Zachodniopomorski Konkurs Matematyczny - liczby i algebra

1.Zbiór, element i symbole $\in$, $\notin$

Zbiór to kolekcja obiektów, które nazywamy jego elementami. Zapis $a \in A$ czytamy „a należy do A”, a $a \notin A$ - „a nie należy do A”. Zbiór skończony zapisujemy, wyliczając elementy w nawiasie klamrowym, np. $A = \{2, 4, 6\}$; kolejność i powtórzenia nie mają znaczenia, więc $\{2, 4, 6\} = \{6, 2, 4\}$. Zbiór pusty $\emptyset$ nie ma żadnego elementu. Przykład: $4 \in \{2, 4, 6\}$, ale $5 \notin \{2, 4, 6\}$.

2.Podzbiór i liczba podzbiorów

Zbiór $A$ jest podzbiorem zbioru $B$ (zapis $A \subset B$), gdy każdy element $A$ należy też do $B$. Każdy zbiór jest swoim podzbiorem, a zbiór pusty jest podzbiorem każdego zbioru. Zbiór o $n$ elementach ma $2^n$ podzbiorów, bo każdy element albo bierzemy, albo nie. Przykład: $\{a, b\}$ ma 4 podzbiory: $\emptyset$, $\{a\}$, $\{b\}$, $\{a, b\}$. Uwaga: $\in$ łączy element ze zbiorem, a $\subset$ - zbiór ze zbiorem.

3.Suma i iloczyn (część wspólna) zbiorów

Suma $A \cup B$ to zbiór elementów, które należą do $A$ lub do $B$ (do co najmniej jednego z nich). Iloczyn, czyli część wspólna $A \cap B$, to zbiór elementów należących jednocześnie do $A$ i do $B$. Przykład: dla $A = \{1, 2, 3, 4\}$ i $B = \{3, 4, 5\}$ mamy $A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ oraz $A \cap B = \{3, 4\}$. Zbiory bez wspólnych elementów ($A \cap B = \emptyset$) nazywamy rozłącznymi.

4.Różnica zbiorów $A \setminus B$

Różnica $A \setminus B$ to zbiór elementów, które należą do $A$ i nie należą do $B$ - z $A$ wyrzucamy wszystko, co jest w $B$. Przykład: dla $A = \{1, 2, 3, 4\}$ i $B = \{3, 4, 5\}$ mamy $A \setminus B = \{1, 2\}$, a $B \setminus A = \{5\}$. Różnica nie jest przemienna: zwykle $A \setminus B \ne B \setminus A$. Jeśli $A \subset B$, to $A \setminus B = \emptyset$.

5.Liczba elementów sumy dwóch zbiorów

Liczba elementów sumy to suma liczebności obu zbiorów minus liczba elementów wspólnych, bo elementy wspólne policzyliśmy dwa razy: $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$, gdzie $n(X)$ to liczba elementów zbioru $X$. Przykład: 12 uczniów gra w szachy, 9 w warcaby, a 4 w obie gry - w co najmniej jedną grę gra $12 + 9 - 4 = 17$ uczniów. Pomaga rysunek dwóch zachodzących na siebie kół (diagram Venna): zacznij wpisywanie od części wspólnej.

6.Przedziały ograniczone: otwarty, domknięty, jednostronnie domknięty

Przedział to zbiór wszystkich liczb rzeczywistych leżących między dwiema liczbami. Nawias okrągły oznacza, że końca nie bierzemy, a kwadratowy - że bierzemy: $(a, b)$ to $a < x < b$; $[a, b]$ to $a \le x \le b$; $[a, b)$ to $a \le x < b$; $(a, b]$ to $a < x \le b$. Na osi koniec należący do przedziału zaznaczamy pełnym kółkiem, a nienależący - pustym. Przykład: $[-1, 3)$ zawiera $-1$ i $2{,}99$, ale nie zawiera $3$.

7.Przedziały nieograniczone

Gdy liczby spełniają tylko jedną nierówność, przedział ciągnie się w nieskończoność: $x > a$ to $(a, +\infty)$, $x \ge a$ to $[a, +\infty)$, $x < a$ to $(-\infty, a)$, $x \le a$ to $(-\infty, a]$. Przy symbolu nieskończoności zawsze stoi nawias okrągły, bo $\infty$ nie jest liczbą i nie należy do przedziału. Cała oś liczbowa to $(-\infty, +\infty) = \mathbb{R}$. Przykład: „$x$ nie mniejsze niż $1{,}5$” to $[1{,}5; +\infty)$.

8.Działania na przedziałach

Przedziały to zbiory, więc łączymy je jak zbiory: zaznacz oba na jednej osi, jeden nad drugim. Część wspólna to fragment zaznaczony dwa razy, suma - wszystko, co zaznaczone choć raz, a różnica $A \setminus B$ - część $A$ bez części $B$. Pilnuj końców: koniec należy do wyniku tylko wtedy, gdy spełnia warunek działania. Przykład: $[1, 5) \cap (3, 7] = (3, 5)$, $[1, 5) \cup (3, 7] = [1, 7]$, $[1, 5) \setminus (3, 7] = [1, 3]$.

9.Zbiory liczbowe: naturalne, całkowite, wymierne, niewymierne, rzeczywiste

Liczby naturalne $\mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, \ldots\}$ (w polskiej szkole 0 jest liczbą naturalną). Całkowite $\mathbb{C}$ (także $\mathbb{Z}$): naturalne i liczby do nich przeciwne. Wymierne $\mathbb{W}$ (także $\mathbb{Q}$): liczby postaci $\frac{p}{q}$, gdzie $p$, $q$ są całkowite i $q \ne 0$. Niewymierne: liczby, których nie da się tak zapisać, np. $\sqrt{2}$, $\pi$. Wymierne i niewymierne razem tworzą liczby rzeczywiste $\mathbb{R}$. Zachodzi $\mathbb{N} \subset \mathbb{C} \subset \mathbb{W} \subset \mathbb{R}$.

10.Rozwinięcie dziesiętne liczby wymiernej

Każda liczba wymierna ma rozwinięcie dziesiętne skończone (np. $\frac{3}{8} = 0{,}375$) albo nieskończone okresowe (np. $\frac{5}{6} = 0{,}8333\ldots = 0{,}8(3)$; okres piszemy w nawiasie). Ułamek nieskracalny ma rozwinięcie skończone dokładnie wtedy, gdy jego mianownik rozkłada się tylko na czynniki 2 i 5. Przykład: $\frac{7}{20}$ - skończone ($20 = 2^2 \cdot 5$), $\frac{7}{12}$ - okresowe ($12$ ma czynnik 3). Najpierw skróć ułamek: $\frac{9}{15} = \frac{3}{5} = 0{,}6$.

11.Zamiana ułamka okresowego na ułamek zwykły

Gdy okres zaczyna się zaraz po przecinku, okres dzielimy przez tyle dziewiątek, ile ma cyfr: $0{,}(7) = \frac{7}{9}$, $0{,}(27) = \frac{27}{99} = \frac{3}{11}$. Skąd to? Dla $x = 0{,}(27)$ mamy $100x = 27{,}(27)$, więc $100x - x = 27$ i $x = \frac{27}{99}$. Gdy okres zaczyna się dalej, mnożymy tak, by odjąć same okresy: dla $x = 0{,}1(6)$ jest $100x - 10x = 16{,}(6) - 1{,}(6) = 15$, więc $x = \frac{15}{90} = \frac{1}{6}$. Ciekawostka: $0{,}(9) = 1$.

12.Liczby niewymierne i działania na nich

Liczba niewymierna ma rozwinięcie dziesiętne nieskończone i nieokresowe, np. $\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$, $\pi$. Pierwiastek kwadratowy z liczby naturalnej, która nie jest kwadratem liczby naturalnej, jest niewymierny. Suma liczby wymiernej i niewymiernej jest zawsze niewymierna (np. $3 + \sqrt{2}$), ale suma lub iloczyn dwóch niewymiernych bywa wymierny: $\sqrt{2} \cdot \sqrt{8} = 4$, $(1 + \sqrt{3}) + (1 - \sqrt{3}) = 2$. Pułapka: $\frac{22}{7}$ i $3{,}14$ to tylko przybliżenia liczby $\pi$.

13.Wartość bezwzględna liczby - definicja

Wartość bezwzględna liczby nieujemnej to ta sama liczba, a liczby ujemnej - liczba do niej przeciwna: $|a| = a$ dla $a \ge 0$ oraz $|a| = -a$ dla $a < 0$. Dlatego $|a| \ge 0$ i $|-a| = |a|$, np. $|-7| = 7$, $|0| = 0$. Przy wyrażeniach najpierw ustal znak środka: $|3 - \pi| = \pi - 3$, bo $3 - \pi < 0$, oraz $|\sqrt{2} - 1| = \sqrt{2} - 1$, bo $\sqrt{2} > 1$. Pułapka: $\sqrt{a^2} = |a|$, np. $\sqrt{(-5)^2} = 5$.

14.Wartość bezwzględna jako odległość na osi liczbowej

$|a|$ to odległość liczby $a$ od zera na osi liczbowej, a $|a - b|$ - odległość między liczbami $a$ i $b$. Przykład: odległość między $-3$ i $5$ to $|5 - (-3)| = 8$. Dzięki temu proste równania rozwiązujemy w pamięci: $|x - 2| = 5$ znaczy „$x$ leży w odległości 5 od 2”, więc $x = 7$ lub $x = -3$. Równanie $|x| = a$ ma dwa rozwiązania dla $a > 0$, jedno ($x = 0$) dla $a = 0$ i żadnego dla $a < 0$. Uwaga: $|x + 1| = |x - (-1)|$ to odległość od $-1$.

15.Nierówności z wartością bezwzględną

Nierówność $|x| < a$ (dla $a > 0$) oznacza, że $x$ leży bliżej zera niż $a$, czyli $-a < x < a$ - to przedział $(-a, a)$. Nierówność $|x| > a$ oznacza $x < -a$ lub $x > a$ - to suma przedziałów $(-\infty, -a) \cup (a, +\infty)$. Tak samo z przesunięciem: $|x - 1| \le 3$ spełniają liczby odległe od 1 o co najwyżej 3, czyli $[-2, 4]$. Przy $\le$ i $\ge$ końce należą do zbioru rozwiązań.

16.Zapis pozycyjny liczby: $10a + b$

W systemie dziesiątkowym wartość cyfry zależy od jej miejsca (pozycji): $3527 = 3 \cdot 1000 + 5 \cdot 100 + 2 \cdot 10 + 7$. Liczbę dwucyfrową o cyfrze dziesiątek $a$ i cyfrze jedności $b$ zapisujemy jako $10a + b$, a trzycyfrową jako $100a + 10b + c$. To klucz do zadań z cyframi: suma liczby dwucyfrowej i liczby o przestawionych cyfrach to $(10a + b) + (10b + a) = 11(a + b)$, więc zawsze dzieli się przez 11.

17.Systemy pozycyjne o innej podstawie - zamiana na dziesiątkowy

W systemie o podstawie $p$ używamy cyfr od 0 do $p - 1$, a kolejne pozycje (od prawej) mają wartości $1, p, p^2, p^3, \ldots$ W systemie dwójkowym są tylko cyfry 0 i 1, a pozycje to 1, 2, 4, 8, 16, ... Aby zamienić liczbę na system dziesiątkowy, mnożymy cyfry przez wartości pozycji i dodajemy: $1011_{(2)} = 8 + 0 + 2 + 1 = 11$, $124_{(5)} = 1 \cdot 25 + 2 \cdot 5 + 4 = 39$. Pułapka: w systemie piątkowym nie ma cyfry 5.

18.Zamiana z systemu dziesiątkowego na inny system

Liczbę dzielimy z resztą przez podstawę systemu, potem otrzymany iloraz znowu dzielimy, aż iloraz będzie równy 0. Reszty odczytane od końca (od ostatniej do pierwszej) dają zapis liczby. Przykład: $13 : 2 = 6$ r. 1, $6 : 2 = 3$ r. 0, $3 : 2 = 1$ r. 1, $1 : 2 = 0$ r. 1, więc $13 = 1101_{(2)}$. Druga metoda: rozkład na potęgi podstawy, np. $13 = 8 + 4 + 1$. Sprawdzenie: $1101_{(2)} = 8 + 4 + 0 + 1 = 13$.

19.System rzymski

Znaki: I = 1, V = 5, X = 10, L = 50, C = 100, D = 500, M = 1000. Wartości zwykle dodajemy, idąc od największych: MDCLXVI = 1666. Mniejszy znak przed większym odejmujemy, ale tylko w parach IV = 4, IX = 9, XL = 40, XC = 90, CD = 400, CM = 900. Ten sam znak piszemy najwyżej trzy razy z rzędu (III = 3, ale 4 = IV), a V, L i D się nie powtarzają. Przykład: MCMXCIX = 1000 + 900 + 90 + 9 = 1999.

20.Cechy podzielności przez 2, 5, 10, 4, 25 i 8

Przez 2, 5 i 10 decyduje ostatnia cyfra (parzysta; 0 lub 5; 0). Przez 4 i przez 25 - liczba utworzona z dwóch ostatnich cyfr (bo 100 dzieli się przez 4 i przez 25). Przez 8 - liczba z trzech ostatnich cyfr (bo 1000 dzieli się przez 8). Przykłady: 7316 dzieli się przez 4, bo 16 dzieli się przez 4; 5375 dzieli się przez 25, bo 75 dzieli się przez 25; 21136 dzieli się przez 8, bo $136 = 8 \cdot 17$. Pułapka: liczba podzielna przez 4 nie musi dzielić się przez 8 (np. 12).

21.Cechy podzielności przez 3, 9 i 11 oraz łączenie cech

Przez 3 (przez 9) dzieli się liczba, której suma cyfr dzieli się przez 3 (przez 9). Przez 11 - gdy różnica sumy cyfr na miejscach nieparzystych i sumy cyfr na miejscach parzystych (licząc od prawej) dzieli się przez 11, np. dla 8547: $(7 + 5) - (4 + 8) = 0$, więc 8547 dzieli się przez 11. Dla dzielników złożonych łączymy cechy liczb względnie pierwszych: przez 6 = przez 2 i 3, przez 12 = przez 3 i 4, przez 18 = przez 2 i 9, przez 36 = przez 4 i 9.

22.Liczby pierwsze i rozkład na czynniki pierwsze

Liczba pierwsza ma dokładnie dwa dzielniki: 1 i samą siebie (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, ...). Liczba złożona ma więcej dzielników. 0 i 1 nie są ani pierwsze, ani złożone, a 2 to jedyna parzysta liczba pierwsza. Każdą liczbę złożoną można jednoznacznie rozłożyć na czynniki pierwsze: $360 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5$. Aby sprawdzić, czy $n$ jest pierwsza, wystarczy dzielić ją przez liczby pierwsze nie większe niż $\sqrt{n}$, np. 97 - przez 2, 3, 5 i 7.

23.NWD i NWW

NWD to największy wspólny dzielnik, a NWW - najmniejsza wspólna wielokrotność dwóch liczb. Z rozkładów: NWD to iloczyn wspólnych czynników w najmniejszych potęgach, NWW - wszystkich czynników w największych potęgach. Przykład: $12 = 2^2 \cdot 3$, $18 = 2 \cdot 3^2$, więc $\mathrm{NWD} = 2 \cdot 3 = 6$, $\mathrm{NWW} = 2^2 \cdot 3^2 = 36$. Zawsze $\mathrm{NWD}(a, b) \cdot \mathrm{NWW}(a, b) = a \cdot b$: $6 \cdot 36 = 12 \cdot 18 = 216$. Liczby o NWD równym 1 są względnie pierwsze.

24.Dzielenie z resztą i rachunek na resztach

Dla liczb naturalnych $a$ i $b > 0$: $a = b \cdot q + r$, gdzie $q$ to iloraz, a reszta spełnia $0 \le r < b$. Przykład: $47 = 6 \cdot 7 + 5$. Każda liczba całkowita ma postać $3k$, $3k + 1$ albo $3k + 2$. Reszta z sumy lub iloczynu jest taka jak reszta z sumy lub iloczynu reszt: $17 \cdot 23$ przy dzieleniu przez 5 daje resztę taką jak $2 \cdot 3 = 6$, czyli 1. Ostatnie cyfry potęg powtarzają się: dla $2^n$ cyklicznie 2, 4, 8, 6.

25.Jednomiany podobne i redukcja wyrazów podobnych

Jednomian to iloczyn liczby i liter, np. $-3x^2y$. Jednomiany podobne mają te same litery w tych samych potęgach (różnią się najwyżej współczynnikiem), np. $5ab^2$ i $-2ab^2$. Dodajemy je, dodając współczynniki: $5ab^2 - 2ab^2 = 3ab^2$; natomiast $x^2$ i $x$ nie są podobne. Minus przed nawiasem zmienia znaki wszystkich wyrazów: $-(2x - 3) = -2x + 3$. Przykład: $3(2x - 1) - (x - 4) = 6x - 3 - x + 4 = 5x + 1$.

26.Mnożenie sum algebraicznych i wyłączanie przed nawias

Sumę mnożymy przez jednomian, mnożąc każdy wyraz: $2x(x - 3) = 2x^2 - 6x$. Dwie sumy mnożymy „każdy wyraz przez każdy”, a potem redukujemy: $(x + 4)(x - 2) = x^2 - 2x + 4x - 8 = x^2 + 2x - 8$. Działanie odwrotne to wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias: $6a^2 - 9a = 3a(2a - 3)$. Wynik sprawdzisz, podstawiając liczbę, np. $x = 1$: $(1 + 4)(1 - 2) = -5$ i $1 + 2 - 8 = -5$.

27.Kwadrat sumy i kwadrat różnicy

$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ oraz $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Słownie: kwadrat pierwszego, plus (minus) podwojony iloczyn, plus kwadrat drugiego. Przykłady: $(x + 3)^2 = x^2 + 6x + 9$, $(2x - 5)^2 = 4x^2 - 20x + 25$, $51^2 = (50 + 1)^2 = 2601$. Najczęstszy błąd: $(a + b)^2 \ne a^2 + b^2$ - brakuje podwojonego iloczynu. Zawsze $(b - a)^2 = (a - b)^2$. Wzory działają też od prawej: $x^2 - 10x + 25 = (x - 5)^2$.

28.Różnica kwadratów

$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$. Wzór pozwala rozkładać wyrażenia na czynniki i szybko liczyć w pamięci: $x^2 - 49 = (x - 7)(x + 7)$, $48 \cdot 52 = (50 - 2)(50 + 2) = 2500 - 4 = 2496$, $73^2 - 27^2 = 46 \cdot 100 = 4600$. Pułapka: suma kwadratów $a^2 + b^2$ nie rozkłada się w ten sposób. Ten wzór służy też do usuwania niewymierności: $(\sqrt{5} - 2)(\sqrt{5} + 2) = 5 - 4 = 1$.

29.Sprytne zastosowania wzorów skróconego mnożenia

Wzory łączą sumę, iloczyn i sumę kwadratów dwóch liczb: $a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab$ oraz $(a + b)^2 - (a - b)^2 = 4ab$. Przykład: jeśli $a + b = 6$ i $ab = 5$, to $a^2 + b^2 = 36 - 10 = 26$ - nie trzeba znać $a$ i $b$. Podobnie z $x + \frac{1}{x} = 3$ wynika $x^2 + \frac{1}{x^2} = 9 - 2 = 7$, bo $2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} = 2$. W dowodach przydaje się, że kwadrat jest nieujemny: $(a - b)^2 \ge 0$, więc $a^2 + b^2 \ge 2ab$.

30.Pierwiastki: mnożenie i wyłączanie czynnika przed pierwiastek

Dla liczb nieujemnych $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ oraz $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ (dla $b > 0$). Wyłączanie czynnika: rozłóż liczbę na największy kwadrat i resztę, np. $\sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}$. Włączanie: $3\sqrt{2} = \sqrt{18}$. Dodawać można tylko pierwiastki podobne: $\sqrt{8} + \sqrt{18} = 2\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = 5\sqrt{2}$. Pułapka: $\sqrt{a + b} \ne \sqrt{a} + \sqrt{b}$, np. $\sqrt{9 + 16} = 5$, a nie 7.

31.Usuwanie niewymierności z mianownika: mianownik $\sqrt{b}$

Usunąć niewymierność z mianownika to zapisać ułamek tak, by w mianowniku nie było pierwiastka. Gdy mianownik to $\sqrt{b}$ (lub $c\sqrt{b}$), mnożymy licznik i mianownik przez $\sqrt{b}$, bo $\sqrt{b} \cdot \sqrt{b} = b$: $\frac{a}{\sqrt{b}} = \frac{a\sqrt{b}}{b}$. Przykłady: $\frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$, $\frac{1}{2\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{10}$. Wartość ułamka się nie zmienia, bo mnożymy go przez $\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}} = 1$.

32.Usuwanie niewymierności: mianownik $a + \sqrt{b}$ lub $a - \sqrt{b}$

Mnożymy licznik i mianownik przez wyrażenie sprzężone (ten sam dwumian z przeciwnym znakiem w środku) i korzystamy z różnicy kwadratów: $(a - \sqrt{b})(a + \sqrt{b}) = a^2 - b$. Przykład: $\frac{1}{\sqrt{2} + 1} = \frac{\sqrt{2} - 1}{(\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} - 1)} = \frac{\sqrt{2} - 1}{2 - 1} = \sqrt{2} - 1$. Tak samo $\frac{4}{3 - \sqrt{5}} = \frac{4(3 + \sqrt{5})}{9 - 5} = 3 + \sqrt{5}$. Metoda działa też dla mianownika $\sqrt{a} - \sqrt{b}$.

33.Obliczenia procentowe - trzy podstawowe zadania

Procent to setna część: $p\% = \frac{p}{100}$. 1) $p\%$ liczby $a$ to $\frac{p}{100} \cdot a$, np. 15% z 80 to $0{,}15 \cdot 80 = 12$. 2) Liczba $b$ stanowi $\frac{b}{a} \cdot 100\%$ liczby $a$, np. 12 to $\frac{12}{80} = 15\%$ liczby 80. 3) Liczbę, której $p\%$ wynosi $b$, obliczamy jako $b : \frac{p}{100}$, np. jeśli 15% liczby to 12, liczba to $12 : 0{,}15 = 80$. W zadaniach z treścią najpierw ustal, co jest całością (100%).

34.Podwyżki, obniżki i punkty procentowe

Podwyżka o $p\%$ to mnożenie przez $1 + \frac{p}{100}$, a obniżka o $p\%$ - przez $1 - \frac{p}{100}$. Kolejne zmiany mnożymy, a nie dodajemy: podwyżka o 10%, a potem o 20% daje $1{,}1 \cdot 1{,}2 = 1{,}32$, czyli wzrost o 32%, a nie o 30%. Podwyżka o 25% i obniżka o 20% przywracają cenę wyjściową, bo $1{,}25 \cdot 0{,}8 = 1$. Punkt procentowy to różnica dwóch wartości procentowych: wzrost z 4% do 6% to wzrost o 2 punkty procentowe, ale o 50%.

35.Proporcjonalność prosta

Wielkości $x$ i $y$ są wprost proporcjonalne, gdy ich iloraz jest stały: $\frac{y}{x} = a$, czyli $y = a \cdot x$ ($a$ to współczynnik proporcjonalności). Ile razy rośnie $x$, tyle razy rośnie $y$. Wykres to półprosta lub prosta przechodząca przez punkt $(0, 0)$. Przykład: 1 kg kosztuje 4 zł, więc $y = 4x$, a 2,5 kg kosztuje 10 zł. Podział liczby 60 w stosunku $2 : 3$: $60 : 5 = 12$, więc części to $2 \cdot 12 = 24$ i $3 \cdot 12 = 36$.

36.Równanie pierwszego stopnia - metoda równań równoważnych

Rozwiązać równanie to znaleźć liczby, które je spełniają. Równanie zamieniamy na prostsze, równoważne: do obu stron dodajemy lub od obu odejmujemy to samo, obie strony mnożymy lub dzielimy przez tę samą liczbę różną od 0. Ułamków pozbywamy się, mnożąc obie strony przez wspólny mianownik. Przykład: $3(x - 2) = x + 4$, $3x - 6 = x + 4$, $2x = 10$, $x = 5$. Sprawdzenie: lewa strona $3 \cdot 3 = 9$, prawa $5 + 4 = 9$.

37.Równanie sprzeczne i równanie tożsamościowe

Po uporządkowaniu równanie pierwszego stopnia ma postać $ax = b$. Gdy $a \ne 0$, ma jedno rozwiązanie $x = \frac{b}{a}$. Gdy wyjdzie fałsz, np. $0 \cdot x = 3$, równanie jest sprzeczne - nie ma rozwiązań: $2x + 1 = 2(x + 1)$ daje $1 = 2$. Gdy wyjdzie prawda, np. $0 \cdot x = 0$, równanie jest tożsamościowe - spełnia je każda liczba: $3(x + 2) = 3x + 6$. Pułapka: nie dziel obu stron przez wyrażenie, które może być zerem.

38.Układ równań - metoda podstawiania

Rozwiązanie układu dwóch równań z niewiadomymi $x$ i $y$ to para liczb spełniająca oba równania naraz. Metoda podstawiania: z jednego równania wyznacz jedną niewiadomą i wstaw ją do drugiego. Przykład: $x + y = 7$ i $2x - y = 5$. Z pierwszego $y = 7 - x$, więc $2x - (7 - x) = 5$, $3x = 12$, $x = 4$, $y = 3$. Sprawdź wynik w obu równaniach: $4 + 3 = 7$ i $8 - 3 = 5$.

39.Układ równań - metoda przeciwnych współczynników

Mnożymy równania przez takie liczby, aby przy jednej niewiadomej współczynniki były liczbami przeciwnymi, a potem dodajemy równania stronami - ta niewiadoma znika. Przykład: $2x + 3y = 13$ i $5x - 3y = 1$; po dodaniu $7x = 14$, $x = 2$, a z pierwszego $3y = 9$, $y = 3$. Gdy współczynniki nie są przeciwne, najpierw mnożymy: w układzie $3x + 2y = 7$ i $x + y = 3$ drugie równanie razy $(-2)$ daje $-2x - 2y = -6$, po dodaniu $x = 1$, potem $y = 2$.

40.Liczba rozwiązań układu: oznaczony, sprzeczny, nieoznaczony

Układ równań pierwszego stopnia ma jedno rozwiązanie (oznaczony), nie ma rozwiązań (sprzeczny) albo ma nieskończenie wiele rozwiązań (nieoznaczony). Jest sprzeczny, gdy lewe strony są proporcjonalne, a prawe nie: $x + 2y = 3$ i $2x + 4y = 7$ (po pomnożeniu pierwszego przez 2 wychodzi $6 = 7$). Jest nieoznaczony, gdy jedno równanie jest wielokrotnością drugiego: $x + 2y = 3$ i $2x + 4y = 6$. Graficznie każde równanie to prosta: przecinające się, równoległe albo pokrywające się.