Procenty - obliczenia, zmiany i zastosowania

1.Procent

Procent oznacza jedną setną całości: $1\% = \frac{1}{100} = 0{,}01$. Procenty wyrażają stosunek części do całości, a nie samą wielkość części.

2.Zamiana procentu na liczbę

Aby zamienić procent na liczbę, podziel jego wartość liczbową przez sto: $p\% = \frac{p}{100}$. Tak otrzymanej liczby używa się jako mnożnika w obliczeniach.

3.Zamiana liczby lub ułamka na procent

Aby przedstawić liczbę jako procent, pomnóż ją przez sto i dopisz znak procentu. Ułamek najpierw oblicz lub rozszerz do mianownika sto.

4.Całość jako podstawa procentowania

Wielkość, do której odnosimy procent, stanowi $100\%$. Przed obliczeniami trzeba ustalić, co jest całością: cena początkowa, liczba wszystkich osób, masa roztworu lub inna wskazana wielkość.

5.Obliczanie procentu danej liczby

Jeżeli całość wynosi $a$, to jej $p\%$ obliczamy ze wzoru $b = \frac{p}{100} \cdot a$. Procent zamieniamy na ułamek i mnożymy przez całość.

6.Jakim procentem całości jest część?

Jeżeli część wynosi $b$, a całość $a > 0$, to jej procentowy udział ma wartość liczbową $p = \frac{b}{a} \cdot 100$. Obie wielkości muszą być wyrażone w tych samych jednostkach.

7.Odtwarzanie całości z jej procentu

Jeżeli $b$ stanowi $p\%$ całości $a$, gdzie $p > 0$, to $a = \frac{b}{p/100}$. Dzielimy znaną część przez ułamek odpowiadający procentowi.

8.Porównywanie udziałów procentowych

Większa liczba elementów nie musi oznaczać większego udziału procentowego. Porównuj ilorazy liczby wybranych elementów i liczby wszystkich elementów w każdej grupie.

9.Mnożnik podwyżki procentowej

Podwyższenie dodatniej wielkości o $p\%$ oznacza pomnożenie jej przez $1 + \frac{p}{100}$. Do wartości początkowej dodajemy wskazany procent tej wartości.

10.Mnożnik obniżki procentowej

Obniżenie dodatniej wielkości o $p\%$ oznacza pomnożenie jej przez $1 - \frac{p}{100}$. Dla nieujemnej wartości końcowej przyjmujemy $0 \leq p \leq 100$.

11.Wartość po zmianie procentowej

Wartość końcowa jest iloczynem wartości początkowej i mnożnika zmiany. Gdy wynosi on $k$, stosujemy $b = a \cdot k$. Mnożnik większy od jedności oznacza wzrost, a między zerem i jednością - spadek.

12.Wartość początkowa przed zmianą

Jeżeli znamy wartość końcową $b$ i dodatni mnożnik zmiany $k$, odzyskujemy wartość początkową ze wzoru $a = \frac{b}{k}$. Nie odejmujemy ani nie dodajemy tego samego procentu wartości końcowej.

13.Zmiana bezwzględna i względna

Zmiana bezwzględna wynosi $b-a$ i ma jednostkę porównywanych wielkości. Procentowa zmiana względem dodatniej wartości początkowej $a$ wynosi $\frac{b-a}{a} \cdot 100\%$. Wynik dodatni oznacza wzrost, a ujemny spadek.

14.Punkt procentowy

Punkt procentowy opisuje różnicę między wartościami wyrażonymi w procentach. Odejmujemy ich wartości liczbowe. Nie jest to względna zmiana procentowa.

15.Procent a punkt procentowy

Zmianę udziału można opisać jako różnicę w punktach procentowych albo jako zmianę względną względem udziału początkowego. Te opisy odpowiadają na różne pytania i zwykle dają różne liczby.

16.Procenty większe od stu

Wartość stanowiąca więcej niż $100\%$ innej wielkości jest od niej większa. Trzeba odróżniać „stanowi $p\%$ wartości” od „jest o $p\%$ większa”: w drugim przypadku do całości dodaje się jej wskazany procent.

17.Kolejne zmiany procentowe

Przy kolejnych zmianach mnożymy ich mnożniki: $b = a \cdot k_1 \cdot k_2$. Każdy kolejny procent jest liczony od aktualnej wartości, jeśli nie podano innej podstawy.

18.Podwyżka i obniżka o ten sam procent

Podwyżka i obniżka o $p\%$ nie znoszą się. Łączny mnożnik to $(1+\frac{p}{100}) \cdot (1-\frac{p}{100}) = 1-(\frac{p}{100})^2$. Dla $0 < p < 100$ końcowa wartość jest mniejsza od początkowej.

19.Procent potrzebny do odwrócenia spadku

Po obniżce o $p\%$, gdzie $0 < p < 100$, powrót do wartości początkowej wymaga podwyżki o $\frac{100 \cdot p}{100-p}\%$. Wzrost jest liczony od mniejszej podstawy.

20.Porównanie procentowe w przeciwnych kierunkach

Jeżeli jedna dodatnia wielkość jest o pewien procent większa od drugiej, druga nie jest o ten sam procent mniejsza od pierwszej. Przy zmianie kierunku porównania zmienia się mianownik, czyli podstawa procentowania.

21.Łączny procent zmiany

Po wyznaczeniu łącznego mnożnika $k$ zmiana procentowa wynosi $(k-1) \cdot 100\%$. Można też bezpośrednio porównać wartość końcową z początkową.

22.Kilka kolejnych rabatów

Każdy rabat zwykle obniża aktualną cenę. Cenę końcową otrzymujemy, mnożąc cenę początkową przez wszystkie mnożniki obniżek. Łączny rabat nie jest sumą rabatów.

23.Łączny udział procentowy w grupach

Łączny udział obliczamy jako stosunek sumy liczebności wybranych elementów do sumy liczebności wszystkich elementów. Średnia arytmetyczna procentów jest poprawna dla grup jednakowej wielkości; ogólnie potrzebne są wagi odpowiadające liczebnościom.

24.Procent masowy i mieszanie roztworów

Procent masowy to $\frac{m_s}{m_r} \cdot 100\%$, gdzie $m_s$ jest masą substancji rozpuszczonej, a $m_r$ masą roztworu. Przy mieszaniu bez reakcji i strat sumujemy masy substancji oraz roztworów, a następnie obliczamy nowy udział.

25.Kapitał, odsetki i oprocentowanie

Kapitał to kwota, od której nalicza się odsetki. Oprocentowanie wskazuje procent kapitału należny za określony okres. Stopa roczna dotyczy roku; nie jest automatycznie stopą miesięczną.

26.Procent prosty

Przy procencie prostym odsetki w każdym okresie oblicza się od kapitału początkowego. Dla kapitału $K_0$, stopy $r$ zapisanej jako ułamek i liczby okresów $n$: $K_n = K_0 \cdot (1+n \cdot r)$.

27.Procent składany

Przy procencie składanym odsetki są dopisywane do kapitału i w kolejnych okresach także przynoszą odsetki. Przy stałej stopie okresowej $r$: $K_n = K_0 \cdot (1+r)^n$. Wzór zakłada brak wpłat, wypłat, podatków i opłat.

28.Okres kapitalizacji

Kapitalizacja to dopisanie odsetek do kapitału. W obliczeniach stopa procentowa musi dotyczyć tego samego okresu co pojedynczy krok kapitalizacji, a wykładnik oznacza liczbę takich okresów.

29.Podatek od odsetek

Podatek od odsetek oblicza się od kwoty odsetek, nie od całego kapitału. Jeśli odsetki brutto wynoszą $I$, a stawka podatku ma wartość liczbową $t$, to odsetki netto wynoszą $I \cdot (1-\frac{t}{100})$.

30.Inflacja a realna zmiana wartości

Jeżeli nominalny mnożnik wzrostu wynosi $k$, a mnożnik wzrostu cen $h$, realny mnożnik siły nabywczej wynosi $\frac{k}{h}$. Realna zmiana procentowa to $(\frac{k}{h}-1) \cdot 100\%$. Samo odejmowanie stóp daje tylko przybliżenie.

31.Cena netto i brutto

W zadaniach z podatkiem VAT cenę brutto obliczamy jako $B = N \cdot (1+\frac{v}{100})$, gdzie $N$ jest ceną netto, a $v$ wartością liczbową stawki VAT. Cenę netto odzyskujemy przez dzielenie przez ten mnożnik.

32.Procentowy koszt zakupu na raty

Najpierw sumujemy wszystkie raty i dodatkowe opłaty. Procentową nadwyżkę względem ceny gotówkowej $C > 0$ obliczamy jako $\frac{S-C}{C} \cdot 100\%$, gdzie $S$ oznacza łączną zapłatę. Nie jest to automatycznie roczna stopa kosztu kredytu.