Graniastosłupy i ostrosłupy - pole powierzchni i objętość

1.Graniastosłup

Bryła, która ma dwie jednakowe (przystające) i równoległe podstawy w kształcie wielokątów. Pozostałe ściany to ściany boczne - równoległoboki. Przykłady: pudełko po butach, kostka do gry, sześciokątny ołówek bez zaostrzenia.

2.Graniastosłup prosty

Graniastosłup, którego krawędzie boczne są prostopadłe do podstaw. Jego ściany boczne są prostokątami, a wysokość jest równa długości krawędzi bocznej.

3.Graniastosłup prawidłowy

Graniastosłup prosty, którego podstawą jest wielokąt foremny, np. trójkąt równoboczny, kwadrat lub sześciokąt foremny. Wszystkie jego ściany boczne to jednakowe prostokąty.

4.Nazwa graniastosłupa i ostrosłupa

Nazwa pochodzi od wielokąta w podstawie: trójkąt w podstawie - bryła trójkątna, czworokąt - czworokątna, sześciokąt - sześciokątna. Prostopadłościan i sześcian to graniastosłupy czworokątne.

5.Graniastosłup $n$-kątny - liczba wierzchołków, krawędzi i ścian

Ma $2n$ wierzchołków, $3n$ krawędzi i $n+2$ ściany. Przykład: graniastosłup sześciokątny ma $12$ wierzchołków, $18$ krawędzi i $8$ ścian.

6.Ostrosłup

Bryła, która ma jedną podstawę w kształcie wielokąta, a jej ściany boczne są trójkątami o wspólnym wierzchołku, zwanym wierzchołkiem ostrosłupa. Przykłady: piramidy egipskie, dach wieży.

7.Ostrosłup prawidłowy

Ostrosłup, którego podstawą jest wielokąt foremny, a wszystkie krawędzie boczne są równe. Jego ściany boczne to jednakowe trójkąty równoramienne, a spodek wysokości leży w środku podstawy.

8.Ostrosłup $n$-kątny - liczba wierzchołków, krawędzi i ścian

Ma $n+1$ wierzchołków, $2n$ krawędzi i $n+1$ ścian. Przykład: ostrosłup czworokątny ma $5$ wierzchołków, $8$ krawędzi i $5$ ścian.

9.Czworościan

Ostrosłup trójkątny - ma $4$ ściany i wszystkie są trójkątami. Czworościan foremny ma wszystkie $6$ krawędzi równych, a jego ściany to $4$ jednakowe trójkąty równoboczne.

10.Wysokość graniastosłupa ($H$)

Odległość między podstawami graniastosłupa. W graniastosłupie prostym jest równa długości krawędzi bocznej.

11.Wysokość ostrosłupa ($H$)

Odcinek poprowadzony z wierzchołka ostrosłupa prostopadle do płaszczyzny podstawy. W ostrosłupie prawidłowym biegnie przez środek bryły i kończy się w środku podstawy. Jest potrzebna do obliczenia objętości.

12.Wysokość ściany bocznej ($h$)

Wysokość trójkąta będącego ścianą boczną, poprowadzona z wierzchołka ostrosłupa do krawędzi podstawy. Leży na ścianie i jest potrzebna do obliczenia pola powierzchni bocznej. W ostrosłupie prawidłowym jest dłuższa niż wysokość ostrosłupa $H$.

13.Trójkąt prostokątny w ostrosłupie prawidłowym czworokątnym

Wysokość ostrosłupa $H$, połowa krawędzi podstawy $\frac{a}{2}$ i wysokość ściany bocznej $h$ tworzą trójkąt prostokątny. Z twierdzenia Pitagorasa: $H^2+\left(\frac{a}{2}\right)^2=h^2$.

14.Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa

$P_c=2\cdot P_p+P_b$, gdzie $P_p$ to pole podstawy, a $P_b$ to pole powierzchni bocznej, czyli suma pól wszystkich ścian bocznych.

15.Pole powierzchni bocznej graniastosłupa prostego

Ściany boczne to prostokąty o wysokości $H$, więc $P_b$ to obwód podstawy razy wysokość. Przykład: graniastosłup prawidłowy czworokątny o krawędzi podstawy $5$ cm i wysokości $8$ cm ma $P_b=4\cdot 5\cdot 8=160\,\text{cm}^2$.

16.Objętość graniastosłupa

$V=P_p\cdot H$, czyli pole podstawy razy wysokość. Dla prostopadłościanu o krawędziach $a$, $b$, $c$: $V=a\cdot b\cdot c$.

17.Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa

$P_c=P_p+P_b$. Ostrosłup ma tylko jedną podstawę, a $P_b$ to suma pól trójkątów będących ścianami bocznymi.

18.Pole powierzchni bocznej ostrosłupa prawidłowego

Ściany boczne to $n$ jednakowych trójkątów o podstawie $a$ i wysokości $h$, więc $P_b=n\cdot\frac{1}{2}\cdot a\cdot h$. Przykład: ostrosłup prawidłowy czworokątny, $a=4$ cm, $h=7$ cm: $P_b=4\cdot\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 7=56\,\text{cm}^2$.

19.Objętość ostrosłupa

$V=\frac{1}{3}\cdot P_p\cdot H$, gdzie $H$ to wysokość ostrosłupa, a nie wysokość ściany bocznej.

20.Ostrosłup a graniastosłup o tej samej podstawie i wysokości

Objętość ostrosłupa jest $3$ razy mniejsza niż objętość graniastosłupa o takiej samej podstawie i wysokości. W takim graniastosłupie zmieści się tyle wody, ile w trzech takich ostrosłupach.

21.Sześcian

Graniastosłup prawidłowy czworokątny, którego wszystkie $12$ krawędzi są równe, a $6$ ścian to jednakowe kwadraty. Wzory: $P_c=6a^2$, $V=a^3$.

22.Prostopadłościan

Graniastosłup, którego wszystkie ściany są prostokątami. Dla krawędzi $a$, $b$, $c$: $P_c=2(ab+bc+ac)$ oraz $V=abc$.

23.Pole trójkąta równobocznego

Dla boku $a$: $P=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$, a wysokość trójkąta wynosi $\frac{a\sqrt{3}}{2}$. Przydaje się w graniastosłupach i ostrosłupach prawidłowych trójkątnych oraz w czworościanie foremnym.

24.Jednostki pola

$1\,\text{cm}^2=100\,\text{mm}^2$, $1\,\text{dm}^2=100\,\text{cm}^2$, $1\,\text{m}^2=100\,\text{dm}^2=10\,000\,\text{cm}^2$. Przy zamianie jednostek pola przelicznik długości podnosimy do kwadratu.

25.Jednostki objętości

$1\,\text{cm}^3=1000\,\text{mm}^3$, $1\,\text{dm}^3=1000\,\text{cm}^3$, $1\,\text{m}^3=1000\,\text{dm}^3$. Przelicznik długości podnosimy do sześcianu: $10^3=1000$.

26.Litr i mililitr

$1\,\text{l}=1\,\text{dm}^3=1000\,\text{cm}^3$, a $1\,\text{ml}=1\,\text{cm}^3$. Zatem $1\,\text{m}^3=1000\,\text{l}$.

27.Siatka bryły

Wszystkie ściany bryły rozłożone na płaszczyźnie tak, że można z nich skleić bryłę. Pole siatki jest równe polu powierzchni całkowitej bryły.