Pola wielokątów i figur złożonych

1.Pole figury

Liczba, która mówi, ile kwadratów jednostkowych mieści się w figurze. Jeśli prostokąt da się wypełnić $12$ kwadratami o boku $1$ cm, to jego pole wynosi $12 \text{ cm}^2$.

2.Jednostki pola

Pole mierzymy w kwadratach jednostkowych: $\text{mm}^2$, $\text{cm}^2$, $\text{dm}^2$, $\text{m}^2$, $\text{km}^2$, a pola uprawne i działki także w arach (a) i hektarach (ha). Zapis $1 \text{ cm}^2$ to pole kwadratu o boku $1$ cm.

3.Zamiana $\text{cm}^2$ na $\text{mm}^2$

$1 \text{ cm} = 10 \text{ mm}$, więc kwadrat o boku $1$ cm ma pole $10 \cdot 10 = 100 \text{ mm}^2$. Tak samo $1 \text{ dm}^2 = 100 \text{ cm}^2$ i $1 \text{ m}^2 = 100 \text{ dm}^2$.

4.Ile $\text{cm}^2$ ma $1 \text{ m}^2$?

$1 \text{ m} = 100 \text{ cm}$, więc $1 \text{ m}^2 = 100 \cdot 100 = 10\,000 \text{ cm}^2$. Częsty błąd to odpowiedź $100 \text{ cm}^2$.

5.Ar i hektar

$1$ ar to pole kwadratu o boku $10$ m: $1 \text{ a} = 100 \text{ m}^2$. $1$ hektar to pole kwadratu o boku $100$ m: $1 \text{ ha} = 10\,000 \text{ m}^2 = 100 \text{ a}$. Boisko piłkarskie ma około $0{,}7$ ha.

6.Kilometr kwadratowy

$1 \text{ km}^2$ to pole kwadratu o boku $1$ km: $1 \text{ km}^2 = 1\,000\,000 \text{ m}^2 = 100 \text{ ha}$.

7.Pole prostokąta

$P = a \cdot b$, gdzie $a$ i $b$ to długości sąsiednich boków. Przykład: prostokąt o bokach $7$ cm i $4$ cm ma pole $28 \text{ cm}^2$.

8.Pole kwadratu

$P = a^2 = a \cdot a$. Przykład: kwadrat o boku $6$ dm ma pole $36 \text{ dm}^2$.

9.Pole równoległoboku

$P = a \cdot h$, gdzie $h$ to wysokość opuszczona na bok $a$, czyli odległość tego boku od boku przeciwległego. Przykład: bok $9$ m i wysokość $4$ m dają $P = 36 \text{ m}^2$.

10.Pole trójkąta

$P = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$, gdzie $h$ to wysokość opuszczona na bok $a$. Trójkąt to połowa równoległoboku o tej samej podstawie i wysokości. Przykład: $a = 10$ cm, $h = 6$ cm, więc $P = 30 \text{ cm}^2$.

11.Wysokość trójkąta

Odcinek poprowadzony z wierzchołka prostopadle do prostej zawierającej przeciwległy bok. W trójkącie rozwartokątnym dwie wysokości leżą poza trójkątem, a w trójkącie prostokątnym dwie z nich to przyprostokątne.

12.Pole trójkąta prostokątnego

Przyprostokątne są do siebie prostopadłe, więc jedna jest wysokością opuszczoną na drugą: $P = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b$. Przykład: przyprostokątne $6$ cm i $8$ cm dają $P = 24 \text{ cm}^2$.

13.Pole rombu

Jak w równoległoboku: $P = a \cdot h$, albo z przekątnych: $P = \frac{e \cdot f}{2}$. Przykład: przekątne $8$ cm i $5$ cm dają $P = 20 \text{ cm}^2$.

14.Pole trapezu

$P = \frac{(a + b) \cdot h}{2}$, gdzie $a$ i $b$ to długości podstaw, a $h$ to wysokość trapezu. Przykład: podstawy $8$ cm i $4$ cm, wysokość $5$ cm, więc $P = \frac{12 \cdot 5}{2} = 30 \text{ cm}^2$.

15.Wysokość trapezu

Odległość między podstawami trapezu, czyli długość odcinka prostopadłego do obu podstaw. W trapezie prostokątnym wysokością jest ramię prostopadłe do podstaw.

16.Obliczanie długości z pola

Wzory można przekształcić. Z pola trójkąta: $h = \frac{2P}{a}$, z pola równoległoboku: $h = \frac{P}{a}$, z pola trapezu: $h = \frac{2P}{a + b}$. Przykład: trójkąt o polu $24 \text{ cm}^2$ i podstawie $8$ cm ma wysokość $6$ cm.

17.Te same jednostki

Przed obliczeniem pola zapisz wszystkie wymiary w tej samej jednostce. Prostokąt $2$ m na $40$ cm: $2 \cdot 0{,}4 = 0{,}8 \text{ m}^2$ albo $200 \cdot 40 = 8000 \text{ cm}^2$.

18.Figura złożona - metoda podziału

Figurę dzielimy na części, których pola umiemy obliczyć (prostokąty, trójkąty, trapezy), i dodajemy te pola. Przykład: prostokąt $10 \text{ m} \times 6 \text{ m}$ z dołączonym trójkątem o podstawie $10$ m i wysokości $4$ m ma pole $60 + 20 = 80 \text{ m}^2$.

19.Figura złożona - metoda uzupełniania

Figurę uzupełniamy do prostokąta, a potem od jego pola odejmujemy pola brakujących fragmentów. Przykład: prostokąt $8 \text{ cm} \times 6 \text{ cm}$ z wyciętym w rogu kwadratem o boku $3$ cm ma pole $48 - 9 = 39 \text{ cm}^2$.

20.Pole na kratce

Gdy bok kratki ma $1$ cm, jedna kratka ma pole $1 \text{ cm}^2$. Wymiary odczytujemy, licząc kratki wzdłuż linii siatki. Długości ukośnego boku nie odczytamy z kratek, więc nie wstawiamy jej do wzoru.

21.Trójkąt na kratce

Najwygodniej, gdy jeden bok leży na linii siatki. Wtedy podstawę i wysokość liczymy w kratkach. Przykład: podstawa ma $6$ kratek, a trzeci wierzchołek leży $4$ kratki od prostej zawierającej podstawę, więc $P = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 = 12$ kratek.

22.Trójkąt prostokątny na kratce

Trójkąt prostokątny o przyprostokątnych biegnących wzdłuż linii siatki to połowa prostokąta. Przykład: przyprostokątne mają $4$ i $3$ kratki, więc $P = \frac{4 \cdot 3}{2} = 6$ kratek. Takie trójkąty odejmuje się w metodzie uzupełniania.

23.Wielokąt o ukośnych bokach na kratce

Gdy boki nie leżą na liniach siatki, obrysuj figurę najmniejszym prostokątem o bokach wzdłuż siatki i odejmij pola trójkątów prostokątnych w rogach. Przykład: trójkąt o wierzchołkach $(0,0)$, $(4,1)$ i $(1,3)$ ma pole $12 - 2 - 3 - 1{,}5 = 5{,}5$ kratki.

24.Kratka innej wielkości

Gdy bok kratki ma np. $0{,}5$ cm, jedna kratka ma pole $0{,}5 \cdot 0{,}5 = 0{,}25 \text{ cm}^2$. Najpierw zamień liczbę kratek na centymetry, a dopiero potem licz pole.

25.Trójkąty o tej samej podstawie i wysokości

Mają równe pola, nawet jeśli wyglądają zupełnie inaczej. Dlatego trójkąty o wspólnej podstawie, których trzecie wierzchołki leżą na jednej prostej równoległej do podstawy, mają takie samo pole.

26.Pole a obwód

Pole mówi, ile miejsca zajmuje figura, a obwód, jak długi jest jej brzeg. Prostokąty $2 \text{ cm} \times 8 \text{ cm}$ i $4 \text{ cm} \times 4 \text{ cm}$ mają równe pola $16 \text{ cm}^2$, ale różne obwody: $20$ cm i $16$ cm.