Wojewódzki Konkurs Przedmiotowy z Matematyki (śląskie) - geometria i Pitagoras

1.Rodzaje kątów

Kąt ostry ma miarę mniejszą od $90^\circ$, kąt prosty - dokładnie $90^\circ$, a kąt rozwarty - większą od $90^\circ$, ale mniejszą od $180^\circ$. Kąt półpełny ma $180^\circ$ (jego ramiona tworzą prostą), a kąt pełny - $360^\circ$. Kąt wklęsły ma miarę większą od $180^\circ$ i mniejszą od $360^\circ$; kąty nie większe od $180^\circ$ to kąty wypukłe.

2.Kąty przyległe i kąty wierzchołkowe

Kąty przyległe mają jedno ramię wspólne, a pozostałe ramiona tworzą prostą - ich miary sumują się do $180^\circ$, np. kąt przyległy do kąta $35^\circ$ ma $145^\circ$. Kąty wierzchołkowe mają wspólny wierzchołek, a ramiona jednego są przedłużeniami ramion drugiego - mają równe miary. Dwie przecinające się proste tworzą dwie pary równych kątów wierzchołkowych, a każde dwa sąsiednie kąty są przyległe.

3.Proste prostopadłe i równoległe, odległość punktu od prostej

Proste prostopadłe przecinają się pod kątem prostym (zapis $a \perp b$). Proste równoległe leżą na płaszczyźnie i nie mają punktów wspólnych albo się pokrywają (zapis $a \parallel b$). Odległość punktu od prostej to długość odcinka prostopadłego poprowadzonego z tego punktu do prostej - to najkrótszy odcinek łączący punkt z prostą. Odległość dwóch prostych równoległych to długość odcinka prostopadłego do obu prostych, o końcach na tych prostych.

4.Kąty odpowiadające, naprzemianległe i jednostronne

Gdy dwie proste równoległe przetniemy trzecią prostą: kąty odpowiadające (w tym samym położeniu przy każdej z prostych) są równe, kąty naprzemianległe (między prostymi, po przeciwnych stronach siecznej) są równe, a kąty jednostronne (między prostymi, po tej samej stronie siecznej) sumują się do $180^\circ$. Gdy jeden z ośmiu powstałych kątów ma $70^\circ$, każdy z pozostałych ma $70^\circ$ albo $110^\circ$. Działa to też odwrotnie: równe kąty odpowiadające oznaczają, że proste są równoległe.

5.Suma kątów trójkąta i kąt zewnętrzny trójkąta

Suma miar kątów wewnętrznych każdego trójkąta wynosi $180^\circ$. Kąt zewnętrzny trójkąta to kąt przyległy do kąta wewnętrznego; jest równy sumie dwóch kątów wewnętrznych do niego nieprzyległych. Przykład: gdy dwa kąty trójkąta mają $50^\circ$ i $70^\circ$, trzeci ma $60^\circ$, a kąt zewnętrzny przy nim ma $120^\circ = 50^\circ + 70^\circ$. Gdy kąty są w stosunku, np. $1 : 2 : 3$, dzielimy $180^\circ$ na $1 + 2 + 3 = 6$ równych części.

6.Rodzaje trójkątów i trójkąt równoramienny

Ze względu na boki trójkąty dzielimy na różnoboczne, równoramienne i równoboczne, a ze względu na kąty - na ostrokątne, prostokątne i rozwartokątne. W trójkącie równoramiennym ramiona są równe, a kąty przy podstawie mają równe miary; w trójkącie równobocznym każdy kąt ma $60^\circ$. Przykład: gdy kąt między ramionami ma $40^\circ$, każdy kąt przy podstawie ma $(180^\circ - 40^\circ) : 2 = 70^\circ$. Kąt przy podstawie jest zawsze ostry.

7.Suma kątów czworokąta i wielokąta

Przekątna dzieli czworokąt na dwa trójkąty, dlatego suma kątów wewnętrznych każdego czworokąta to $360^\circ$. Przekątne wychodzące z jednego wierzchołka dzielą $n$-kąt na $n - 2$ trójkąty, więc suma jego kątów wewnętrznych wynosi $(n - 2) \cdot 180^\circ$: dla pięciokąta $540^\circ$, dla sześciokąta $720^\circ$.

8.Wielokąt foremny

Wielokąt foremny ma wszystkie boki równe i wszystkie kąty równe, np. trójkąt równoboczny, kwadrat, sześciokąt foremny. Romb, który nie jest kwadratem, nie jest foremny (ma różne kąty); prostokąt, który nie jest kwadratem - też nie (ma różne boki). Kąt wewnętrzny $n$-kąta foremnego ma miarę $\frac{(n - 2) \cdot 180^\circ}{n}$: w sześciokącie foremnym $120^\circ$, w ośmiokącie foremnym $135^\circ$.

9.Trójkąty przystające i cecha bbb

Figury przystające można na siebie nałożyć tak, że się pokryją - mają odpowiednio równe boki i kąty (zapis $\triangle ABC \equiv \triangle DEF$). Cecha bbb (bok-bok-bok): jeżeli trzy boki jednego trójkąta są odpowiednio równe trzem bokom drugiego trójkąta, to trójkąty są przystające. Z przystawania wynika, że kąty leżące naprzeciw równych boków też są równe.

10.Cecha przystawania bkb

Cecha bkb (bok-kąt-bok): jeżeli dwa boki jednego trójkąta i kąt zawarty MIĘDZY nimi są odpowiednio równe dwóm bokom i kątowi zawartemu między nimi w drugim trójkącie, to trójkąty są przystające. Kąt musi leżeć między tymi bokami - dwa boki i kąt leżący naprzeciw jednego z nich nie wystarczają do stwierdzenia przystawania.

11.Cecha przystawania kbk

Cecha kbk (kąt-bok-kąt): jeżeli bok jednego trójkąta i dwa kąty do niego przyległe są odpowiednio równe bokowi drugiego trójkąta i dwóm kątom do niego przyległym, to trójkąty są przystające. Skoro suma kątów trójkąta to $180^\circ$, równość dwóch par kątów daje równość trzeciej pary. Same trzy pary równych kątów, bez żadnego boku, NIE wystarczą - trójkąty mogą mieć ten sam kształt, ale różną wielkość.

12.Przystawanie trójkątów w dowodach

Aby udowodnić równość odcinków lub kątów, szukamy dwóch trójkątów, w których one leżą, wypisujemy trzy pary równych elementów, nazywamy cechę i wyciągamy wniosek. Przykład: odcinki $AB$ i $CD$ przecinają się w punkcie $S$, który jest środkiem każdego z nich. Trójkąty $ASC$ i $BSD$ są przystające z cechy bkb: $|AS| = |BS|$, $|CS| = |DS|$, a kąty przy $S$ są wierzchołkowe, więc równe. Stąd $|AC| = |BD|$.

13.Nierówność trójkąta

Każdy bok trójkąta jest krótszy od sumy dwóch pozostałych. Aby sprawdzić, czy z odcinków da się zbudować trójkąt, porównujemy najdłuższy odcinek z sumą dwóch pozostałych: z 3, 4 i 8 się nie da, bo $3 + 4 < 8$; z 3, 5 i 8 też nie, bo $3 + 5 = 8$ (punkty leżałyby na jednej prostej). Gdy znamy dwa boki, trzeci jest większy od ich różnicy i mniejszy od ich sumy: dla boków 5 i 9 mamy $4 < c < 14$.

14.Boki a kąty w trójkącie

W każdym trójkącie naprzeciw dłuższego boku leży większy kąt, a naprzeciw równych boków - równe kąty (i odwrotnie). Dlatego w trójkącie prostokątnym najdłuższa jest przeciwprostokątna (leży naprzeciw kąta prostego), a w trójkącie rozwartokątnym - bok leżący naprzeciw kąta rozwartego. Przykład: w trójkącie o bokach 4, 6, 7 największy kąt leży naprzeciw boku 7.

15.Równoległobok i jego własności

Równoległobok to czworokąt, który ma dwie pary boków równoległych. Jego przeciwległe boki są równe, przeciwległe kąty są równe, kąty leżące przy jednym boku sumują się do $180^\circ$, a przekątne przecinają się w punkcie, który dzieli każdą z nich na połowy. Przykład: gdy jeden kąt ma $65^\circ$, kąty równoległoboku to $65^\circ$, $115^\circ$, $65^\circ$, $115^\circ$.

16.Romb i jego własności

Romb to równoległobok, który ma wszystkie boki równe, więc ma wszystkie własności równoległoboku. Dodatkowo przekątne rombu są prostopadłe i dzielą jego kąty na połowy. Przekątne dzielą romb na cztery przystające trójkąty prostokątne, w których przyprostokątne to połówki przekątnych, a przeciwprostokątna to bok rombu.

17.Prostokąt i kwadrat

Prostokąt to równoległobok o kątach prostych; jego przekątne są równe i dzielą się na połowy. Kwadrat ma wszystkie boki równe i wszystkie kąty proste, więc jest jednocześnie prostokątem i rombem: przekątne kwadratu są równe, prostopadłe, dzielą się na połowy i tworzą z bokami kąty $45^\circ$. Każdy kwadrat jest rombem, ale nie każdy romb jest kwadratem.

18.Trapez

Trapez to czworokąt, który ma co najmniej jedną parę boków równoległych - to podstawy; pozostałe boki to ramiona. Kąty leżące przy jednym ramieniu sumują się do $180^\circ$. Trapez równoramienny ma równe ramiona, równe kąty przy każdej podstawie i równe przekątne. Trapez prostokątny ma jedno ramię prostopadłe do podstaw. Wysokość trapezu to odległość między prostymi zawierającymi podstawy.

19.Okrąg i koło: promień, średnica, cięciwa

Okrąg o środku $S$ i promieniu $r$ to wszystkie punkty odległe od $S$ o $r$, a koło to okrąg razem z jego wnętrzem. Promień to odcinek łączący środek z punktem okręgu, cięciwa - odcinek łączący dwa punkty okręgu, a średnica - cięciwa przechodząca przez środek: $d = 2r$. Średnica jest najdłuższą cięciwą.

20.Obwód i pole prostokąta oraz kwadratu

Prostokąt o bokach $a$ i $b$ ma obwód $2a + 2b$ i pole $P = a \cdot b$. Kwadrat o boku $a$ ma obwód $4a$ i pole $P = a^2$. Kwadrat jest rombem, więc jego pole można też obliczyć z przekątnej: $P = \frac{d^2}{2}$ - np. kwadrat o przekątnej 6 ma pole 18. Przed obliczaniem pola sprowadź wszystkie długości do tej samej jednostki.

21.Pole trójkąta

$P = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$, gdzie $h$ to wysokość opuszczona na bok $a$; można wybrać dowolny bok i wysokość prostopadłą do niego. W trójkącie prostokątnym przyprostokątne są dla siebie wysokościami: $P = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b$. W trójkącie rozwartokątnym wysokość może leżeć poza trójkątem. Gdy znamy pole, wysokość obliczamy ze wzoru $h = \frac{2P}{a}$. Przykład: bok 8 i wysokość 5 dają pole 20.

22.Pole równoległoboku i rombu

Pole równoległoboku: $P = a \cdot h$, gdzie $h$ to wysokość opuszczona na bok $a$; dla dwóch różnych boków $a \cdot h_a = b \cdot h_b$. Romb jest równoległobokiem, więc $P = a \cdot h$, ale jego pole można też liczyć z przekątnych: $P = \frac{e \cdot f}{2}$. Przykład: romb o przekątnych 6 i 8 ma pole 24 i bok 5 (połówki przekątnych 3 i 4 to przyprostokątne), więc jego wysokość to $24 : 5 = 4{,}8$.

23.Pole trapezu

$P = \frac{(a + b) \cdot h}{2}$, gdzie $a$ i $b$ to długości podstaw, a $h$ - wysokość trapezu. Przykład: trapez o podstawach 10 i 6 oraz wysokości 4 ma pole $\frac{(10 + 6) \cdot 4}{2} = 32$. Ze wzoru wyznaczamy też inne wielkości: $h = \frac{2P}{a + b}$, a suma podstaw $a + b = \frac{2P}{h}$.

24.Jednostki pola i pola figur złożonych

Przelicznik jednostek pola jest kwadratem przelicznika odpowiadających im jednostek długości: $1~\mathrm{dm^2} = 100~\mathrm{cm^2}$, $1~\mathrm{m^2} = 100~\mathrm{dm^2} = 10\,000~\mathrm{cm^2}$. Ar: $1~\mathrm{a} = 100~\mathrm{m^2}$; hektar: $1~\mathrm{ha} = 100~\mathrm{a} = 10\,000~\mathrm{m^2}$; $1~\mathrm{km^2} = 100~\mathrm{ha} = 1\,000\,000~\mathrm{m^2}$. Pole figury złożonej obliczamy, dzieląc ją na prostokąty i trójkąty albo uzupełniając ją do większej figury i odejmując pola dołożonych części. (podpowiedź: Przelicznik pola to kwadrat przelicznika długości.)

25.Twierdzenie Pitagorasa

W trójkącie prostokątnym suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej: $a^2 + b^2 = c^2$. Przeciwprostokątna $c$ leży naprzeciw kąta prostego i jest najdłuższym bokiem. Przykład: przyprostokątne 6 i 8 dają $c^2 = 36 + 64 = 100$, więc $c = 10$. Twierdzenie dotyczy tylko trójkątów prostokątnych.

26.Obliczanie przyprostokątnej i trójki pitagorejskie

Gdy znamy przeciwprostokątną $c$ i przyprostokątną $b$, drugą przyprostokątną obliczamy z $a^2 = c^2 - b^2$: dla $c = 13$ i $b = 5$ mamy $a^2 = 169 - 25 = 144$, więc $a = 12$. Trójki liczb naturalnych spełniających $a^2 + b^2 = c^2$ warto znać na pamięć: (3, 4, 5), (5, 12, 13), (8, 15, 17), (7, 24, 25), a także ich wielokrotności, np. (6, 8, 10).

27.Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa

Jeżeli w trójkącie o bokach $a$, $b$, $c$ zachodzi równość $a^2 + b^2 = c^2$, to trójkąt jest prostokątny, a kąt prosty leży naprzeciw boku $c$. Sprawdzamy, czy kwadrat najdłuższego boku jest równy sumie kwadratów dwóch pozostałych. Przykład: dla boków 20, 21, 29 mamy $400 + 441 = 841 = 29^2$, więc trójkąt jest prostokątny.

28.Trójkąt ostrokątny czy rozwartokątny - porównanie kwadratów boków

Niech $c$ będzie najdłuższym bokiem trójkąta. Jeśli $c^2 < a^2 + b^2$, trójkąt jest ostrokątny; jeśli $c^2 = a^2 + b^2$ - prostokątny; jeśli $c^2 > a^2 + b^2$ - rozwartokątny, a kąt rozwarty leży naprzeciw boku $c$. Przykłady: boki 4, 5, 6 dają $36 < 41$, więc trójkąt jest ostrokątny; boki 4, 5, 7 dają $49 > 41$, więc jest rozwartokątny.

29.Zaznaczanie zbiorów liczb na osi liczbowej

Warunek $x \ge 1{,}5$ zaznaczamy na osi jako półprostą od punktu $1{,}5$ w prawo, a warunek $x < -2$ - jako półprostą od $-2$ w lewo. Zamalowane kółko oznacza, że liczba graniczna należy do zbioru (znaki $\le$ i $\ge$), a puste kółko - że nie należy (znaki $<$ i $>$). Warunek $-1 < x \le 3$ to odcinek od $-1$ do $3$ z pustym kółkiem w $-1$ i zamalowanym w $3$.

30.Układ współrzędnych i środek odcinka

Punkt w układzie współrzędnych zapisujemy jako $(x, y)$: pierwsza współrzędna mówi, jak daleko w prawo (lub w lewo) od początku układu leży punkt, a druga - jak wysoko (lub nisko). Punkt kratowy ma obie współrzędne całkowite. Środek odcinka ma współrzędne równe średnim współrzędnych końców: $S = (\frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2})$. Przykład: dla $A = (-2, 3)$ i $B = (4, 7)$ środek to $S = (1, 5)$.

31.Długość odcinka w układzie współrzędnych

Odcinek o końcach w punktach kratowych traktujemy jak przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego, którego przyprostokątne biegną wzdłuż linii kratki: jedna ma długość równą różnicy pierwszych współrzędnych, a druga - różnicy drugich współrzędnych. Potem stosujemy twierdzenie Pitagorasa. Przykład: dla $A = (1, 1)$ i $B = (4, 5)$ przyprostokątne mają długości 3 i 4, więc $|AB| = 5$.

32.Inne punkty kratowe na prostej AB

Przejście z punktu $A$ do $B$ to krok złożony z przesunięcia w poziomie i w pionie. Powtarzając ten krok w obie strony, dostajemy kolejne punkty kratowe prostej $AB$: dla $A = (0, 1)$ i $B = (2, 4)$ krok to 2 w prawo i 3 w górę, więc na prostej leżą też $(4, 7)$ i $(-2, -2)$. Gdy oba przesunięcia mają wspólny dzielnik, krok można skrócić: dla $(0, 0)$ i $(6, 4)$ krok to 3 w prawo i 2 w górę, więc punkt $(3, 2)$ leży między nimi.

33.Przekątna kwadratu

Przekątna dzieli kwadrat o boku $a$ na dwa trójkąty prostokątne, więc z twierdzenia Pitagorasa $d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$, czyli $d = a\sqrt{2}$. Przykład: kwadrat o boku 5 ma przekątną $5\sqrt{2}$. Gdy znamy przekątną, pole kwadratu wynosi $\frac{d^2}{2}$: dla $d = 8$ pole to 32, a bok to $\sqrt{32} = 4\sqrt{2}$.

34.Trójkąt prostokątny równoramienny (kąty $45^\circ$, $45^\circ$, $90^\circ$)

To połowa kwadratu przeciętego przekątną: przyprostokątne mają długość $a$, a przeciwprostokątna $a\sqrt{2}$. Każdy trójkąt prostokątny z kątem ostrym $45^\circ$ jest równoramienny, bo drugi kąt ostry też ma $45^\circ$. Przykład: gdy przeciwprostokątna ma 10, to $a^2 + a^2 = 100$, więc $a^2 = 50$ i $a = 5\sqrt{2}$.

35.Wysokość trójkąta równobocznego

Wysokość trójkąta równobocznego o boku $a$ dzieli go na dwa przystające trójkąty prostokątne o przeciwprostokątnej $a$ i przyprostokątnej $\frac{a}{2}$. Z twierdzenia Pitagorasa $h^2 = a^2 - \frac{a^2}{4} = \frac{3a^2}{4}$, więc $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. Przykład: dla $a = 6$ mamy $h = 3\sqrt{3}$. Ta wysokość dzieli podstawę i kąt przy wierzchołku na połowy.

36.Pole trójkąta równobocznego

Pole trójkąta równobocznego o boku $a$ to połowa iloczynu boku i wysokości: $P = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$. Przykład: dla $a = 4$ pole wynosi $\frac{16\sqrt{3}}{4} = 4\sqrt{3}$. Sześciokąt foremny o boku $a$ składa się z sześciu takich trójkątów, więc jego pole to $\frac{6a^2\sqrt{3}}{4}$.

37.Trójkąt o kątach $30^\circ$, $60^\circ$, $90^\circ$

To połowa trójkąta równobocznego przeciętego wysokością. Jeśli krótsza przyprostokątna (leżąca naprzeciw kąta $30^\circ$) ma długość $a$, to przeciwprostokątna ma $2a$, a dłuższa przyprostokątna (naprzeciw kąta $60^\circ$) ma $a\sqrt{3}$. Przykład: gdy przeciwprostokątna ma 12, przyprostokątne mają 6 i $6\sqrt{3}$.

38.Rozpoznawanie kątów $30^\circ$, $45^\circ$, $60^\circ$ po bokach

W trójkącie prostokątnym przyprostokątna leżąca naprzeciw kąta $30^\circ$ jest dwa razy krótsza od przeciwprostokątnej - i odwrotnie: jeśli przyprostokątna jest połową przeciwprostokątnej, to leży naprzeciw kąta $30^\circ$, a drugi kąt ostry ma $60^\circ$. Gdy przyprostokątne są równe, oba kąty ostre mają $45^\circ$. Boki w stosunku $1 : 1 : \sqrt{2}$ oznaczają kąty $45^\circ$, $45^\circ$, $90^\circ$, a w stosunku $1 : \sqrt{3} : 2$ - kąty $30^\circ$, $60^\circ$, $90^\circ$.

39.Wysokość opuszczona na przeciwprostokątną

Pole trójkąta prostokątnego liczymy na dwa sposoby: z przyprostokątnych $\frac{a \cdot b}{2}$ oraz z przeciwprostokątnej i wysokości na nią opuszczonej $\frac{c \cdot h}{2}$. Porównując oba wyniki, dostajemy $h = \frac{a \cdot b}{c}$. Przykład: w trójkącie o bokach 6, 8, 10 wysokość opuszczona na przeciwprostokątną ma $\frac{6 \cdot 8}{10} = 4{,}8$.

40.Trapez z kątem $45^\circ$ lub $60^\circ$

Wysokości poprowadzone z końców krótszej podstawy odcinają od trapezu trójkąty prostokątne. Oznaczmy przez $x$ odcięty odcinek dłuższej podstawy. Przy kącie $45^\circ$ wysokość $h = x$, a ramię ma $x\sqrt{2}$; przy kącie $60^\circ$ ramię ma $2x$, a wysokość $x\sqrt{3}$. Przykład: trapez równoramienny o podstawach 10 i 4 oraz kącie ostrym $60^\circ$ ma $x = \frac{10 - 4}{2} = 3$, ramię 6 i wysokość $3\sqrt{3}$.