Wojewódzki Konkurs Przedmiotowy z Matematyki (śląskie) - koło, bryły i dane

1.Liczba $\pi$

Dla każdego okręgu stosunek jego długości do średnicy jest taki sam - to liczba $\pi$. Jest liczbą niewymierną (jej rozwinięcie dziesiętne jest nieskończone i nieokresowe): $\pi = 3{,}14159\ldots$ W obliczeniach przybliżonych przyjmujemy $\pi \approx 3{,}14$ albo $\pi \approx \frac{22}{7}$. Gdy zadanie nie każe przybliżać, wynik zostawiamy z $\pi$, np. $10\pi$.

2.Długość okręgu

Okrąg o promieniu $r$ i średnicy $d = 2r$ ma długość $L = 2\pi r = \pi d$. Przykład: okrąg o promieniu 5 cm ma długość $10\pi~\mathrm{cm} \approx 31{,}4~\mathrm{cm}$. Długość okręgu rośnie proporcjonalnie do promienia: dwa razy większy promień daje dwa razy dłuższy okrąg. Obwód koła to długość okręgu, który je ogranicza.

3.Pole koła

Koło o promieniu $r$ ma pole $P = \pi r^2$. Przykład: koło o promieniu 3 cm ma pole $9\pi~\mathrm{cm^2} \approx 28{,}26~\mathrm{cm^2}$. Gdy znamy średnicę, najpierw dzielimy ją przez 2. Pole rośnie z kwadratem promienia: dwa razy większy promień daje cztery razy większe pole.

4.Promień z długości okręgu lub pola koła; pierścień kołowy

Z długości okręgu: $r = \frac{L}{2\pi}$, np. dla $L = 12\pi$ mamy $r = 6$. Z pola koła: $r^2 = \frac{P}{\pi}$, np. dla $P = 49\pi$ mamy $r^2 = 49$, więc $r = 7$. Pierścień kołowy to część koła o promieniu $R$ leżąca poza kołem o tym samym środku i promieniu $r$; jego pole to $\pi R^2 - \pi r^2$. Dla $R = 4$ i $r = 2$ pole pierścienia wynosi $16\pi - 4\pi = 12\pi$.

5.Symetralna odcinka

Symetralna odcinka to prosta prostopadła do tego odcinka, przechodząca przez jego środek. Każdy punkt symetralnej jest jednakowo odległy od obu końców odcinka, a każdy punkt jednakowo odległy od końców leży na symetralnej. Konstrukcja: z obu końców odcinka zataczamy cyrklem łuki o tym samym promieniu, większym od połowy odcinka; prosta przechodząca przez dwa punkty przecięcia łuków to symetralna.

6.Dwusieczna kąta

Dwusieczna kąta to półprosta o początku w wierzchołku, która dzieli kąt na dwa kąty o równych miarach. Każdy punkt dwusiecznej jest jednakowo odległy od obu ramion kąta. Konstrukcja: z wierzchołka zataczamy łuk przecinający oba ramiona, z punktów przecięcia - dwa łuki o tym samym promieniu, i prowadzimy półprostą z wierzchołka przez ich punkt wspólny. Dwusieczne dwóch kątów przyległych są prostopadłe, bo połowy tych kątów dają razem $90^\circ$.

7.Symetria osiowa

Punkty $A$ i $A'$ są symetryczne względem prostej $k$, gdy prosta $k$ jest symetralną odcinka $AA'$ - odcinek $AA'$ jest prostopadły do $k$, a jego środek leży na $k$. Punkt leżący na osi jest symetryczny sam do siebie. Figury symetryczne względem prostej są przystające - mają takie same boki i kąty, ale są odbite jak w lustrze.

8.Figury osiowosymetryczne i ich osie symetrii

Figura jest osiowosymetryczna, gdy jest symetryczna sama do siebie względem pewnej prostej - to jej oś symetrii. Liczba osi: kwadrat - 4, prostokąt niebędący kwadratem - 2, romb niebędący kwadratem - 2, trójkąt równoboczny - 3, trójkąt równoramienny niebędący równobocznym - 1, trapez równoramienny - 1, odcinek - 2, $n$-kąt foremny - $n$, koło i okrąg - nieskończenie wiele. Równoległobok, który nie jest rombem ani prostokątem, nie ma osi symetrii.

9.Symetria środkowa

Punkty $A$ i $A'$ są symetryczne względem punktu $O$, gdy $O$ jest środkiem odcinka $AA'$. Punkt $O$ jest symetryczny sam do siebie. Figura symetryczna względem punktu jest przystająca do wyjściowej i obrócona wokół $O$ o $180^\circ$; każdy odcinek przechodzi w odcinek do niego równoległy i tej samej długości.

10.Figury środkowosymetryczne

Figura jest środkowosymetryczna, gdy jest symetryczna sama do siebie względem pewnego punktu - jej środka symetrii. Środek symetrii mają: odcinek (jego środek), każdy równoległobok, a więc też prostokąt, romb i kwadrat (punkt przecięcia przekątnych), koło i okrąg (środek) oraz sześciokąt foremny. Trójkąt nie ma środka symetrii; $n$-kąt foremny ma środek symetrii tylko wtedy, gdy $n$ jest parzyste.

11.Symetrie w układzie współrzędnych

Punkt symetryczny do $(x, y)$ względem osi $x$ ma współrzędne $(x, -y)$, względem osi $y$ - $(-x, y)$, a względem początku układu - $(-x, -y)$. Przykład: punkt $P = (2, -3)$ ma obraz $(2, 3)$ w symetrii względem osi $x$, $(-2, -3)$ - względem osi $y$ i $(-2, 3)$ - względem początku układu. Obraz punktu $A$ względem dowolnego punktu $O$ dostajemy, przesuwając się od $O$ tak samo, jak przesuwamy się od $A$ do $O$.

12.Graniastosłup i ostrosłup

Graniastosłup ma dwie przystające, równoległe podstawy (wielokąty), a jego ściany boczne są równoległobokami; w graniastosłupie prostym są prostokątami. Ostrosłup ma jedną podstawę (wielokąt), a jego ściany boczne są trójkątami o wspólnym wierzchołku. Graniastosłup prawidłowy to graniastosłup prosty, którego podstawa jest wielokątem foremnym. Ostrosłup prawidłowy ma w podstawie wielokąt foremny i wszystkie krawędzie boczne równe. Nazwę bryły bierzemy od podstawy, np. ostrosłup sześciokątny.

13.Wierzchołki, krawędzie i ściany graniastosłupa i ostrosłupa

Graniastosłup o podstawie $n$-kąta ma $2n$ wierzchołków, $3n$ krawędzi i $n + 2$ ściany, np. graniastosłup sześciokątny: 12 wierzchołków, 18 krawędzi, 8 ścian. Ostrosłup o podstawie $n$-kąta ma $n + 1$ wierzchołków, $2n$ krawędzi i $n + 1$ ścian, np. ostrosłup pięciokątny: 6 wierzchołków, 10 krawędzi, 6 ścian.

14.Walec, stożek i kula

To bryły obrotowe, a nie wielościany - mają powierzchnie zakrzywione. Walec ma dwie podstawy będące przystającymi kołami, a jego powierzchnia boczna po rozwinięciu jest prostokątem. Stożek ma jedną podstawę - koło - i wierzchołek. Kula to wszystkie punkty przestrzeni odległe od środka o nie więcej niż promień. Walec nie jest graniastosłupem, a stożek nie jest ostrosłupem.

15.Prostopadłościan i sześcian

Prostopadłościan ma 6 ścian prostokątnych, 8 wierzchołków i 12 krawędzi - po 4 równe krawędzie dla każdego z wymiarów $a$, $b$, $c$. Objętość: $V = a \cdot b \cdot c$, pole powierzchni: $P = 2ab + 2bc + 2ac$, suma krawędzi: $4(a + b + c)$. Sześcian o krawędzi $a$: $V = a^3$, $P = 6a^2$, suma krawędzi $12a$. Przykład: prostopadłościan o wymiarach 2, 3, 4 ma objętość 24 i pole powierzchni $2 \cdot (6 + 12 + 8) = 52$.

16.Jednostki objętości i pojemności

Jednostki długości różnią się 10 razy, a jednostki objętości - 1000 razy: $1~\mathrm{cm^3} = 1000~\mathrm{mm^3}$, $1~\mathrm{dm^3} = 1000~\mathrm{cm^3}$, $1~\mathrm{m^3} = 1000~\mathrm{dm^3}$. Pojemność: $1~\mathrm{l} = 1~\mathrm{dm^3}$, $1~\mathrm{ml} = 1~\mathrm{cm^3}$, więc $1~\mathrm{m^3} = 1000~\mathrm{l}$. Gdy wynik ma być w litrach, najwygodniej od razu zamienić wymiary na decymetry.

17.Siatka bryły

Siatka to figura płaska, którą otrzymujemy po rozcięciu powierzchni bryły wzdłuż niektórych krawędzi i rozłożeniu jej na płaszczyźnie. Pole siatki jest równe polu powierzchni bryły. Siatka graniastosłupa $n$-kątnego składa się z dwóch podstaw i $n$ równoległoboków (w graniastosłupie prostym - prostokątów), a siatka ostrosłupa $n$-kątnego - z podstawy i $n$ trójkątów. Sześcian ma 11 różnych siatek.

18.Objętość graniastosłupa

Objętość graniastosłupa to iloczyn pola podstawy i wysokości bryły: $V = P_p \cdot H$. Najpierw obliczamy pole podstawy właściwym wzorem (trójkąt, romb, trapez…), potem mnożymy je przez wysokość. Przykład: graniastosłup prosty o podstawie rombu o przekątnych 4 i 6 ($P_p = 12$) i wysokości 5 ma objętość 60. Dla prostopadłościanu wzór daje znane $V = a \cdot b \cdot c$.

19.Pole powierzchni graniastosłupa prostego

Pole powierzchni całkowitej to suma pól dwóch podstaw i pola powierzchni bocznej: $P_c = 2P_p + P_b$. W graniastosłupie prostym ściany boczne są prostokątami o wysokości $H$, więc $P_b = L \cdot H$, gdzie $L$ to obwód podstawy. Przykład: graniastosłup prawidłowy czworokątny o krawędzi podstawy 3 i wysokości 5 ma $P_c = 2 \cdot 9 + 4 \cdot 3 \cdot 5 = 78$.

20.Graniastosłup prawidłowy trójkątny i sześciokątny

Podstawą graniastosłupa prawidłowego trójkątnego jest trójkąt równoboczny o polu $\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$, a sześciokątnego - sześciokąt foremny złożony z sześciu takich trójkątów, o polu $\frac{6a^2\sqrt{3}}{4}$. Przykład: graniastosłup prawidłowy trójkątny o krawędzi podstawy 4 i wysokości 5 ma $P_p = 4\sqrt{3}$ i $V = 20\sqrt{3}$, a jego powierzchnię boczną tworzą trzy prostokąty o wymiarach 4 na 5.

21.Przekątna prostopadłościanu i sześcianu

Przekątna prostopadłościanu łączy dwa wierzchołki, które nie leżą na jednej ścianie. Liczymy ją dwa razy z twierdzenia Pitagorasa: najpierw przekątna podstawy $d_p^2 = a^2 + b^2$, potem przekątna bryły $d^2 = d_p^2 + c^2 = a^2 + b^2 + c^2$. Przykład: dla wymiarów 1, 2, 2 mamy $d = \sqrt{1 + 4 + 4} = 3$. Sześcian o krawędzi $a$ ma przekątną ściany $a\sqrt{2}$ i przekątną bryły $a\sqrt{3}$.

22.Objętość ostrosłupa

Objętość ostrosłupa to jedna trzecia iloczynu pola podstawy i wysokości: $V = \frac{1}{3} \cdot P_p \cdot H$. Ostrosłup ma więc trzy razy mniejszą objętość niż graniastosłup o tej samej podstawie i wysokości. Wysokość ostrosłupa to odcinek prostopadły do podstawy, poprowadzony z wierzchołka. Przykład: ostrosłup o podstawie kwadratu o boku 3 i wysokości 4 ma objętość $\frac{1}{3} \cdot 9 \cdot 4 = 12$.

23.Pole powierzchni ostrosłupa i czworościan foremny

Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa to pole podstawy plus pole powierzchni bocznej: $P_c = P_p + P_b$, a $P_b$ to suma pól trójkątów - ścian bocznych. W ostrosłupie prawidłowym $n$-kątnym ściany boczne są przystającymi trójkątami równoramiennymi, więc $P_b = n \cdot \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$, gdzie $h$ to wysokość ściany bocznej. Czworościan foremny ma cztery ściany będące trójkątami równobocznymi, więc jego pole powierzchni to $4 \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = a^2\sqrt{3}$.

24.Wysokość ostrosłupa a wysokość ściany bocznej

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym o krawędzi podstawy $a$ wysokość bryły $H$, połowa krawędzi podstawy i wysokość ściany bocznej $h$ tworzą trójkąt prostokątny: $H^2 + (\frac{a}{2})^2 = h^2$. Przykład: dla $a = 8$ i $H = 3$ mamy $h^2 = 9 + 16 = 25$, więc $h = 5$, $P_b = 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 5 = 80$, $P_c = 64 + 80 = 144$, a $V = \frac{1}{3} \cdot 64 \cdot 3 = 64$. Do pola ściany używamy $h$, a do objętości - $H$.

25.Średnia arytmetyczna

Średnia arytmetyczna to suma wszystkich danych podzielona przez ich liczbę: $\frac{a_1 + a_2 + \ldots + a_n}{n}$. Przykład: średnia liczb 4, 5, 5, 6, 10 to $\frac{30}{5} = 6$. Średnia leży między najmniejszą a największą daną, ale nie musi być równa żadnej z nich. Wartości skrajne mocno ją przesuwają.

26.Średnia - suma danych i zmiana średniej

Ze wzoru na średnią wynika, że suma danych jest równa iloczynowi średniej i liczby danych. Dzięki temu znajdujemy brakującą daną albo nową średnią po dopisaniu liczby. Przykład: średnia pięciu liczb wynosi 8, więc ich suma to 40; po dopisaniu liczby 14 suma wynosi 54, a średnia sześciu liczb to $54 : 6 = 9$. Nowej średniej nie liczymy jako średniej ze starej średniej i nowej liczby.

27.Mediana

Mediana to wartość środkowa danych uporządkowanych od najmniejszej do największej. Przy nieparzystej liczbie danych to dana stojąca dokładnie pośrodku: dla 5, 1, 7, 3, 9 po uporządkowaniu (1, 3, 5, 7, 9) mediana to 5. Przy parzystej liczbie danych mediana to średnia arytmetyczna dwóch środkowych danych: dla 2, 4, 6, 10 mediana to $\frac{4 + 6}{2} = 5$. Najczęstszy błąd to szukanie środka bez uporządkowania danych.

28.Średnia a mediana

Średnia uwzględnia wartość każdej danej, więc jedna bardzo duża lub bardzo mała liczba mocno ją zmienia. Mediana zależy tylko od położenia danych, więc wartości skrajne prawie na nią nie wpływają. Przykład: dla danych 2, 3, 3, 4, 38 średnia wynosi 10, a mediana 3 - mediana lepiej opisuje typową wartość. Dlatego przy danych z wartościami skrajnymi, np. zarobkach, często podaje się medianę.

29.Średnia i mediana z tabeli liczności

Gdy dane podano w tabeli (wartość i liczba jej wystąpień), każdą wartość mnożymy przez liczbę jej wystąpień, wyniki dodajemy i dzielimy przez liczbę WSZYSTKICH danych. Przykład: wynik 1 - 2 osoby, wynik 2 - 3 osoby, wynik 3 - 5 osób; średnia to $\frac{1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 5}{10} = 2{,}3$. Medianę znajdujemy, odliczając dane od najmniejszej: tu piąta dana to 2, a szósta to 3, więc mediana wynosi $2{,}5$.

30.Diagram słupkowy

Na diagramie słupkowym każda kategoria ma słupek, którego wysokość (lub długość) pokazuje liczbę lub wartość - odczytujemy ją na osi ze skalą. Najwyższy słupek wskazuje wartość największą, najniższy - najmniejszą. Zanim porównasz słupki, sprawdź, od jakiej wartości zaczyna się oś: gdy nie zaczyna się od zera, różnice między słupkami wyglądają na większe, niż są naprawdę.

31.Diagram kołowy

Diagram kołowy pokazuje podział całości ($100\%$) na części; całe koło to kąt $360^\circ$. Wycinkowi odpowiadającemu $p\%$ danych odpowiada kąt $p \cdot 3{,}6^\circ$, bo $1\%$ to $3{,}6^\circ$: $25\%$ to $90^\circ$, $50\%$ to $180^\circ$, $10\%$ to $36^\circ$. I odwrotnie: wycinek o kącie $\alpha$ to $\frac{\alpha}{360^\circ}$ całości.

32.Odczytywanie wykresu w układzie współrzędnych

Wykres pokazuje, jak jedna wielkość (na osi pionowej) zmienia się wraz z drugą (na osi poziomej, często czasem). Gdy linia idzie w górę, wartości rosną; gdy w dół - maleją; odcinek poziomy oznacza, że wartość się nie zmienia. Na wykresie drogi od czasu odcinek poziomy oznacza postój, a im bardziej stromy odcinek, tym większa prędkość. Prędkość to droga podzielona przez czas, np. 40 km w ciągu 2 h to 20 km/h.

33.Systematyczne zliczanie: tabela i drzewko

Aby niczego nie pominąć i nie policzyć dwa razy, wypisujemy możliwości w ustalonym porządku - w tabeli albo na drzewku. Przykład: 3 koszulki i 2 pary spodenek dają tabelę o 3 wierszach i 2 kolumnach, czyli 6 różnych zestawów. Przy zapisywaniu liczb z podanych cyfr ustalamy najpierw cyfrę dziesiątek, potem jedności, i sprawdzamy, czy cyfry mogą się powtarzać oraz czy pierwszą cyfrą może być zero.

34.Zliczanie par - każdy z każdym

Gdy każda osoba z grupy wita się z każdą inną (albo każda drużyna gra z każdą jeden mecz), liczymy pary bez powtórzeń. Przy 5 osobach pierwsza wita się z 4 pozostałymi, druga z 3 nowymi, trzecia z 2, czwarta z 1: razem $4 + 3 + 2 + 1 = 10$. Policzenie „5 osób razy 4 powitania” daje 20, bo każda para została policzona dwa razy - wynik trzeba podzielić przez 2.

35.Ile jest liczb o danej własności?

Liczb całkowitych od $a$ do $b$ włącznie jest $b - a + 1$, np. od 20 do 50 jest ich 31. Liczb od 1 do $n$ podzielnych przez $k$ jest tyle, ile pełnych razy $k$ mieści się w $n$: od 1 do 100 podzielnych przez 7 jest 14, bo $7 \cdot 14 = 98$. Licząc liczby podzielne przez 2 LUB przez 3, nie liczymy dwa razy liczb podzielnych przez 6: od 1 do 30 jest ich $15 + 10 - 5 = 20$.

36.Doświadczenie losowe i prawdopodobieństwo zdarzenia

Gdy wszystkie wyniki doświadczenia są jednakowo prawdopodobne, prawdopodobieństwo zdarzenia $A$ to liczba wyników sprzyjających temu zdarzeniu podzielona przez liczbę wszystkich możliwych wyników. Zawsze $0 \le P(A) \le 1$: zdarzenie niemożliwe ma prawdopodobieństwo 0, a zdarzenie pewne - 1. Zdarzenie przeciwne do $A$ (zachodzi, gdy $A$ nie zachodzi) ma prawdopodobieństwo $1 - P(A)$.

37.Rzut kostką do gry

Rzut sześcienną kostką ma 6 jednakowo prawdopodobnych wyników: 1, 2, 3, 4, 5 lub 6 oczek. Prawdopodobieństwo wyrzucenia parzystej liczby oczek to $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$, liczby większej od 4 - $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$, a liczby mniejszej od 7 - 1 (zdarzenie pewne). Uważaj na sformułowania: co najmniej 5 oczek to 5 lub 6, a więcej niż 5 oczek - tylko 6.

38.Rzut monetą i rzut dwiema monetami

Rzut monetą ma 2 wyniki: orzeł (O) i reszka (R), każdy z prawdopodobieństwem $\frac{1}{2}$. Rzut dwiema monetami ma 4 jednakowo prawdopodobne wyniki: OO, OR, RO, RR - wyniki OR i RO są różne, bo monety są dwie. Stąd prawdopodobieństwo dwóch orłów to $\frac{1}{4}$, a co najmniej jednego orła - $\frac{3}{4}$.

39.Losowanie kul

Gdy w pojemniku jest $n$ kul, a $k$ z nich ma daną cechę, prawdopodobieństwo wylosowania takiej kuli wynosi $\frac{k}{n}$: przy 3 kulach białych i 5 czarnych kula biała ma prawdopodobieństwo $\frac{3}{8}$. Jeśli wylosowanej kuli nie zwracamy, przed kolejnym losowaniem zmienia się zawartość pojemnika i liczymy na nowo: po wylosowaniu białej zostają 2 białe i 5 czarnych.

40.Rzut dwiema kostkami

Wyniki rzutu dwiema kostkami zapisujemy w tabeli 6 na 6: jest 36 jednakowo prawdopodobnych par, a np. (2, 5) i (5, 2) to różne wyniki. Suma oczek 7 wypada w 6 parach: (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1), więc ma prawdopodobieństwo $\frac{6}{36} = \frac{1}{6}$. Suma 2 wypada tylko w parze (1, 1), więc ma prawdopodobieństwo $\frac{1}{36}$.