Wojewódzki Konkurs Przedmiotowy z Matematyki (śląskie) - liczby i algebra

1.Cechy podzielności przez 2, 4, 5, 10 i 100

Przez 2 - ostatnia cyfra parzysta (0, 2, 4, 6, 8); przez 5 - ostatnia cyfra 0 lub 5; przez 10 - ostatnia cyfra 0; przez 100 - dwie ostatnie cyfry to 00; przez 4 - liczba utworzona z dwóch ostatnich cyfr dzieli się przez 4 (działa to, bo 100 dzieli się przez 4). Przykład: 5128 dzieli się przez 4, bo 28 dzieli się przez 4, a 5138 nie dzieli się przez 4, choć jest parzysta.

2.Cechy podzielności przez 3 i przez 9

Liczba jest podzielna przez 3, gdy suma jej cyfr jest podzielna przez 3, a przez 9 - gdy suma jej cyfr jest podzielna przez 9. Przykład: 2754 ma sumę cyfr 18, więc dzieli się przez 3 i przez 9; 2751 ma sumę cyfr 15, więc dzieli się przez 3, ale nie przez 9. Każda liczba podzielna przez 9 jest podzielna przez 3, ale nie odwrotnie.

3.Podzielność przez 6, 12, 15 i 18 - łączenie cech

Gdy dzielnik jest iloczynem dwóch liczb bez wspólnego dzielnika większego od 1, sprawdzamy obie cechy naraz: przez 6 = przez 2 i przez 3; przez 12 = przez 4 i przez 3; przez 15 = przez 3 i przez 5; przez 18 = przez 2 i przez 9. Przykład: 2754 jest parzysta i ma sumę cyfr 18, więc dzieli się przez 18. Uwaga: z podzielności przez 2 i przez 4 nie wynika podzielność przez 8 (np. 12), bo 2 i 4 mają wspólny dzielnik.

4.Liczba pierwsza i liczba złożona

Liczba pierwsza to liczba naturalna większa od 1, która ma dokładnie dwa dzielniki: 1 i samą siebie (np. 2, 3, 5, 7, 11, 13). Liczba złożona ma więcej niż dwa dzielniki (np. 4, 9, 15). Liczby 0 i 1 nie są ani pierwsze, ani złożone, a 2 to jedyna parzysta liczba pierwsza. Liczby pierwsze mniejsze od 30: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29.

5.Rozkład liczby na czynniki pierwsze

To zapis liczby złożonej w postaci iloczynu liczb pierwszych. Dzielimy liczbę kolejno przez najmniejsze możliwe liczby pierwsze (2, 3, 5, 7, …), aż zostanie 1. Przykład: $180 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5$. Każda liczba złożona ma tylko jeden taki rozkład (z dokładnością do kolejności czynników).

6.NWD - największy wspólny dzielnik

NWD dwóch liczb to największa liczba, przez którą dzielą się obie. Z rozkładów na czynniki pierwsze bierzemy czynniki wspólne obu liczb, każdy w NAJMNIEJSZEJ potędze: $60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5$, $84 = 2^2 \cdot 3 \cdot 7$, więc $\mathrm{NWD}(60, 84) = 2^2 \cdot 3 = 12$. Gdy NWD wynosi 1, liczby są względnie pierwsze (np. 8 i 15). NWD stosujemy przy skracaniu ułamków i dzieleniu czegoś na jak największe równe części.

7.NWW - najmniejsza wspólna wielokrotność

NWW dwóch liczb to najmniejsza liczba dodatnia podzielna przez obie. Z rozkładów bierzemy wszystkie czynniki występujące w którejkolwiek liczbie, każdy w NAJWIĘKSZEJ potędze: $8 = 2^3$, $12 = 2^2 \cdot 3$, więc $\mathrm{NWW}(8, 12) = 2^3 \cdot 3 = 24$. Zawsze $\mathrm{NWD}(a, b) \cdot \mathrm{NWW}(a, b) = a \cdot b$. NWW stosujemy przy wspólnym mianowniku i w zadaniach o zdarzeniach powtarzających się co pewien czas.

8.Dzielenie z resztą

Podzielić liczbę naturalną $a$ przez $b$ z resztą to zapisać $a = b \cdot q + r$, gdzie $q$ to iloraz, a reszta spełnia warunek $0 \le r < b$. Przykład: $100 = 7 \cdot 14 + 2$. Gdy $r = 0$, liczba $a$ jest podzielna przez $b$. Liczby dające przy dzieleniu przez 2 resztę 1 to liczby nieparzyste, czyli liczby postaci $2k + 1$.

9.Skracanie i rozszerzanie ułamka

Skracanie to podzielenie licznika i mianownika przez tę samą liczbę różną od zera, a rozszerzanie - pomnożenie ich przez tę samą liczbę różną od zera; wartość ułamka się nie zmienia. Ułamek jest nieskracalny, gdy NWD licznika i mianownika wynosi 1. Najszybciej skracamy od razu przez NWD: $\frac{36}{48} = \frac{36 : 12}{48 : 12} = \frac{3}{4}$.

10.Dodawanie i odejmowanie ułamków zwykłych

Ułamki dodajemy i odejmujemy dopiero po sprowadzeniu do wspólnego mianownika; najmniejszy wspólny mianownik to NWW mianowników. Potem dodajemy (odejmujemy) liczniki, a mianownik przepisujemy: $\frac{1}{6} + \frac{3}{4} = \frac{2}{12} + \frac{9}{12} = \frac{11}{12}$. Mianowników nigdy nie dodajemy do siebie.

11.Mnożenie i dzielenie ułamków zwykłych

Mnożymy licznik przez licznik i mianownik przez mianownik: $\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}$; przed mnożeniem warto skracać „na krzyż”. Dzielenie zastępujemy mnożeniem przez odwrotność dzielnika: $\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}$. Przykład: $\frac{2}{3} : \frac{4}{9} = \frac{2}{3} \cdot \frac{9}{4} = \frac{3}{2}$.

12.Liczba mieszana

Liczba mieszana to suma liczby całkowitej i ułamka właściwego, np. $3\frac{2}{5} = 3 + \frac{2}{5}$. Zamiana na ułamek niewłaściwy: część całkowitą mnożymy przez mianownik i dodajemy licznik, np. $3\frac{2}{5} = \frac{17}{5}$. Przy mnożeniu i dzieleniu najpierw zamieniamy liczby mieszane na ułamki niewłaściwe - nie mnożymy osobno całości i osobno ułamków.

13.Kiedy ułamek zwykły ma skończone rozwinięcie dziesiętne?

Ułamek nieskracalny ma skończone rozwinięcie dziesiętne wtedy i tylko wtedy, gdy w rozkładzie jego mianownika na czynniki pierwsze są tylko dwójki i piątki: $\frac{3}{8} = 0{,}375$, $\frac{7}{20} = 0{,}35$. Ułamki $\frac{1}{6}$ i $\frac{2}{7}$ mają rozwinięcia nieskończone. Najpierw skracamy ułamek: $\frac{3}{15} = \frac{1}{5} = 0{,}2$. Zamiana: dzielimy licznik przez mianownik albo rozszerzamy ułamek do mianownika 10, 100, 1000.

14.Rozwinięcie dziesiętne nieskończone okresowe

Gdy mianownik ułamka nieskracalnego ma czynnik pierwszy inny niż 2 i 5, dzielenie się nie kończy i cyfry zaczynają się powtarzać. Powtarzającą się grupę cyfr (okres) zapisujemy w nawiasie: $\frac{1}{3} = 0{,}333\ldots = 0{,}(3)$, $\frac{1}{6} = 0{,}1666\ldots = 0{,}1(6)$, $\frac{2}{11} = 0{,}1818\ldots = 0{,}(18)$.

15.Porównywanie ułamków

Z ułamków o tym samym mianowniku większy jest ten o większym liczniku, a z ułamków o tym samym liczniku - ten o mniejszym mianowniku: $\frac{3}{7} > \frac{3}{8}$. W innych przypadkach sprowadzamy ułamki do wspólnego mianownika albo zamieniamy je na ułamki dziesiętne. Ułamki dziesiętne porównujemy cyfra po cyfrze od lewej: $0{,}(4) = 0{,}444\ldots$ jest większe od $0{,}44$, ale mniejsze od $0{,}445$.

16.Ułamek danej liczby i liczba z danego ułamka

Ułamek danej liczby obliczamy mnożeniem: $\frac{3}{4}$ z 60 to $\frac{3}{4} \cdot 60 = 45$. Gdy znamy część i wiemy, jakim jest ułamkiem całości, całość obliczamy dzieleniem: jeśli $\frac{2}{3}$ liczby to 12, to liczba wynosi $12 : \frac{2}{3} = 18$. Powiększenie liczby o $\frac{1}{4}$ daje $\frac{5}{4}$ tej liczby, a pomniejszenie o $\frac{1}{4}$ daje $\frac{3}{4}$ tej liczby.

17.Potęga o wykładniku naturalnym

$a^n$ to iloczyn $n$ czynników równych $a$: $2^5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32$; $a$ to podstawa, $n$ to wykładnik. Potęga liczby ujemnej jest dodatnia przy wykładniku parzystym i ujemna przy nieparzystym: $(-3)^2 = 9$, $(-3)^3 = -27$. Uwaga na nawias: $-3^2 = -9$, bo do kwadratu podnosimy tylko liczbę 3.

18.Mnożenie i dzielenie potęg o tej samej podstawie

Przy mnożeniu potęg o tej samej podstawie wykładniki dodajemy: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, a przy dzieleniu odejmujemy: $a^m : a^n = a^{m-n}$ (dla $a$ różnego od 0 i $m > n$). Przykłady: $5^3 \cdot 5^4 = 5^7$, $7^{10} : 7^6 = 7^4$. Podstawa się nie zmienia - podstaw nie mnożymy, więc $2^3 \cdot 2^4 = 2^7$, a nie $4^7$.

19.Potęga potęgi, potęga iloczynu i ilorazu

Potęga potęgi: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, np. $(3^2)^5 = 3^{10}$. Potęga iloczynu i ilorazu: $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$ oraz $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$. Czytane od prawej strony pomagają liczyć: $4^5 \cdot 25^5 = 100^5 = 10^{10}$. Potęgi porównujemy po sprowadzeniu ich do wspólnej podstawy lub wspólnego wykładnika: $27^4 = (3^3)^4 = 3^{12}$.

20.Pierwiastek kwadratowy i sześcienny

Pierwiastek kwadratowy z liczby nieujemnej $a$ to taka liczba nieujemna $b$, że $b^2 = a$: $\sqrt{49} = 7$, $\sqrt{0{,}09} = 0{,}3$, $\sqrt{\frac{4}{25}} = \frac{2}{5}$. Pierwiastek sześcienny z $a$ to liczba $b$, dla której $b^3 = a$: $\sqrt[3]{64} = 4$, $\sqrt[3]{0{,}001} = 0{,}1$. Liczbę mieszaną pod pierwiastkiem najpierw zamieniamy na ułamek niewłaściwy.

21.Pierwiastek z iloczynu i z ilorazu

Dla liczb nieujemnych: $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ oraz $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ (dla $b > 0$). Dzięki temu mnożymy i dzielimy pierwiastki tego samego stopnia: $\sqrt{2} \cdot \sqrt{8} = \sqrt{16} = 4$, $\frac{\sqrt{75}}{\sqrt{3}} = \sqrt{25} = 5$. Dla sumy nie ma takiej reguły: $\sqrt{9 + 16} = 5$, a $\sqrt{9} + \sqrt{16} = 7$.

22.Wyłączanie czynnika przed znak pierwiastka i włączanie pod pierwiastek

Liczbę pod pierwiastkiem rozkładamy na iloczyn, w którym jeden czynnik jest kwadratem (najlepiej największym możliwym): $\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}$; dla pierwiastka sześciennego szukamy sześcianu: $\sqrt[3]{54} = \sqrt[3]{27 \cdot 2} = 3\sqrt[3]{2}$. Włączanie działa odwrotnie - czynnik podnosimy do kwadratu: $3\sqrt{2} = \sqrt{9 \cdot 2} = \sqrt{18}$. Włączanie ułatwia porównywanie liczb z pierwiastkami.

23.Szacowanie wartości pierwiastka

Aby oszacować $\sqrt{a}$, szukamy dwóch kolejnych kwadratów liczb naturalnych, między którymi leży $a$: skoro $36 < 40 < 49$, to $6 < \sqrt{40} < 7$. Liczbę z czynnikiem przed pierwiastkiem najpierw włączamy pod pierwiastek: $2\sqrt{7} = \sqrt{28}$, a $25 < 28 < 36$, więc $5 < 2\sqrt{7} < 6$. Warto pamiętać: $\sqrt{2} \approx 1{,}41$, $\sqrt{3} \approx 1{,}73$.

24.Notacja wykładnicza

To zapis liczby w postaci $a \cdot 10^k$, gdzie $1 \le a < 10$, a $k$ jest liczbą całkowitą. Dla dużych liczb $k$ jest dodatnie: $45\,000\,000 = 4{,}5 \cdot 10^7$. Dla małych liczb $k$ jest ujemne i wskazuje miejsce pierwszej niezerowej cyfry po przecinku: $0{,}0032 = 3{,}2 \cdot 10^{-3}$. Przy mnożeniu mnożymy liczby, dodajemy wykładniki i poprawiamy zapis: $(5 \cdot 10^3) \cdot (4 \cdot 10^2) = 20 \cdot 10^5 = 2 \cdot 10^6$.

25.Jednomian i wyrazy podobne

Jednomian to liczba, litera lub ich iloczyn, np. $-5x^2y$; liczba przed literami to współczynnik. Wyrazy podobne mają te same litery w tych samych potęgach i mogą różnić się tylko współczynnikiem, np. $3ab^2$ i $-7ab^2$. Redukcja wyrazów podobnych: dodajemy współczynniki, a część literową przepisujemy: $3ab^2 - 7ab^2 = -4ab^2$. Wyrazów niepodobnych, np. $x^2$ i $x$, nie łączymy.

26.Suma algebraiczna i opuszczanie nawiasów

Suma algebraiczna to suma jednomianów, np. $2x^2 - 3x + 1$. Nawias poprzedzony plusem opuszczamy bez zmian, a nawias poprzedzony minusem - zmieniając znaki WSZYSTKICH wyrazów w nawiasie na przeciwne: $(4x - 1) - (x - 5) = 4x - 1 - x + 5 = 3x + 4$. Po opuszczeniu nawiasów redukujemy wyrazy podobne.

27.Mnożenie sumy algebraicznej przez jednomian

Jednomian mnożymy przez KAŻDY wyraz sumy i pilnujemy znaków: $a(b + c) = ab + ac$. Przykład: $2x(3x^2 - x + 4) = 6x^3 - 2x^2 + 8x$. Przy mnożeniu przez liczbę ujemną zmieniają się znaki wszystkich wyrazów: $-4(a - 2b) = -4a + 8b$.

28.Mnożenie dwumianu przez dwumian

Każdy wyraz pierwszego nawiasu mnożymy przez każdy wyraz drugiego, a potem redukujemy wyrazy podobne: $(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd$. Przykład: $(x + 3)(x - 5) = x^2 - 5x + 3x - 15 = x^2 - 2x - 15$. Przed redukcją zawsze są cztery iloczyny.

29.Wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias

To działanie odwrotne do mnożenia sumy przez jednomian: $ab + ac = a(b + c)$. Przed nawias wyłączamy największy wspólny czynnik wszystkich wyrazów: NWD współczynników i wspólne litery w najniższej potędze. W nawiasie zostaje to, co wychodzi po podzieleniu każdego wyrazu przez ten czynnik: $15x^2 - 10x = 5x(3x - 2)$. Wspólnym czynnikiem może być też nawias: $a(x + 1) + b(x + 1) = (x + 1)(a + b)$. Wynik sprawdzamy, wymnażając.

30.Kwadrat sumy

$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ - kwadrat pierwszego wyrazu plus podwojony iloczyn obu wyrazów plus kwadrat drugiego wyrazu. Przykład: $(2x + 3)^2 = 4x^2 + 12x + 9$. Najczęstszy błąd to zgubienie środkowego wyrazu: $(a + b)^2$ to NIE to samo co $a^2 + b^2$. Wzór ułatwia rachunki w pamięci: $51^2 = (50 + 1)^2 = 2500 + 100 + 1 = 2601$.

31.Kwadrat różnicy

$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ - minus stoi tylko przy podwojonym iloczynie, a oba kwadraty są dodatnie. Przykłady: $(x - 4)^2 = x^2 - 8x + 16$, $(3a - b)^2 = 9a^2 - 6ab + b^2$. W pamięci: $99^2 = (100 - 1)^2 = 10\,000 - 200 + 1 = 9801$.

32.Różnica kwadratów (iloczyn sumy i różnicy)

$(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$, bo wyrazy środkowe $ab$ i $-ab$ się redukują. Przykład: $(x + 6)(x - 6) = x^2 - 36$. Wzór czytany od prawej strony pozwala zapisać wyrażenie w postaci iloczynu: $x^2 - 25 = (x - 5)(x + 5)$, a także liczyć w pamięci: $42 \cdot 38 = (40 + 2)(40 - 2) = 1600 - 4 = 1596$.

33.Równanie liniowe i jego rozwiązanie

Równanie pierwszego stopnia z jedną niewiadomą można doprowadzić do postaci $ax + b = 0$. Rozwiązanie równania to liczba, która po podstawieniu w miejsce niewiadomej daje równość prawdziwą. Sprawdzamy je, obliczając osobno lewą i prawą stronę: dla $2x + 1 = x + 4$ i $x = 3$ obie strony są równe 7, więc 3 jest rozwiązaniem.

34.Rozwiązywanie równania - przekształcenia równoważne

Rozwiązania równania się nie zmieniają, gdy do obu stron dodamy (lub odejmiemy) to samo albo obie strony pomnożymy (lub podzielimy) przez tę samą liczbę różną od zera. Kolejno: opuszczamy nawiasy, mnożymy obie strony przez wspólny mianownik (gdy są ułamki), przenosimy niewiadome na jedną stronę, a liczby na drugą (przeniesiony wyraz zmienia znak), redukujemy i dzielimy przez współczynnik. Przykład: $5x - 7 = 2x + 8$, więc $3x = 15$, czyli $x = 5$.

35.Równanie sprzeczne i równanie tożsamościowe

Równanie liniowe może mieć jedno rozwiązanie, nie mieć żadnego albo mieć ich nieskończenie wiele. Gdy niewiadoma się redukuje i zostaje fałsz, np. $0 = 5$, równanie jest sprzeczne (brak rozwiązań), np. $x + 2 = x + 7$. Gdy zostaje prawda, np. $0 = 0$, równanie jest tożsamościowe - spełnia je każda liczba, np. $3(x + 1) = 3x + 3$. Uwaga: równanie $4x = 0$ nie jest sprzeczne, bo ma rozwiązanie $x = 0$.

36.Przekształcanie wzorów

Zmienną ze wzoru wyznaczamy tak jak niewiadomą z równania: wykonujemy te same działania na obu stronach, aż szukana zmienna zostanie sama. Najpierw pozbywamy się ułamka (mnożymy obie strony przez mianownik), potem dzielimy przez to, co stoi przy szukanej zmiennej. Przykłady: z $v = \frac{s}{t}$ mamy $s = v \cdot t$ oraz $t = \frac{s}{v}$; z $P = \frac{a \cdot h}{2}$ mamy $a = \frac{2P}{h}$.

37.Procent i obliczanie p% liczby

Procent to setna część całości: $1\% = \frac{1}{100} = 0{,}01$. Cała wielkość to $100\%$, a $50\% = \frac{1}{2}$, $25\% = \frac{1}{4}$, $20\% = \frac{1}{5}$, $10\% = \frac{1}{10}$. Aby obliczyć $p\%$ liczby $a$, mnożymy $\frac{p}{100} \cdot a$: $12\%$ z 350 to $0{,}12 \cdot 350 = 42$.

38.Jakim procentem jest jedna liczba drugiej i liczba z danego procentu

Aby obliczyć, jakim procentem liczby $a$ jest liczba $b$, dzielimy $b$ przez $a$ i mnożymy przez $100\%$: 9 to $\frac{9}{36} \cdot 100\% = 25\%$ liczby 36. Aby znaleźć całą liczbę, gdy znamy jej $p\%$, dzielimy tę część przez $\frac{p}{100}$: jeśli $40\%$ liczby to 18, liczba wynosi $18 : 0{,}4 = 45$. Całość, z którą porównujemy, to zawsze $100\%$.

39.Podwyżka i obniżka o p%

Po podwyżce o $p\%$ nowa wartość to $(100 + p)\%$ starej, więc mnożymy przez $1 + \frac{p}{100}$: po podwyżce o $15\%$ cena 80 zł wynosi $1{,}15 \cdot 80 = 92$ zł. Obniżka o $p\%$ to mnożenie przez $1 - \frac{p}{100}$: po obniżce o $30\%$ cena 80 zł wynosi $0{,}7 \cdot 80 = 56$ zł. Gdy znamy cenę po zmianie, cenę początkową dostajemy, dzieląc przez ten mnożnik.

40.Kolejne zmiany procentowe i punkty procentowe

Kolejną zmianę procentową liczymy od NOWEJ wartości, więc mnożniki mnożymy, a procentów nie dodajemy: dwie podwyżki o $10\%$ to $1{,}1 \cdot 1{,}1 = 1{,}21$, czyli wzrost o $21\%$, a nie o $20\%$. Podwyżka o $p\%$, a potem obniżka o $p\%$ zawsze zmniejsza wartość. Różnicę dwóch wielkości wyrażonych w procentach podajemy w punktach procentowych: wzrost z $20\%$ do $25\%$ to wzrost o 5 punktów procentowych, czyli o $25\%$ wartości początkowej.