Długość okręgu i pole koła

1.Okrąg

Linia złożona ze wszystkich punktów płaszczyzny, które leżą w tej samej odległości od jednego punktu, czyli środka. Okrąg to sam brzeg, np. obręcz koła rowerowego albo linia narysowana cyrklem.

2.Koło

Okrąg razem z całym obszarem w jego wnętrzu. Kołem jest np. tarcza zegara, okrągła pizza czy dno garnka. Koło ma pole, a okrąg ma tylko długość.

3.Środek okręgu i koła

Punkt, od którego wszystkie punkty okręgu są jednakowo oddalone. Oznaczamy go zwykle literą $S$ lub $O$. Przy rysowaniu cyrklem w tym miejscu wbijamy igłę.

4.Promień $r$

Odcinek łączący środek okręgu z dowolnym punktem okręgu, a także długość tego odcinka. Wszystkie promienie jednego okręgu są równe. Rozstaw ramion cyrkla to promień rysowanego okręgu.

5.Cięciwa

Odcinek łączący dwa dowolne punkty okręgu. Cięciwa może, ale nie musi przechodzić przez środek. Najdłuższą cięciwą jest średnica.

6.Średnica $d$

Cięciwa przechodząca przez środek okręgu. Jest najdłuższą cięciwą i składa się z dwóch promieni ułożonych w jednej linii.

7.Zależność między promieniem a średnicą

$d = 2r$ oraz $r = \frac{d}{2}$. Przykład: gdy $r = 4$ cm, to $d = 8$ cm; gdy $d = 10$ cm, to $r = 5$ cm.

8.Liczba $\pi$

Stała liczba, która mówi, ile razy długość okręgu jest większa od jego średnicy: $\pi = \frac{L}{d}$. Ten iloraz jest taki sam dla każdego okręgu, małego i dużego. $\pi = 3{,}14159\ldots$, a jej rozwinięcie dziesiętne nigdy się nie kończy.

9.Przybliżenia liczby $\pi$

W obliczeniach najczęściej przyjmujemy $\pi \approx 3{,}14$ albo $\pi \approx \frac{22}{7}$. Ułamek $\frac{22}{7}$ jest wygodny, gdy promień lub średnica dzieli się przez 7. Po podstawieniu przybliżenia piszemy znak $\approx$, a nie $=$.

10.Wynik dokładny i wynik przybliżony

Wynik dokładny zostawia $\pi$ w zapisie, np. $L = 10\pi$ cm. Wynik przybliżony otrzymujemy po podstawieniu przybliżenia: $L \approx 10 \cdot 3{,}14 = 31{,}4$ cm. Zawsze sprawdź w poleceniu, który wynik jest potrzebny.

11.Długość okręgu (obwód koła) z promienia

$L = 2\pi r$. Przykład: dla $r = 3$ cm mamy $L = 2 \cdot \pi \cdot 3 = 6\pi$ cm, czyli $L \approx 6 \cdot 3{,}14 = 18{,}84$ cm.

12.Długość okręgu ze średnicy

$L = \pi d$, bo $2r = d$. Przykład: dla $d = 10$ cm mamy $L = 10\pi$ cm, czyli około $31{,}4$ cm. Nie trzeba wtedy liczyć promienia.

13.Pole koła

$P = \pi r^2$, czyli $\pi$ razy promień do kwadratu. Przykład: dla $r = 5$ cm mamy $P = \pi \cdot 5^2 = 25\pi\ \text{cm}^2$, czyli $P \approx 78{,}5\ \text{cm}^2$.

14.Pole koła ze średnicy

Najpierw liczymy promień $r = \frac{d}{2}$, a dopiero potem pole $P = \pi r^2$. Przykład: $d = 8$ cm, więc $r = 4$ cm i $P = 16\pi\ \text{cm}^2$. Wstawienie średnicy zamiast promienia daje wynik 4 razy za duży.

15.Kwadrat promienia $r^2$

$r^2 = r \cdot r$, a nie $2 \cdot r$. Dla $r = 6$ cm: $r^2 = 36$, a $2r = 12$. W $\pi r^2$ najpierw podnosimy promień do kwadratu, potem mnożymy przez $\pi$: $\pi \cdot 6^2 = 36\pi$.

16.Promień z długości okręgu

Długość okręgu dzielimy przez $2\pi$: $r = \frac{L}{2\pi}$. Przykład: $L = 18\pi$ cm, więc $r = 9$ cm. Średnicę dostajemy, dzieląc przez samo $\pi$: $d = \frac{L}{\pi} = 18$ cm.

17.Promień z pola koła

Pole dzielimy przez $\pi$ i dostajemy $r^2$. Potem szukamy liczby, która pomnożona przez siebie da ten wynik. Przykład: $P = 49\pi\ \text{cm}^2$, więc $r^2 = 49$ i $r = 7$ cm, bo $7 \cdot 7 = 49$.

18.Promień z obwodu podanego bez $\pi$

Gdy obwód podano jako liczbę, a mamy przyjąć $\pi \approx 3{,}14$, dzielimy go przez $2 \cdot 3{,}14 = 6{,}28$. Przykład: $L = 31{,}4$ cm, więc $r \approx 31{,}4 : 6{,}28 = 5$ cm.

19.Jednostki długości okręgu

Długość okręgu to długość linii, więc podajemy ją w jednostkach długości: mm, cm, m, km. Przykład: $L = 12\pi$ cm, czyli około $37{,}68$ cm.

20.Jednostki pola koła

Pole mierzy powierzchnię, więc podajemy je w jednostkach kwadratowych: $\text{mm}^2$, $\text{cm}^2$, $\text{m}^2$. Gdy promień jest w metrach, pole wychodzi w $\text{m}^2$. Przykład: $r = 2$ m, $P = 4\pi\ \text{m}^2$.

21.Obwód czy pole?

Obwód (długość okręgu) odpowiada na pytanie „ile dookoła”, np. ile taśmy potrzeba na brzeg tortu. Pole odpowiada na pytanie „ile powierzchni”, np. ile papieru potrzeba na okrągłą podkładkę albo ile trawy rośnie na klombie.

22.Obrót koła

Koło toczące się bez poślizgu w jednym pełnym obrocie pokonuje drogę równą długości swojego okręgu. Koło o średnicy $50$ cm w jednym obrocie przejeżdża $50\pi$ cm, czyli około $157$ cm.

23.Obliczenia z $\pi \approx \frac{22}{7}$

Gdy promień lub średnica dzieli się przez 7, wynik łatwo skrócić. Przykład: $r = 7$ cm, $L \approx 2 \cdot \frac{22}{7} \cdot 7 = 44$ cm, $P \approx \frac{22}{7} \cdot 49 = 154\ \text{cm}^2$.

24.Zwiększenie promienia

Gdy promień rośnie 2 razy, długość okręgu rośnie 2 razy, a pole koła aż 4 razy. Przykład: $r = 1$ daje $L = 2\pi$ i $P = \pi$, a $r = 2$ daje $L = 4\pi$ i $P = 4\pi$.