Prawa działań i kolejność działań

1.Składniki i suma

Liczby, które dodajemy, to składniki, a wynik dodawania to suma. W działaniu $8+5=13$ składnikami są $8$ i $5$, a suma wynosi $13$.

2.Odjemna, odjemnik i różnica

W odejmowaniu $15-6=9$ liczba $15$ to odjemna, $6$ to odjemnik, a $9$ to różnica.

3.Czynniki i iloczyn

Liczby, które mnożymy, to czynniki, a wynik mnożenia to iloczyn. W działaniu $4\cdot 7=28$ czynnikami są $4$ i $7$, a iloczyn wynosi $28$.

4.Dzielna, dzielnik i iloraz

W dzieleniu $36:4=9$ liczba $36$ to dzielna, $4$ to dzielnik, a $9$ to iloraz.

5.Przemienność dodawania

Składniki można zamieniać miejscami, a suma się nie zmieni: $a+b=b+a$. Przykład: $7+38=38+7=45$.

6.Przemienność mnożenia

Czynniki można zamieniać miejscami, a iloczyn się nie zmieni: $a\cdot b=b\cdot a$. Przykład: $4\cdot 9=9\cdot 4=36$.

7.Łączność dodawania

Dodając kilka liczb, możemy je dowolnie grupować nawiasami: $(a+b)+c=a+(b+c)$. Przykład: $(27+15)+5=27+(15+5)=47$.

8.Łączność mnożenia

Mnożąc kilka liczb, możemy je dowolnie grupować nawiasami: $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot(b\cdot c)$. Przykład: $(13\cdot 5)\cdot 2=13\cdot(5\cdot 2)=130$.

9.Rozdzielność mnożenia względem dodawania

Liczbę mnożoną przez sumę możemy pomnożyć przez każdy składnik osobno i wyniki dodać: $a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c$. Przykład: $6\cdot(10+3)=60+18=78$.

10.Rozdzielność mnożenia względem odejmowania

Liczbę mnożoną przez różnicę mnożymy przez oba wyrazy i wyniki odejmujemy: $a\cdot(b-c)=a\cdot b-a\cdot c$. Przykład: $7\cdot(20-1)=140-7=133$.

11.Odejmowanie nie jest przemienne ani łączne

Zamiana miejscami zmienia wynik: $10-4=6$, a $4-10$ nie da się nawet obliczyć w liczbach naturalnych. Zmiana nawiasów też zmienia wynik: $(20-8)-2=10$, a $20-(8-2)=14$.

12.Dzielenie nie jest przemienne ani łączne

$12:4=3$, a $4:12$ nie daje liczby naturalnej. Grupowanie też zmienia wynik: $(24:6):2=2$, a $24:(6:2)=8$.

13.Zero w dodawaniu

Dodanie zera nie zmienia liczby: $a+0=a$. Przykład: $345+0=345$.

14.Jedynka w mnożeniu

Mnożenie przez $1$ nie zmienia liczby: $a\cdot 1=a$. Podobnie dzielenie przez $1$: $58:1=58$.

15.Mnożenie przez zero

Iloczyn, w którym jeden z czynników jest zerem, jest równy zero: $a\cdot 0=0$. Przykład: $1234\cdot 0=0$.

16.Dzielenie przez zero

Przez zero nie dzielimy - takie działanie jest niewykonalne. Zero można natomiast dzielić przez inne liczby: $0:5=0$.

17.Sprytne dodawanie

Korzystając z przemienności i łączności, łączymy składniki, które dają pełne dziesiątki lub setki. Przykład: $37+48+63=(37+63)+48=100+48=148$.

18.Pary czynników dające okrągłe liczby

Warto pamiętać: $2\cdot 5=10$, $4\cdot 25=100$, $2\cdot 50=100$, $8\cdot 125=1000$. Przykład: $4\cdot 19\cdot 25=(4\cdot 25)\cdot 19=1900$.

19.Mnożenie przez 99 i przez 11

Korzystamy z rozdzielności: $25\cdot 99=25\cdot(100-1)=2500-25=2475$, a $34\cdot 11=34\cdot(10+1)=340+34=374$.

20.Rozkład czynnika na sumę

Trudniejsze mnożenie zamieniamy na dwa łatwiejsze: $7\cdot 48=7\cdot(40+8)=280+56=336$.

21.Wyłączanie wspólnego czynnika

To rozdzielność czytana od prawej do lewej: $a\cdot b+a\cdot c=a\cdot(b+c)$. Przykład: $17\cdot 36+17\cdot 64=17\cdot(36+64)=17\cdot 100=1700$.

22.Kolejność działań

Najpierw wykonujemy działania w nawiasach, potem potęgi, następnie mnożenie i dzielenie, a na końcu dodawanie i odejmowanie.

23.Działania tego samego rodzaju - od lewej do prawej

Mnożenie i dzielenie wykonujemy po kolei od lewej do prawej, tak samo dodawanie i odejmowanie. Przykłady: $48:6\cdot 2=8\cdot 2=16$, a $20-8+2=12+2=14$.

24.Nawiasy zagnieżdżone

Gdy w wyrażeniu są nawiasy kwadratowe i okrągłe, zaczynamy od najbardziej wewnętrznego nawiasu okrągłego. Przykład: $2\cdot[30-(4+6)]=2\cdot[30-10]=2\cdot 20=40$.

25.Potęga w wyrażeniu

Potęgę obliczamy przed mnożeniem i dodawaniem, chyba że nawias mówi inaczej: $2+3^2=2+9=11$, ale $(2+3)^2=5^2=25$.