 kątów o miarach $\alpha$ lub $180^\circ - \alpha$. Jeśli sieczna jest prostopadła do tych prostych, wszystkie kąty mają $90^\circ$. Kąty odpowiadające leżą po tej samej stronie siecznej i w odpowiadających sobie położeniach - są równe. Kąty naprzemianległe leżą po przeciwnych stronach siecznej, oba między prostymi lub oba na zewnątrz - też są równe. Na odwrót: jeśli kąty odpowiadające są równe, to proste są równoległe. Przy kącie $70^\circ$ każdy z pozostałych kątów ma $70^\circ$ albo $110^\circ$.

3.Suma kątów trójkąta i kąt zewnętrzny

Suma kątów wewnętrznych każdego trójkąta wynosi $180^\circ$. Kąt zewnętrzny trójkąta (przyległy do kąta wewnętrznego) jest równy sumie dwóch kątów wewnętrznych do niego nieprzyległych. Przykład: w trójkącie o kątach $50^\circ$ i $70^\circ$ trzeci kąt ma $60^\circ$, a kąt zewnętrzny przy nim ma $50^\circ + 70^\circ = 120^\circ$. W trójkącie równoramiennym kąty przy podstawie są równe: przy kącie $40^\circ$ między ramionami każdy z nich ma $\frac{180^\circ - 40^\circ}{2} = 70^\circ$.

4.Suma kątów wielokąta i kąt wielokąta foremnego

Wielokąt o $n$ bokach można podzielić przekątnymi z jednego wierzchołka na $n - 2$ trójkąty, więc suma jego kątów wewnętrznych to $(n - 2) \cdot 180^\circ$. Czworokąt: $360^\circ$, pięciokąt: $540^\circ$, sześciokąt: $720^\circ$. Wielokąt foremny ma wszystkie boki i wszystkie kąty równe, więc każdy jego kąt to $\frac{(n - 2) \cdot 180^\circ}{n}$, np. w sześciokącie foremnym $120^\circ$, w ośmiokącie foremnym $135^\circ$. Suma kątów zewnętrznych wielokąta wypukłego to $360^\circ$.

5.Liczba przekątnych wielokąta

Z każdego wierzchołka wielokąta o $n$ bokach wychodzi $n - 3$ przekątnych (wierzchołka nie łączymy z nim samym ani z dwoma sąsiadami). Każdą przekątną policzyliśmy dwa razy (z obu końców), więc wielokąt ma $\frac{n(n - 3)}{2}$ przekątnych. Przykłady: czworokąt - 2, pięciokąt - 5, sześciokąt - 9, dziesięciokąt - $\frac{10 \cdot 7}{2} = 35$. Trójkąt nie ma przekątnych.

6.Nierówność trójkąta

Z trzech odcinków da się zbudować trójkąt tylko wtedy, gdy każdy z nich jest krótszy od sumy dwóch pozostałych. Wystarczy sprawdzić najdłuższy: musi być krótszy od sumy dwóch krótszych. Przykład: z odcinków 3, 4, 6 trójkąt powstanie ($6 < 3 + 4$), a z 3, 4, 7 - nie ($7 = 3 + 4$, odcinki „złożą się” w jeden). Wniosek: trzeci bok $c$ trójkąta o bokach $a$ i $b$ spełnia $|a - b| < c < a + b$; dla boków 5 i 9 jest to $4 < c < 14$.

7.Wzory na pola trójkąta i czworokątów

Trójkąt: $P = \frac{1}{2} a \cdot h$ (podstawa i opuszczona na nią wysokość). Prostokąt: $P = a \cdot b$; kwadrat: $P = a^2 = \frac{d^2}{2}$. Równoległobok: $P = a \cdot h$. Romb: $P = a \cdot h = \frac{e \cdot f}{2}$ ($e$, $f$ - przekątne). Trapez: $P = \frac{(a + b) \cdot h}{2}$ ($a$, $b$ - podstawy). W trójkącie prostokątnym przyprostokątne są dla siebie wysokościami: $P = \frac{a \cdot b}{2}$. Pułapka: wysokość jest prostopadła do podstawy - to nie jest bok ukośny.

8.Stosunek pól trójkątów o wspólnej wysokości

Trójkąty o tej samej wysokości mają pola w takim stosunku jak ich podstawy. Dlatego środkowa trójkąta (odcinek łączący wierzchołek ze środkiem przeciwległego boku) dzieli go na dwa trójkąty o równych polach. Przykład: jeśli punkt $D$ dzieli bok $AB$ trójkąta $ABC$ tak, że $|AD| : |DB| = 1 : 3$, a pole trójkąta $ABC$ to 24, to pola trójkątów $ADC$ i $DBC$ wynoszą 6 i 18. Przekątne równoległoboku dzielą go na 4 trójkąty o równych polach.

9.Twierdzenie Pitagorasa

W trójkącie prostokątnym suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej: $a^2 + b^2 = c^2$. Przeciwprostokątna leży naprzeciw kąta prostego i jest najdłuższym bokiem. Przykład: przyprostokątne 6 i 8 dają $c^2 = 36 + 64 = 100$, więc $c = 10$. Gdy szukasz przyprostokątnej, odejmuj: przy $c = 13$ i $a = 5$ jest $b^2 = 169 - 25 = 144$, czyli $b = 12$. Pułapka: wzór działa tylko w trójkącie prostokątnym.

10.Trójki pitagorejskie

Trójki liczb naturalnych spełniające $a^2 + b^2 = c^2$ warto znać na pamięć, bo przyspieszają rachunki: $(3, 4, 5)$, $(5, 12, 13)$, $(8, 15, 17)$, $(7, 24, 25)$. Ich wielokrotności też są trójkami: $(6, 8, 10)$, $(9, 12, 15)$, $(15, 20, 25)$, $(10, 24, 26)$. Przykład: drabina długości 2,5 m, której dolny koniec stoi 0,7 m od ściany, sięga na wysokość 2,4 m, bo liczby $0{,}7$, $2{,}4$, $2{,}5$ to trójka $(7, 24, 25)$ podzielona przez 10.

11.Przekątna kwadratu, wysokość i pole trójkąta równobocznego

Przekątna kwadratu o boku $a$: $d = a\sqrt{2}$ (z Pitagorasa $d^2 = a^2 + a^2$). Wysokość trójkąta równobocznego o boku $a$: $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$, bo wysokość dzieli podstawę na połowy i $h^2 = a^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \frac{3a^2}{4}$. Pole trójkąta równobocznego: $P = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$. Przykład: dla $a = 6$ jest $d = 6\sqrt{2}$, $h = 3\sqrt{3}$ i $P = 9\sqrt{3}$.

12.Trójkąt prostokątny o kątach $45^\circ$, $45^\circ$, $90^\circ$

To połowa kwadratu przeciętego przekątną, więc jest równoramienny. Gdy przyprostokątne mają długość $a$, przeciwprostokątna ma długość $a\sqrt{2}$. Odwrotnie: przy przeciwprostokątnej $c$ każda przyprostokątna to $\frac{c}{\sqrt{2}} = \frac{c\sqrt{2}}{2}$. Przykład: przy przeciwprostokątnej 10 przyprostokątne mają po $5\sqrt{2}$, a pole wynosi $\frac{5\sqrt{2} \cdot 5\sqrt{2}}{2} = 25$. Stosunek boków: $1 : 1 : \sqrt{2}$.

13.Trójkąt prostokątny o kątach $30^\circ$, $60^\circ$, $90^\circ$

To połowa trójkąta równobocznego przeciętego wysokością. Przyprostokątna leżąca naprzeciw kąta $30^\circ$ jest połową przeciwprostokątnej. Gdy krótsza przyprostokątna ma długość $a$, to przeciwprostokątna ma $2a$, a dłuższa przyprostokątna (naprzeciw kąta $60^\circ$) - $a\sqrt{3}$. Stosunek boków: $1 : \sqrt{3} : 2$. Przykład: przy przeciwprostokątnej 12 przyprostokątne mają 6 i $6\sqrt{3}$. Pułapka: bok $a\sqrt{3}$ leży naprzeciw kąta $60^\circ$, a nie $30^\circ$.

14.Wysokość opuszczona na przeciwprostokątną

Pole trójkąta prostokątnego można policzyć na dwa sposoby: $\frac{a \cdot b}{2} = \frac{c \cdot h}{2}$, gdzie $h$ to wysokość opuszczona na przeciwprostokątną $c$. Stąd $h = \frac{a \cdot b}{c}$. Przykład: w trójkącie o bokach 6, 8, 10 jest $h = \frac{6 \cdot 8}{10} = 4{,}8$. Ta metoda (porównanie dwóch wzorów na pole) działa w każdym trójkącie: znając dwie podstawy i jedną wysokość, obliczysz drugą wysokość.

15.Twierdzenie Pitagorasa w trójkącie równoramiennym i trapezie

Wysokość opuszczona na podstawę trójkąta równoramiennego dzieli ją na połowy i tworzy z ramieniem trójkąt prostokątny: przy ramieniu 13 i podstawie 10 wysokość to $\sqrt{13^2 - 5^2} = 12$. W trapezie równoramiennym wysokości odcinają z dłuższej podstawy dwa odcinki długości $\frac{a - b}{2}$: przy podstawach 14 i 6 oraz ramieniu 5 jest $\frac{14 - 6}{2} = 4$, więc $h = \sqrt{25 - 16} = 3$, a pole $\frac{(14 + 6) \cdot 3}{2} = 30$.

16.Twierdzenie o dwusiecznej kąta wewnętrznego trójkąta

Dwusieczna kąta wewnętrznego trójkąta dzieli przeciwległy bok na odcinki proporcjonalne do boków przyległych do tego kąta. Jeśli $CD$ jest dwusieczną kąta $C$ w trójkącie $ABC$ ($D$ leży na $AB$), to $\frac{|AD|}{|DB|} = \frac{|AC|}{|BC|}$. Przykład: $|AC| = 6$, $|BC| = 9$, $|AB| = 10$; bok $AB$ dzielimy w stosunku $6 : 9 = 2 : 3$, więc $|AD| = 4$ i $|DB| = 6$. Pułapka: dwusieczna nie dzieli boku na połowy (to robi środkowa), chyba że $|AC| = |BC|$.

17.Przystawanie trójkątów

Figury przystające mają ten sam kształt i rozmiar - można je na siebie nałożyć. Trójkąty są przystające, gdy spełniają jedną z cech: (bbb) mają równe odpowiednie boki; (bkb) mają równe dwa boki i kąt między nimi; (kbk) mają równy bok i dwa kąty do niego przyległe. Przystawanie to podobieństwo w skali $k = 1$. Przykład: przekątna dzieli równoległobok na dwa trójkąty przystające (bbb), dlatego jego przeciwległe kąty są równe. Pułapka: dwa boki i kąt, który nie leży między nimi, nie wystarczą.

18.Figury podobne i skala podobieństwa

Dwie figury są podobne, gdy jedna jest powiększeniem lub pomniejszeniem drugiej: wszystkie odcinki zmieniają się tyle samo razy, a kąty się nie zmieniają. Liczbę $k > 0$, przez którą mnożymy długości, nazywamy skalą podobieństwa: $k > 1$ - powiększenie, $k < 1$ - pomniejszenie, $k = 1$ - figury przystające. Przykład: prostokąty $2 \times 3$ i $6 \times 9$ są podobne w skali $k = 3$, a prostokąty $2 \times 3$ i $3 \times 4$ nie są podobne, bo $\frac{3}{2} \ne \frac{4}{3}$.

19.Cechy podobieństwa trójkątów

Trójkąty są podobne, gdy spełniają jedną z cech: (bbb) stosunki odpowiednich boków są równe, np. 3, 4, 5 i 6, 8, 10; (bkb) dwa boki jednego są proporcjonalne do dwóch boków drugiego, a kąty między nimi są równe; (kkk) mają równe kąty - wystarczą dwa równe kąty, bo trzeci dopełnia sumę do $180^\circ$. Przykład: wszystkie trójkąty prostokątne z kątem $30^\circ$ są podobne. Układając stosunki, łącz boki leżące naprzeciw równych kątów.

20.Stosunek obwodów i pól figur podobnych

Jeśli figury są podobne w skali $k$, to stosunek ich obwodów (i wszystkich odpowiednich odcinków: wysokości, przekątnych, promieni) wynosi $k$, a stosunek pól wynosi $k^2$. Przykład: trójkąt powiększony w skali 3 ma 3 razy większy obwód, ale 9 razy większe pole. Odwrotnie: jeśli pola figur podobnych są w stosunku $16 : 25$, to skala wynosi $\sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$. Pułapka: podwojenie boków nie podwaja pola, tylko zwiększa je 4 razy.

21.Prosta równoległa do boku trójkąta odcina trójkąt podobny

Prosta równoległa do boku $AB$ trójkąta $ABC$, przecinająca boki $AC$ i $BC$ w punktach $D$ i $E$, odcina trójkąt $DEC$ podobny do $ABC$ (kąty przy $D$ i $A$ oraz przy $E$ i $B$ są odpowiadające, więc równe). Stąd $\frac{|DE|}{|AB|} = \frac{|CD|}{|CA|} = \frac{|CE|}{|CB|}$. Przykład: odcinek łączący środki dwóch boków jest równoległy do trzeciego boku i równy jego połowie, a odcięty trójkąt ma $\left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$ pola całego trójkąta.

22.Podobieństwo w trójkącie prostokątnym

Wysokość opuszczona z wierzchołka kąta prostego na przeciwprostokątną dzieli trójkąt na dwa trójkąty podobne do siebie i do całego trójkąta (wszystkie mają te same kąty). Jeśli wysokość $h$ dzieli przeciwprostokątną na odcinki $p$ i $q$, to $h^2 = p \cdot q$. Przykład: w trójkącie 6, 8, 10 wysokość dzieli przeciwprostokątną na odcinki $3{,}6$ i $6{,}4$, a $3{,}6 \cdot 6{,}4 = 23{,}04 = 4{,}8^2$. Podobnie $a^2 = p \cdot c$ dla przyprostokątnej $a$ i przyległego do niej odcinka $p$.

23.Skala na mapie i planie

Skala $1 : n$ oznacza, że 1 cm na mapie to $n$ cm w terenie, np. w skali $1 : 50\,000$ 1 cm to 500 m. Mapa i teren to figury podobne w skali $k = \frac{1}{n}$, więc pola zmieniają się $n^2$ razy. Przykład: w skali $1 : 1000$ prostokąt $3~\mathrm{cm} \times 2~\mathrm{cm}$ (pole $6~\mathrm{cm^2}$) przedstawia działkę $30~\mathrm{m} \times 20~\mathrm{m} = 600~\mathrm{m^2}$, czyli $6~\mathrm{cm^2} \cdot 1000^2$. Pułapka: pole nie zmienia się $n$ razy, tylko $n^2$ razy.

24.Figury, które są zawsze podobne

Każde dwa kwadraty, każde dwa trójkąty równoboczne, każde dwa wielokąty foremne o tej samej liczbie boków i każde dwa koła są podobne - różnią się tylko rozmiarem. Skala to stosunek boków (dla kół - promieni). Prostokąty, romby czy trójkąty równoramienne nie zawsze są podobne: prostokąt $1 \times 4$ nie jest podobny do kwadratu $2 \times 2$. Przykład: koło o promieniu 3 ma pole 4 razy mniejsze niż koło o promieniu 6, bo skala wynosi 2.

25.Długość okręgu i pole koła

Okrąg to zbiór punktów odległych od środka o promień $r$, a koło to okrąg wraz z wnętrzem. Cięciwa łączy dwa punkty okręgu; najdłuższa cięciwa to średnica $d = 2r$. Długość okręgu: $L = 2\pi r = \pi d$, pole koła: $P = \pi r^2$. Przykład: dla $r = 5$ jest $L = 10\pi$ i $P = 25\pi$. Odwrotnie: koło o polu $49\pi$ ma promień 7. Pułapka: podwojenie promienia podwaja długość okręgu, ale pole zwiększa 4 razy.

26.Długość łuku okręgu

Łuk wyznaczony przez kąt środkowy $\alpha$ to taka część okręgu, jaką częścią kąta pełnego jest $\alpha$: $l = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot 2\pi r$. Przykład: łuk o kącie $60^\circ$ w okręgu o promieniu 9 ma długość $\frac{60^\circ}{360^\circ} \cdot 18\pi = 3\pi$. Łuk o kącie $90^\circ$ to ćwierć okręgu, a o kącie $180^\circ$ - półokrąg. Obwód figury ograniczonej łukami i odcinkami to suma długości łuków i odcinków.

27.Pole wycinka koła

Wycinek koła to część koła ograniczona dwoma promieniami i łukiem. Jego pole wynosi $P = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot \pi r^2$, gdzie $\alpha$ jest kątem środkowym. Wycinek o kącie $120^\circ$ koła o promieniu 6 ma pole $\frac{1}{3} \cdot 36\pi = 12\pi$. Przydatny wzór: $P = \frac{1}{2}lr$, gdzie $l$ to długość łuku wycinka. Odcinek koła jest ograniczony cięciwą i łukiem. Dla $0^\circ < \alpha < 180^\circ$ jego pole to pole wycinka minus pole trójkąta utworzonego przez promienie i cięciwę; dla $180^\circ < \alpha < 360^\circ$ - suma tych pól. Przy $\alpha = 180^\circ$ odcinek koła jest półkolem.

28.Kąt środkowy i kąt wpisany

Kąt środkowy ma wierzchołek w środku okręgu. Kąt wpisany ma wierzchołek na okręgu, a jego ramiona zawierają cięciwy. Twierdzenie: kąt wpisany jest równy połowie kąta środkowego opartego na tym samym łuku. Przykład: jeśli kąt środkowy ma $110^\circ$, to kąt wpisany oparty na tym samym łuku ma $55^\circ$. Odwrotnie: kąt środkowy jest dwa razy większy od wpisanego. Pułapka: oba kąty muszą być oparte na tym samym łuku.

29.Wnioski z twierdzenia o kącie wpisanym

Kąty wpisane oparte na tym samym łuku są równe. Kąt wpisany oparty na półokręgu (na średnicy) jest prosty, bo odpowiadający mu kąt środkowy ma $180^\circ$; dlatego przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego wpisanego w okrąg jest średnicą. Kąty wpisane oparte na łukach, które razem dają cały okrąg, sumują się do $180^\circ$. Przykład: jeśli $AB$ jest średnicą, $C$ leży na okręgu i $|\angle CAB| = 35^\circ$, to $|\angle ABC| = 55^\circ$.

30.Styczna do okręgu

Styczna ma z okręgiem dokładnie jeden punkt wspólny i jest prostopadła do promienia poprowadzonego do punktu styczności. Odcinki stycznych poprowadzonych z jednego punktu $P$ do okręgu mają równe długości. Przykład: punkt $P$ leży w odległości 13 od środka okręgu o promieniu 5; odcinek stycznej ma długość $\sqrt{13^2 - 5^2} = 12$ (kąt prosty jest w punkcie styczności). Prosta w odległości $d$ od środka: $d > r$ - rozłączna z okręgiem, $d = r$ - styczna, $d < r$ - sieczna.

31.Wzajemne położenie dwóch okręgów

O położeniu okręgów o promieniach $R \ge r$ decyduje odległość środków $d$. Rozłączne zewnętrznie: $d > R + r$. Styczne zewnętrznie: $d = R + r$. Przecinające się w dwóch punktach: $R - r < d < R + r$. Styczne wewnętrznie: $d = R - r$ (dla $R \ne r$). Rozłączne wewnętrznie: $d < R - r$ (współśrodkowe, gdy $d = 0$). Przykład: okręgi o promieniach 5 i 3 przy $d = 8$ są styczne zewnętrznie, przy $d = 2$ - styczne wewnętrznie, a przy $d = 6$ się przecinają.

32.Okrąg opisany na trójkącie

Okrąg opisany na trójkącie przechodzi przez wszystkie jego wierzchołki. Jego środek to punkt przecięcia symetralnych boków (każdy punkt symetralnej jest równo odległy od końców boku). Na każdym trójkącie da się opisać okrąg. Środek leży wewnątrz trójkąta ostrokątnego, na zewnątrz rozwartokątnego, a w trójkącie prostokątnym - w środku przeciwprostokątnej, więc $R = \frac{c}{2}$. Przykład: dla trójkąta o bokach 5, 12, 13 jest $R = 6{,}5$.

33.Okrąg wpisany w trójkąt

Okrąg wpisany w trójkąt jest styczny do wszystkich jego boków. Jego środek to punkt przecięcia dwusiecznych kątów trójkąta (każdy punkt dwusiecznej jest równo odległy od ramion kąta). W każdy trójkąt da się wpisać okrąg, a jego środek leży zawsze wewnątrz trójkąta. Pole trójkąta: $P = p \cdot r$, gdzie $p$ to połowa obwodu. W trójkącie prostokątnym $r = \frac{a + b - c}{2}$. Przykład: dla boków 6, 8, 10 jest $r = \frac{6 + 8 - 10}{2} = 2$ i $P = 12 \cdot 2 = 24$.

34.Odcinki stycznych w trójkącie z okręgiem wpisanym

Punkty styczności okręgu wpisanego dzielą boki trójkąta na odcinki; dwa odcinki wychodzące z tego samego wierzchołka są równe. Jeśli oznaczymy je $x$, $y$, $z$, to boki mają długości $x + y$, $y + z$, $z + x$, a $x + y + z = p$ (połowa obwodu). Odcinki przy wierzchołku leżącym naprzeciw boku $a$ mają więc długość $p - a$. Przykład: w trójkącie o bokach 7, 8, 9 jest $p = 12$, więc przy wierzchołku naprzeciw boku 7 odcinki mają $12 - 7 = 5$.

35.Okręgi wpisany i opisany w trójkącie równobocznym

W trójkącie równobocznym środki okręgów wpisanego i opisanego pokrywają się i leżą w punkcie przecięcia wysokości, który dzieli każdą wysokość w stosunku $2 : 1$. Dlatego $R = \frac{2}{3}h = \frac{a\sqrt{3}}{3}$ i $r = \frac{1}{3}h = \frac{a\sqrt{3}}{6}$, więc $R = 2r$. Przykład: dla boku $a = 6$ jest $h = 3\sqrt{3}$, $R = 2\sqrt{3}$ i $r = \sqrt{3}$.

36.Kwadrat i sześciokąt foremny - okręgi wpisany i opisany

Kwadrat o boku $a$: promień okręgu opisanego to połowa przekątnej, $R = \frac{a\sqrt{2}}{2}$, a wpisanego - połowa boku, $r = \frac{a}{2}$. Sześciokąt foremny o boku $a$ składa się z 6 trójkątów równobocznych o boku $a$, więc $R = a$, a $r$ to wysokość takiego trójkąta: $r = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. Pole sześciokąta: $P = 6 \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2}$. Przykład: sześciokąt foremny wpisany w okrąg o promieniu 5 ma bok 5 i obwód 30.

37.Wielokąt foremny wpisany w okrąg i opisany na okręgu

Na każdym wielokącie foremnym można opisać okrąg i w każdy można wpisać okrąg; oba okręgi mają wspólny środek. Odcinki łączące środek z wierzchołkami dzielą $n$-kąt foremny na $n$ przystających trójkątów równoramiennych o kącie przy środku $\frac{360^\circ}{n}$, np. $72^\circ$ w pięciokącie, $45^\circ$ w ośmiokącie. Pole wielokąta foremnego to $P = \frac{1}{2} \cdot O \cdot r$, gdzie $O$ to obwód, a $r$ - promień okręgu wpisanego. Przykład: dla kwadratu o boku 4 jest $P = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 2 = 16$.

38.Czworokąt wpisany w okrąg

Czworokąt wypukły można wpisać w okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy sumy miar jego przeciwległych kątów wynoszą $180^\circ$. Wynika to z twierdzenia o kącie wpisanym: kąty przeciwległe opierają się na łukach, które razem dają cały okrąg. Przykład: jeśli w czworokącie wpisanym w okrąg $|\angle A| = 75^\circ$, to $|\angle C| = 105^\circ$. W okrąg można wpisać każdy prostokąt i każdy trapez równoramienny, ale nie romb, który nie jest kwadratem.

39.Czworokąt opisany na okręgu

W czworokąt wypukły można wpisać okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości jego przeciwległych boków są równe: $a + c = b + d$. Wynika to z równości odcinków stycznych poprowadzonych z każdego wierzchołka. Przykład: w trapez o podstawach 9 i 4 wpisano okrąg, więc suma ramion to $9 + 4 = 13$, a w trapezie równoramiennym każde ramię ma $6{,}5$. Okrąg można wpisać w każdy romb, ale nie w prostokąt, który nie jest kwadratem.

40.Pole pierścienia i figur złożonych z części koła

Pierścień kołowy to obszar między dwoma okręgami współśrodkowymi o promieniach $R > r$; jego pole to $P = \pi R^2 - \pi r^2 = \pi(R^2 - r^2)$. Przykład: dla $R = 5$ i $r = 3$ jest $P = 16\pi$. Pola figur ograniczonych łukami liczymy, dodając i odejmując pola kół, wycinków i wielokątów. Przykład: kwadrat o boku 2 bez ćwiartki koła o promieniu 2 i środku w wierzchołku kwadratu ma pole $4 - \pi$. Pułapka: $R^2 - r^2 \ne (R - r)^2$.