Trójkąty przystające i cechy przystawania

1.Figury przystające

Figury, które mają ten sam kształt i te same wymiary. Jedną można tak przesunąć, obrócić lub odbić, aby dokładnie pokryła drugą. Przykład: dwie kartki wyrwane z tego samego zeszytu.

2.Symbol przystawania

Zapis $\triangle ABC \equiv \triangle DEF$ czytamy: trójkąt $ABC$ przystaje do trójkąta $DEF$. Kolejność liter mówi, które wierzchołki sobie odpowiadają: $A$ i $D$, $B$ i $E$, $C$ i $F$.

3.Odpowiadające sobie boki

Boki, które nakładają się na siebie po pokryciu figur. Gdy $\triangle ABC \equiv \triangle DEF$, to $|AB| = |DE|$, $|BC| = |EF|$ i $|AC| = |DF|$.

4.Odpowiadające sobie kąty

Kąty przy odpowiadających sobie wierzchołkach. Gdy $\triangle ABC \equiv \triangle DEF$, to kąty przy wierzchołkach $A$ i $D$ są równe, tak samo przy $B$ i $E$ oraz przy $C$ i $F$.

5.Co wynika z przystawania trójkątów?

Wszystkie odpowiadające sobie boki i kąty są równe, więc trójkąty mają też równe obwody i równe pola. Odwrotnie nie jest: równe pola nie oznaczają przystawania.

6.Odcinki przystające i kąty przystające

Dwa odcinki są przystające, gdy mają równe długości, a dwa kąty, gdy mają równe miary. Położenie na kartce nie ma znaczenia.

7.Cecha bbb (bok-bok-bok)

Jeśli trzy boki jednego trójkąta są równe odpowiednio trzem bokom drugiego trójkąta, to trójkąty są przystające. Przykład: dwa trójkąty o bokach $3$ cm, $4$ cm i $6$ cm.

8.Dlaczego cecha bbb działa?

Z trzech odcinków, z których da się zbudować trójkąt, powstaje zawsze ten sam trójkąt, różniący się najwyżej położeniem. Każdy, kto skonstruuje trójkąt z tych samych trzech boków cyrklem i linijką, otrzyma trójkąt przystający.

9.Cecha bkb (bok-kąt-bok)

Jeśli dwa boki jednego trójkąta i kąt zawarty między nimi są równe odpowiednio dwóm bokom drugiego trójkąta i kątowi zawartemu między nimi, to trójkąty są przystające.

10.Kąt zawarty między bokami

Kąt przy wierzchołku, w którym spotykają się oba boki. W trójkącie $ABC$ między bokami $AB$ i $AC$ leży kąt przy wierzchołku $A$, a między bokami $AB$ i $BC$ kąt przy wierzchołku $B$.

11.Cecha kbk (kąt-bok-kąt)

Jeśli bok jednego trójkąta i dwa kąty przy końcach tego boku są równe odpowiednio bokowi drugiego trójkąta i dwóm kątom przy końcach tego boku, to trójkąty są przystające.

12.Kąty przyległe do boku w cesze kbk

To dwa kąty trójkąta, których wierzchołki są końcami danego boku. Dla boku $AB$ trójkąta $ABC$ są to kąty przy wierzchołkach $A$ i $B$.

13.Trzy równe kąty to za mało

Równość trzech kątów nie jest cechą przystawania. Trójkąt równoboczny o boku $2$ cm i trójkąt równoboczny o boku $5$ cm mają wszystkie kąty po $60^\circ$, a nie są przystające.

14.Dwa boki i kąt, który nie leży między nimi

Takie dane nie gwarantują przystawania: czasem da się z nich zbudować dwa różne trójkąty. Dlatego w cesze bkb kąt musi być zawarty między bokami.

15.Wspólny bok

Jeśli dwa trójkąty mają wspólny bok, to ten bok ma w obu trójkątach tę samą długość. W uzasadnieniu piszemy np.: bok $AC$ jest wspólny.

16.Kąty wierzchołkowe w uzasadnieniach

Kąty wierzchołkowe mają równe miary. Gdy dwa odcinki przecinają się w punkcie $S$, kąty przy $S$ leżące naprzeciw siebie są równe. Często to właśnie ten kąt jest potrzebny do cechy bkb.

17.Jak uzasadnić przystawanie?

Wypisz trzy pary równych elementów (boków lub kątów), przy każdej podaj powód (dane z zadania, wspólny bok, kąty wierzchołkowe, własność figury), a na końcu nazwij cechę: bbb, bkb albo kbk.

18.Przekątna równoległoboku

Przekątna $AC$ dzieli równoległobok $ABCD$ na dwa przystające trójkąty $ABC$ i $CDA$. Uzasadnienie z cechy bbb: $|AB| = |CD|$ i $|BC| = |DA|$ jako przeciwległe boki, a bok $AC$ jest wspólny.

19.Środek podstawy trójkąta równoramiennego

W trójkącie $ABC$, w którym $|AC| = |BC|$, punkt $D$ jest środkiem podstawy $AB$. Wtedy $\triangle ADC \equiv \triangle BDC$ z cechy bbb: $|AC| = |BC|$, $|AD| = |BD|$, a bok $CD$ jest wspólny.

20.Trójkąty prostokątne o równych przyprostokątnych

Są przystające z cechy bkb, bo kąt prosty leży między przyprostokątnymi. Przykład: dwa trójkąty prostokątne o przyprostokątnych $3$ cm i $4$ cm.

21.Przystawanie a symetria

Obraz figury w symetrii osiowej lub środkowej jest figurą do niej przystającą. Odbicie zmienia położenie, ale nie zmienia długości boków ani miar kątów.

22.Kolejność liter w zapisie przystawania

Wierzchołki odpowiadające sobie muszą stać na tych samych miejscach. Gdy $|AB| = |KL|$, $|BC| = |LM|$ i $|AC| = |KM|$, piszemy $\triangle ABC \equiv \triangle KLM$, a nie $\triangle ABC \equiv \triangle LKM$.

23.Jak dobrać odpowiadające sobie wierzchołki?

Gdy boki trójkąta mają różne długości, łączymy w pary równe boki. Wierzchołek wspólny dla dwóch boków odpowiada wierzchołkowi wspólnemu dla boków im równych.

24.Trzeci kąt w trójkątach

Jeśli dwa kąty jednego trójkąta są równe dwóm kątom drugiego, to trzecie kąty też są równe, bo suma kątów trójkąta to $180^\circ$. Przykład: kąty $40^\circ$ i $75^\circ$ dają trzeci kąt $65^\circ$.