Działania na liczbach wymiernych

1.Liczba wymierna

Liczba, którą można zapisać jako ułamek $\frac{a}{b}$, gdzie $a$ i $b$ są liczbami całkowitymi i $b \neq 0$. Wymierne są np. $5 = \frac{5}{1}$, $-0{,}3 = -\frac{3}{10}$ oraz $2\frac{1}{4} = \frac{9}{4}$.

2.Liczby przeciwne

Liczby różniące się tylko znakiem, np. $\frac{2}{3}$ i $-\frac{2}{3}$. Na osi liczbowej leżą w tej samej odległości od zera, po przeciwnych stronach, a ich suma wynosi $0$.

3.Wartość bezwzględna

Odległość liczby od zera na osi liczbowej, dlatego nigdy nie jest ujemna: $|-4{,}5| = 4{,}5$, $|3| = 3$, $|0| = 0$.

4.Dodawanie liczb o jednakowych znakach

Dodajemy wartości bezwzględne, a wynikowi dajemy wspólny znak: $-2{,}5 + (-1{,}3) = -3{,}8$ oraz $\frac{1}{4} + \frac{1}{2} = \frac{3}{4}$.

5.Dodawanie liczb o różnych znakach

Od większej wartości bezwzględnej odejmujemy mniejszą, a wynik ma znak liczby o większej wartości bezwzględnej: $-7 + 4{,}5 = -2{,}5$ oraz $-3 + 8 = 5$.

6.Odejmowanie jako dodawanie liczby przeciwnej

$a - b = a + (-b)$. Każde odejmowanie można zamienić na dodawanie liczby przeciwnej: $3 - 5 = 3 + (-5) = -2$.

7.Odejmowanie liczby ujemnej

Odjęcie liczby ujemnej to dodanie liczby do niej przeciwnej, czyli dodatniej: $2{,}5 - (-1{,}5) = 2{,}5 + 1{,}5 = 4$ oraz $-4 - (-6) = -4 + 6 = 2$.

8.Wspólny mianownik

Ułamki zwykłe dodajemy i odejmujemy po sprowadzeniu do wspólnego mianownika: $\frac{1}{4} - \frac{5}{6} = \frac{3}{12} - \frac{10}{12} = -\frac{7}{12}$.

9.Ujemna liczba mieszana

$-1\frac{1}{2}$ oznacza $-\left(1 + \frac{1}{2}\right) = -\frac{3}{2}$, a nie $-1 + \frac{1}{2}$. Przed działaniami warto zamienić ją na ułamek niewłaściwy.

10.Ułamek zwykły i dziesiętny w jednym działaniu

Zamieniamy liczby na jedną postać: $0{,}5 - \frac{3}{4} = \frac{2}{4} - \frac{3}{4} = -\frac{1}{4}$ albo $0{,}5 - 0{,}75 = -0{,}25$. Gdy ułamek zwykły nie ma skończonego rozwinięcia dziesiętnego (np. $\frac{1}{3}$), liczymy na ułamkach zwykłych.

11.Znak iloczynu dwóch liczb

Jednakowe znaki dają wynik dodatni, a różne znaki - ujemny: $(-3) \cdot (-4) = 12$, $(-3) \cdot 4 = -12$, $3 \cdot (-4) = -12$.

12.Znak iloczynu wielu czynników

Liczymy czynniki ujemne. Parzysta liczba minusów daje wynik dodatni, a nieparzysta - ujemny: $(-1) \cdot (-2) \cdot (-3) = -6$, a $(-1) \cdot (-2) \cdot (-3) \cdot (-4) = 24$.

13.Mnożenie ułamków zwykłych

Mnożymy licznik przez licznik i mianownik przez mianownik, najlepiej po skróceniu na krzyż: $-\frac{3}{4} \cdot \frac{8}{9} = -\frac{1 \cdot 2}{1 \cdot 3} = -\frac{2}{3}$.

14.Mnożenie ułamków dziesiętnych ze znakiem

Najpierw ustalamy znak, a potem mnożymy jak zwykle: $-0{,}4 \cdot 0{,}3 = -0{,}12$ oraz $(-1{,}5) \cdot (-2) = 3$.

15.Odwrotność liczby

Liczba, która pomnożona przez daną liczbę daje $1$. Odwrotnością $\frac{a}{b}$ jest $\frac{b}{a}$. Odwrotność ma ten sam znak: odwrotnością $-\frac{2}{5}$ jest $-\frac{5}{2}$, a odwrotnością $-4$ jest $-\frac{1}{4}$. Zero nie ma odwrotności.

16.Odwrotność liczby mieszanej

Najpierw zamieniamy liczbę mieszaną na ułamek niewłaściwy, a potem go odwracamy: $-1\frac{2}{3} = -\frac{5}{3}$, więc odwrotność to $-\frac{3}{5}$.

17.Dzielenie przez ułamek

Dzielenie zamieniamy na mnożenie przez odwrotność dzielnika: $\frac{3}{4} : \left(-\frac{3}{8}\right) = \frac{3}{4} \cdot \left(-\frac{8}{3}\right) = -2$.

18.Znak ilorazu

Przy dzieleniu obowiązują te same reguły znaków co przy mnożeniu: $(-12) : (-3) = 4$, $-1{,}2 : 0{,}4 = -3$, $15 : (-5) = -3$.

19.Zero w dzieleniu

Zero podzielone przez liczbę różną od zera daje zero: $0 : (-5) = 0$. Dzielenie przez zero jest niewykonalne.

20.Kwadrat i sześcian liczby ujemnej

$(-3)^2 = (-3) \cdot (-3) = 9$, ale $-3^2 = -(3 \cdot 3) = -9$, bo potęga dotyczy tylko liczby 3. Sześcian liczby ujemnej jest ujemny: $(-2)^3 = -8$.

21.Kolejność działań

Najpierw działania w nawiasach, potem potęgi, następnie mnożenie i dzielenie, a na końcu dodawanie i odejmowanie: $-2 + 3 \cdot (-4) = -2 + (-12) = -14$.

22.Działania tego samego stopnia

Mnożenie i dzielenie (a także dodawanie i odejmowanie) wykonujemy po kolei od lewej do prawej: $12 : (-2) \cdot 3 = -6 \cdot 3 = -18$, a nie $12 : (-6)$.

23.Kreska ułamkowa jak nawias

Najpierw obliczamy osobno licznik i mianownik, a dopiero potem dzielimy: $\frac{-3 + 7}{-2} = \frac{4}{-2} = -2$.

24.Liczba ujemna w nawiasie

Gdy liczba ujemna stoi po znaku działania, zapisujemy ją w nawiasie: $5 \cdot (-2)$, $4 - (-3)$. Dwa znaki działań obok siebie bez nawiasu to błąd zapisu.

25.Minus przy ułamku

Minus można zapisać przed ułamkiem, w liczniku albo w mianowniku: $\frac{-3}{4} = \frac{3}{-4} = -\frac{3}{4}$. Gdy minus jest i w liczniku, i w mianowniku, ułamek jest dodatni: $\frac{-3}{-4} = \frac{3}{4}$.

26.Najpierw znak, potem liczby

Przed liczeniem ustal znak wyniku, a potem oblicz wartość. Przykład: $(-0{,}5) \cdot 8 \cdot (-0{,}25)$ ma dwa czynniki ujemne, więc wynik jest dodatni: $0{,}5 \cdot 8 \cdot 0{,}25 = 1$.