Suma kątów w trójkącie i czworokącie

1.Kąt wewnętrzny wielokąta

Kąt utworzony przez dwa sąsiednie boki wielokąta, leżący wewnątrz figury. Trójkąt ma 3 kąty wewnętrzne, a czworokąt 4. Gdy w zadaniu mowa o „kątach trójkąta”, chodzi właśnie o kąty wewnętrzne.

2.Suma kątów w trójkącie

W każdym trójkącie suma miar trzech kątów wewnętrznych wynosi $180^\circ$, niezależnie od kształtu i wielkości trójkąta: $\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$.

3.Suma kątów w czworokącie

W każdym czworokącie suma miar czterech kątów wewnętrznych wynosi $360^\circ$. Przekątna dzieli czworokąt na dwa trójkąty, a każdy z nich ma kąty o sumie $180^\circ$, więc razem $2 \cdot 180^\circ = 360^\circ$.

4.Brakujący kąt trójkąta

Od $180^\circ$ odejmij sumę dwóch znanych kątów. Przykład: kąty mają $50^\circ$ i $70^\circ$, więc trzeci ma $180^\circ - (50^\circ + 70^\circ) = 60^\circ$.

5.Brakujący kąt czworokąta

Od $360^\circ$ odejmij sumę trzech znanych kątów. Przykład: kąty $80^\circ$, $100^\circ$ i $95^\circ$ dają razem $275^\circ$, więc czwarty kąt ma $360^\circ - 275^\circ = 85^\circ$.

6.Kąt ostry, prosty i rozwarty

Kąt ostry ma mniej niż $90^\circ$, kąt prosty ma dokładnie $90^\circ$, a kąt rozwarty ma więcej niż $90^\circ$, ale mniej niż $180^\circ$.

7.Trójkąt ostrokątny

Trójkąt, w którym wszystkie trzy kąty są ostre, np. trójkąt o kątach $50^\circ$, $60^\circ$ i $70^\circ$.

8.Trójkąt prostokątny

Trójkąt, który ma jeden kąt prosty. Dwa pozostałe kąty są ostre i razem mają $180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$. Przykład: jeśli jeden kąt ostry ma $35^\circ$, to drugi ma $55^\circ$.

9.Trójkąt rozwartokątny

Trójkąt, który ma jeden kąt rozwarty, np. kąty $120^\circ$, $40^\circ$ i $20^\circ$. Pozostałe dwa kąty są wtedy ostre i razem mają mniej niż $90^\circ$.

10.Ile kątów prostych lub rozwartych może mieć trójkąt?

Najwyżej jeden. Dwa kąty proste dałyby już $180^\circ$, a dwa rozwarte ponad $180^\circ$ - na trzeci kąt nie zostałoby nic. Każdy trójkąt ma więc co najmniej dwa kąty ostre.

11.Trójkąt równoramienny

Trójkąt, który ma dwa boki równej długości, zwane ramionami. Trzeci bok to podstawa. Kąty przy podstawie mają równe miary.

12.Kąt między ramionami trójkąta równoramiennego

Gdy znasz kąt przy podstawie, odejmij od $180^\circ$ dwa takie kąty. Przykład: kąt przy podstawie ma $40^\circ$, więc kąt między ramionami ma $180^\circ - 2 \cdot 40^\circ = 100^\circ$.

13.Kąt przy podstawie trójkąta równoramiennego

Gdy znasz kąt między ramionami, odejmij go od $180^\circ$, a wynik podziel na pół, bo kąty przy podstawie są równe. Przykład: kąt między ramionami ma $50^\circ$, więc kąt przy podstawie ma $(180^\circ - 50^\circ) : 2 = 65^\circ$.

14.Kąt rozwarty w trójkącie równoramiennym

Kąt rozwarty (albo prosty) może być tylko kątem między ramionami, bo dwa takie kąty przy podstawie dałyby razem co najmniej $180^\circ$. Przykład: jeśli jeden kąt ma $100^\circ$, to pozostałe mają po $(180^\circ - 100^\circ) : 2 = 40^\circ$.

15.Trójkąt równoboczny

Trójkąt o trzech bokach równej długości. Wszystkie jego kąty są równe, więc każdy ma $180^\circ : 3 = 60^\circ$.

16.Trójkąt prostokątny równoramienny

Ma kąt prosty między ramionami, a oba kąty przy podstawie mają po $(180^\circ - 90^\circ) : 2 = 45^\circ$. Taki trójkąt powstaje, gdy przetniesz kwadrat wzdłuż przekątnej.

17.Kąty prostokąta i kwadratu

Prostokąt i kwadrat mają cztery kąty proste: $4 \cdot 90^\circ = 360^\circ$. Jeśli czworokąt ma trzy kąty proste, to czwarty też ma $360^\circ - 270^\circ = 90^\circ$.

18.Kąty równoległoboku

W równoległoboku kąty przeciwległe mają równe miary, a dwa kąty sąsiednie (leżące przy tym samym boku) dają razem $180^\circ$. Przykład: jeden kąt ma $70^\circ$, więc kąty mają $70^\circ$, $110^\circ$, $70^\circ$ i $110^\circ$.

19.Kąty rombu

Romb to równoległobok o wszystkich bokach równych, więc jego kąty zachowują się tak samo: przeciwległe są równe, a sąsiednie dają razem $180^\circ$. Przykład: kąt ostry ma $48^\circ$, więc kąt rozwarty ma $180^\circ - 48^\circ = 132^\circ$.

20.Kąty trapezu

Trapez ma co najmniej jedną parę boków równoległych, zwanych podstawami. Kąty leżące przy tym samym ramieniu (bocznym boku) dają razem $180^\circ$. Przykład: przy jednym ramieniu kąt ma $65^\circ$, więc drugi kąt przy tym ramieniu ma $115^\circ$.

21.Trapez równoramienny

Trapez, w którym ramiona mają równą długość. Kąty przy każdej podstawie są równe. Przykład: kąty przy dłuższej podstawie mają po $55^\circ$, a kąty przy krótszej po $180^\circ - 55^\circ = 125^\circ$.

22.Trapez prostokątny

Trapez, w którym jedno ramię jest prostopadłe do podstaw. Ma dwa kąty proste przy tym ramieniu, a pozostałe dwa kąty (ostry i rozwarty) dają razem $180^\circ$.

23.Czy podane kąty mogą tworzyć trójkąt?

Tak, jeśli wszystkie są większe od $0^\circ$, a ich suma wynosi dokładnie $180^\circ$. Przykład: $30^\circ$, $60^\circ$ i $90^\circ$ mogą, a $90^\circ$, $60^\circ$ i $40^\circ$ nie mogą, bo dają $190^\circ$.

24.Czy podane kąty mogą tworzyć czworokąt?

Suma czterech kątów musi wynosić dokładnie $360^\circ$. Przykład: $70^\circ$, $110^\circ$, $70^\circ$ i $110^\circ$ mogą, a $90^\circ$, $90^\circ$, $90^\circ$ i $80^\circ$ nie mogą, bo dają $350^\circ$.

25.Sprawdzanie wyniku

Po obliczeniu brakującego kąta dodaj miary wszystkich kątów figury. W trójkącie musi wyjść $180^\circ$, w czworokącie $360^\circ$. Jeśli wychodzi inaczej, szukaj błędu w rachunkach.

26.Kąty przyległe

Dwa kąty, które mają jedno wspólne ramię, a dwa pozostałe ramiona tworzą prostą. Razem mają $180^\circ$. Kąt przyległy do kąta trójkąta o mierze $60^\circ$ ma $120^\circ$.