Kąty wierzchołkowe, przyległe, odpowiadające i naprzemianległe

1.Kąt

Figura złożona z dwóch półprostych o wspólnym początku i części płaszczyzny ograniczonej tymi półprostymi. Półproste to ramiona kąta, a ich wspólny początek to wierzchołek. Kąt zapisujemy np. $\sphericalangle AOB$, gdzie $O$ to wierzchołek.

2.Rodzaje kątów

Kąt ostry ma mniej niż $90^\circ$, prosty dokładnie $90^\circ$, a rozwarty więcej niż $90^\circ$ i mniej niż $180^\circ$. Kąt półpełny ma $180^\circ$, a pełny $360^\circ$.

3.Kąt półpełny

Kąt o mierze $180^\circ$. Jego ramiona leżą na jednej prostej i biegną w przeciwne strony, czyli są półprostymi przeciwnymi.

4.Kąty przyległe

Dwa kąty, które mają jedno wspólne ramię, a ich pozostałe ramiona tworzą prostą (są półprostymi przeciwnymi). Razem tworzą kąt półpełny.

5.Suma kątów przyległych

Kąty przyległe mają razem $180^\circ$. Jeśli jeden ma $70^\circ$, to drugi ma $180^\circ - 70^\circ = 110^\circ$.

6.Kąty wierzchołkowe

Dwa kąty o wspólnym wierzchołku, w których ramiona jednego kąta są przedłużeniami ramion drugiego (półprostymi przeciwnymi). Powstają przy przecięciu dwóch prostych i leżą naprzeciw siebie.

7.Równość kątów wierzchołkowych

Kąty wierzchołkowe mają równe miary. Uzasadnienie: każdy z nich jest przyległy do tego samego kąta $\beta$, więc każdy ma $180^\circ - \beta$.

8.Kąty przy dwóch przecinających się prostych

Dwie przecinające się proste tworzą 4 kąty, czyli dwie pary kątów wierzchołkowych. Każde dwa sąsiednie kąty są przyległe. Gdy jeden kąt ma $40^\circ$, pozostałe mają $140^\circ$, $40^\circ$ i $140^\circ$.

9.Kąty przy prostych $AB$ i $CD$

Gdy proste $AB$ i $CD$ przecinają się w punkcie $O$ leżącym między $A$ i $B$ oraz między $C$ i $D$, to $\sphericalangle AOC$ i $\sphericalangle BOD$ są wierzchołkowe, a $\sphericalangle AOC$ i $\sphericalangle COB$ są przyległe.

10.Proste prostopadłe

Proste, które przecinają się pod kątem prostym. Wszystkie 4 powstałe kąty mają wtedy po $90^\circ$. Zapis: $k \perp l$.

11.Proste równoległe

Proste na płaszczyźnie, które nie mają punktów wspólnych albo się pokrywają. Zapis: $k \parallel l$. Przykłady z życia: szyny kolejowe, linie w zeszycie.

12.Sieczna

Prosta, która przecina dwie inne proste. Przy dwóch punktach przecięcia powstaje razem 8 kątów, po 4 przy każdym punkcie.

13.Kąty odpowiadające

Dwa kąty przy dwóch różnych punktach przecięcia, położone po tej samej stronie siecznej i po tej samej stronie każdej z przeciętych prostych. Przykład: oba kąty leżą nad swoją prostą i na prawo od siecznej.

14.Kąty odpowiadające przy prostych równoległych

Gdy sieczna przecina dwie proste równoległe, kąty odpowiadające mają równe miary. Jeśli przesuniesz jedną prostą wzdłuż siecznej tak, by nałożyła się na drugą, kąty odpowiadające się pokryją.

15.Kąty naprzemianległe

Dwa kąty przy dwóch różnych punktach przecięcia, położone po przeciwnych stronach siecznej i oba między przeciętymi prostymi (naprzemianległe wewnętrzne). Tak samo nazywamy parę kątów po przeciwnych stronach siecznej leżących oba na zewnątrz prostych.

16.Kąty naprzemianległe przy prostych równoległych

Gdy sieczna przecina dwie proste równoległe, kąty naprzemianległe mają równe miary. Uzasadnienie: kąt naprzemianległy do danego kąta jest wierzchołkowy do kąta mu odpowiadającego, więc ma tę samą miarę co dany kąt.

17.Osiem kątów przy prostych równoległych

Gdy sieczna przecina dwie proste równoległe i nie jest do nich prostopadła, 8 kątów ma tylko dwie różne miary: $\alpha$ (4 kąty ostre) i $180^\circ - \alpha$ (4 kąty rozwarte).

18.Kąty między prostymi równoległymi po tej samej stronie siecznej

Dwa kąty leżące między prostymi równoległymi, po tej samej stronie siecznej, mają razem $180^\circ$. Jeden z nich jest przyległy do kąta naprzemianległego z drugim.

19.Sprawdzanie równoległości prostych

Jeśli sieczna tworzy z dwiema prostymi równe kąty odpowiadające albo równe kąty naprzemianległe, to te proste są równoległe. Z tej zasady korzystamy, rysując proste równoległe ekierką przesuwaną wzdłuż linijki.

20.Proste nierównoległe

Gdy przecięte proste nie są równoległe, kąty odpowiadające i naprzemianległe mają różne miary. Nie wolno wtedy korzystać z ich równości.

21.Kąty przyległe w równaniu

Gdy kąty przyległe mają miary $x$ i $2x$, to $x + 2x = 180^\circ$, czyli $3x = 180^\circ$ i $x = 60^\circ$. Kąty mają $60^\circ$ i $120^\circ$.

22.Kąty wierzchołkowe w równaniu

Kąty wierzchołkowe są równe, więc gdy mają miary $3x$ i $x + 40^\circ$, to $3x = x + 40^\circ$, czyli $2x = 40^\circ$ i $x = 20^\circ$. Każdy z tych kątów ma $60^\circ$.

23.Kąty dookoła punktu

Kąty dookoła jednego punktu, które razem wypełniają całą płaszczyznę, mają łącznie $360^\circ$. Przy dwóch przecinających się prostych: $40^\circ + 140^\circ + 40^\circ + 140^\circ = 360^\circ$.

24.Uzasadnianie obliczeń

Przy każdym kroku podajemy powód: „kąty przyległe, więc razem $180^\circ$”, „kąty wierzchołkowe, więc równe”, „kąty odpowiadające przy prostych równoległych, więc równe”. Takiego uzasadnienia wymaga się na sprawdzianie i egzaminie.