Mnożenie i dzielenie liczb całkowitych

1.Liczby całkowite

Liczby naturalne, zero i liczby do nich przeciwne: ..., $-3$, $-2$, $-1$, $0$, $1$, $2$, $3$, ... Spotykasz je np. na termometrze (temperatura poniżej zera) albo w windzie (piętra pod ziemią).

2.Liczby przeciwne

Dwie liczby, które różnią się tylko znakiem, np. $7$ i $-7$. Na osi liczbowej leżą w tej samej odległości od zera, po przeciwnych stronach. Ich suma jest równa $0$.

3.Iloczyn i iloraz

Iloczyn to wynik mnożenia, a mnożone liczby to czynniki. Iloraz to wynik dzielenia dzielnej przez dzielnik. W działaniu $(-12):3=-4$ dzielną jest $-12$, dzielnikiem $3$, a ilorazem $-4$.

4.Jak obliczyć iloczyn lub iloraz liczb całkowitych

Najpierw pomnóż (lub podziel) liczby tak, jakby nie miały znaków, a potem ustal znak wyniku z reguły znaków. Przykład: $(-6)\cdot 7$: $6\cdot 7=42$, znaki są różne, więc wynik to $-42$.

5.Plus razy plus

Iloczyn dwóch liczb dodatnich jest dodatni: $(+)\cdot(+)=(+)$. Przykład: $4\cdot 5=20$.

6.Minus razy minus

Iloczyn dwóch liczb ujemnych jest dodatni: $(-)\cdot(-)=(+)$. Przykład: $(-4)\cdot(-5)=20$.

7.Mnożenie liczb o różnych znakach

Gdy jeden czynnik jest dodatni, a drugi ujemny, iloczyn jest ujemny: $(+)\cdot(-)=(-)$ oraz $(-)\cdot(+)=(-)$. Przykłady: $3\cdot(-8)=-24$, $(-3)\cdot 8=-24$.

8.Reguła znaków przy dzieleniu

Działa tak samo jak przy mnożeniu: jednakowe znaki dają wynik dodatni, różne - ujemny. Przykłady: $(-18):(-3)=6$, $(-18):3=-6$, $18:(-3)=-6$.

9.Sprawdzanie dzielenia mnożeniem

Wynik dzielenia sprawdzisz, mnożąc iloraz przez dzielnik - musisz otrzymać dzielną. Przykład: $(-35):(-5)=7$, bo $7\cdot(-5)=-35$.

10.Znak iloczynu kilku czynników

Policz czynniki ujemne. Parzysta liczba minusów (2, 4, 6, ...) daje wynik dodatni, a nieparzysta (1, 3, 5, ...) - ujemny. Przykład: $(-1)\cdot(-2)\cdot(-3)=-6$, bo są trzy minusy.

11.Mnożenie przez $-1$

Mnożenie przez $-1$ zamienia liczbę na liczbę do niej przeciwną: $(-1)\cdot 9=-9$, a $(-1)\cdot(-9)=9$.

12.Mnożenie przez zero

Jeśli choć jeden czynnik jest zerem, cały iloczyn jest równy $0$ - bez względu na znaki pozostałych czynników. Przykład: $(-5)\cdot 0\cdot(-8)=0$.

13.Dzielenie zera

Zero podzielone przez dowolną liczbę różną od zera daje $0$: $0:(-6)=0$, $0:4=0$. Zero nie ma znaku - nie jest ani dodatnie, ani ujemne.

14.Dzielenie przez zero

Przez zero NIE dzielimy - takie działanie jest niewykonalne. Zapis $(-6):0$ nie ma wartości, bo żadna liczba pomnożona przez $0$ nie da $-6$.

15.Potęga

Skrócony zapis mnożenia jednakowych czynników: $a^2=a\cdot a$ (kwadrat), $a^3=a\cdot a\cdot a$ (sześcian). Przykład: $(-2)^3=(-2)\cdot(-2)\cdot(-2)$.

16.Potęga liczby ujemnej o wykładniku parzystym

Jest dodatnia, bo minusy łączą się w pary. Przykłady: $(-2)^2=4$, $(-2)^4=16$, $(-1)^{10}=1$.

17.Potęga liczby ujemnej o wykładniku nieparzystym

Jest ujemna, bo jeden minus zostaje bez pary. Przykłady: $(-2)^3=-8$, $(-3)^3=-27$, $(-1)^7=-1$.

18.$(-3)^2$

Kwadrat liczby $-3$. Nawias mówi, że do potęgi podnosimy całą liczbę razem ze znakiem: $(-3)^2=(-3)\cdot(-3)=9$.

19.$-3^2$

Liczba przeciwna do $3^2$. Bez nawiasu potęga dotyczy tylko liczby $3$, a minus stoi przed wynikiem: $-3^2=-(3\cdot 3)=-9$.

20.Potęgi liczby $-1$

Liczba $-1$ podniesiona do potęgi parzystej daje $1$, a do nieparzystej $-1$. Przykłady: $(-1)^{100}=1$, $(-1)^{101}=-1$.

21.Kwadrat liczby całkowitej

Kwadrat dowolnej liczby całkowitej nie jest ujemny: dla liczby dodatniej i ujemnej jest dodatni, a $0^2=0$. Dlatego $(-5)^2=25$ i $5^2=25$ - to ten sam wynik.

22.Kolejność działań

Najpierw wykonujemy działania w nawiasach, potem potęgi, następnie mnożenie i dzielenie (od lewej do prawej), a na końcu dodawanie i odejmowanie (od lewej do prawej). Liczby ujemne niczego w tej kolejności nie zmieniają.

23.Mnożenie i dzielenie od lewej do prawej

Mnożenie i dzielenie są równorzędne, więc wykonujemy je po kolei od lewej. Przykład: $(-24):4\cdot(-2)=(-6)\cdot(-2)=12$, a nie $(-24):(-8)=3$.

24.Liczba ujemna w nawiasie

Gdy liczba ujemna stoi po znaku działania, zapisujemy ją w nawiasie: $5\cdot(-2)$, $8:(-4)$, $3-(-1)$. Dwa znaki działań obok siebie, bez nawiasu, to zapis niepoprawny.

25.Odejmowanie liczby ujemnej

Odjęcie liczby ujemnej to dodanie liczby do niej przeciwnej: $5-(-3)=5+3=8$. Przydaje się, gdy po mnożeniu wyjdzie liczba ujemna, np. $2-3\cdot(-4)=2-(-12)=14$.