Potęgi o wykładniku całkowitym ujemnym

1.Potęga o wykładniku naturalnym

Zapis $a^n$ oznacza iloczyn $n$ jednakowych czynników równych $a$. Liczbę $a$ nazywamy podstawą, a $n$ wykładnikiem. Przykład: $2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$.

2.Potęga o wykładniku zero

Dla każdej liczby $a \neq 0$ mamy $a^0 = 1$. Przykłady: $7^0 = 1$, $(-5)^0 = 1$, $\left(\frac{3}{4}\right)^0 = 1$. Wyrażenie $0^0$ nie ma określonej wartości.

3.Dlaczego $a^0 = 1$?

Z dzielenia potęg o tej samej podstawie: $5^3 : 5^3 = 5^{3-3} = 5^0$. Z drugiej strony liczba podzielona przez samą siebie daje $1$, więc $5^0 = 1$.

4.Potęga o wykładniku ujemnym

Dla $a \neq 0$ i liczby naturalnej $n$: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$. Potęga o wykładniku ujemnym to odwrotność potęgi o tym samym wykładniku dodatnim. Przykład: $2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$.

5.Skąd się bierze $2^{-1} = \frac{1}{2}$?

Spójrz na kolejne potęgi: $2^3 = 8$, $2^2 = 4$, $2^1 = 2$, $2^0 = 1$. Gdy wykładnik maleje o $1$, wynik dzielimy przez $2$. Dalej otrzymujemy więc $2^{-1} = \frac{1}{2}$, $2^{-2} = \frac{1}{4}$, $2^{-3} = \frac{1}{8}$.

6.Podstawa różna od zera

Potęga o wykładniku ujemnym istnieje tylko dla podstawy różnej od zera. Zapis $0^{-2}$ oznaczałby $\frac{1}{0^2} = \frac{1}{0}$, a przez zero nie dzielimy.

7.Potęga $a^{-1}$

To odwrotność liczby $a$: $a^{-1} = \frac{1}{a}$ dla $a \neq 0$. Przykłady: $5^{-1} = \frac{1}{5}$, $\left(\frac{2}{7}\right)^{-1} = \frac{7}{2}$.

8.Odwrotność liczby

Liczba, która pomnożona przez daną liczbę daje $1$. Odwrotnością $4$ jest $\frac{1}{4}$, a odwrotnością $\frac{2}{3}$ jest $\frac{3}{2}$, bo $\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} = 1$. Zero nie ma odwrotności.

9.Potęga ujemna ułamka

Odwracamy ułamek i zmieniamy wykładnik na dodatni: $\left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^n$ dla $a \neq 0$ i $b \neq 0$. Przykład: $\left(\frac{2}{3}\right)^{-2} = \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4}$.

10.Ułamek o liczniku $1$ w potędze ujemnej

Po odwróceniu otrzymujemy liczbę całkowitą: $\left(\frac{1}{3}\right)^{-2} = 3^2 = 9$, $\left(\frac{1}{2}\right)^{-3} = 2^3 = 8$. Gdy ułamek jest dodatni i mniejszy od $1$, wynik jest większy od $1$.

11.Ułamek dziesiętny w potędze ujemnej

Zamieniamy ułamek dziesiętny na zwykły, odwracamy go i potęgujemy. Przykłady: $0{,}5^{-2} = \left(\frac{1}{2}\right)^{-2} = 2^2 = 4$, $0{,}2^{-1} = \left(\frac{1}{5}\right)^{-1} = 5$.

12.Liczba mieszana w potędze ujemnej

Najpierw zamieniamy ją na ułamek niewłaściwy. Przykład: $\left(1\frac{1}{2}\right)^{-2} = \left(\frac{3}{2}\right)^{-2} = \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9}$.

13.Podstawa ujemna i wykładnik parzysty

Wynik jest dodatni. Przykład: $(-3)^{-2} = \frac{1}{(-3)^2} = \frac{1}{9}$, bo $(-3) \cdot (-3) = 9$.

14.Podstawa ujemna i wykładnik nieparzysty

Wynik jest ujemny. Przykład: $(-2)^{-3} = \frac{1}{(-2)^3} = \frac{1}{-8} = -\frac{1}{8}$.

15.Nawias przy podstawie ujemnej

$(-2)^{-2} = \frac{1}{4}$, bo potęgujemy liczbę $-2$. Natomiast $-2^{-2} = -\frac{1}{4}$, bo potęgujemy tylko $2$, a minus stoi przed całą potęgą.

16.Czy ujemny wykładnik daje wynik ujemny?

Nie. Ujemny wykładnik oznacza odwrotność, a nie liczbę przeciwną. $2^{-3} = \frac{1}{8}$, a nie $-8$ ani $-6$. Znak wyniku zależy tylko od znaku podstawy i od tego, czy wykładnik jest parzysty.

17.Potęgi liczby $10$ o wykładniku ujemnym

$10^{-n}$ to ułamek dziesiętny z jedynką na $n$-tym miejscu po przecinku: $10^{-1} = 0{,}1$, $10^{-2} = 0{,}01$, $10^{-3} = 0{,}001$.

18.Notacja wykładnicza

Zapis liczby w postaci $a \cdot 10^k$, gdzie $1 \le a < 10$, a $k$ jest liczbą całkowitą. Dla dużych liczb $k$ jest dodatnie, np. $3\,000\,000 = 3 \cdot 10^6$, a dla bardzo małych ujemne, np. $0{,}003 = 3 \cdot 10^{-3}$.

19.Mała liczba w notacji wykładniczej

Przesuwamy przecinek w prawo tak, aby przed nim stała jedna cyfra różna od zera. Liczba przesunięć ze znakiem minus to wykładnik. Przykład: $0{,}00045 = 4{,}5 \cdot 10^{-4}$, bo przecinek przesunęliśmy o $4$ miejsca.

20.Zamiana z notacji wykładniczej na ułamek dziesiętny

Przy $10^{-k}$ przesuwamy przecinek o $k$ miejsc w lewo, dopisując potrzebne zera. Przykład: $3{,}2 \cdot 10^{-3} = 0{,}0032$.

21.Małe liczby wokół nas

Notacja wykładnicza ułatwia zapis bardzo małych wielkości. Bakteria może mieć długość około $0{,}000002$ m, czyli $2 \cdot 10^{-6}$ m, a kartka papieru grubość około $0{,}0001$ m, czyli $10^{-4}$ m.

22.Mnożenie potęg o tej samej podstawie

Wykładniki dodajemy, także gdy są ujemne: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. Przykład: $2^5 \cdot 2^{-3} = 2^{5+(-3)} = 2^2 = 4$.

23.Dzielenie potęg o tej samej podstawie

Wykładniki odejmujemy: $a^m : a^n = a^{m-n}$ dla $a \neq 0$. Przykład: $3^2 : 3^5 = 3^{-3} = \frac{1}{27}$.

24.Potęgi liczb $1$ i $-1$

$1^{-n} = 1$ dla każdego $n$. Dla $-1$ wynik zależy od wykładnika: $(-1)^{-2} = 1$, a $(-1)^{-3} = -1$.

25.Porównywanie potęg o wykładniku ujemnym

Najłatwiej zamienić je na ułamki. $2^{-3} = \frac{1}{8}$ i $3^{-2} = \frac{1}{9}$. Z dwóch ułamków o liczniku $1$ większy jest ten o mniejszym mianowniku, więc $2^{-3} > 3^{-2}$.