Kombinatoryka - ile jest możliwości

1.Kombinatoryka

Dział matematyki o liczeniu możliwości: na ile sposobów można coś wybrać, ustawić lub połączyć, np. ile jest zestawów ubrań albo liczb ułożonych z podanych cyfr.

2.Systematyczne wypisywanie

Wypisujemy możliwości w ustalonym porządku (rosnąco albo alfabetycznie), żeby żadnej nie pominąć i żadnej nie powtórzyć. Np. liczby dwucyfrowe z cyfr $1$ i $2$: $11, 12, 21, 22$.

3.Tabela możliwości

Przy wyborze dwuetapowym w wierszach wpisujemy możliwości pierwszego wyboru, a w kolumnach - drugiego. Każde pole to jedna para. Dwie kostki: $6$ wierszy, $6$ kolumn, $36$ pól.

4.Diagram drzewkowy (drzewko)

Rysunek, w którym z każdej możliwości pierwszego wyboru wychodzą gałęzie z możliwościami kolejnego wyboru. Każda ścieżka od początku do końca to jedna możliwość, więc liczymy końce gałęzi.

5.Reguła mnożenia

Jeśli pierwszy wybór można zrobić na $a$ sposobów, a do każdego z nich drugi na $b$ sposobów, to wszystkich możliwości jest $a \cdot b$. To skrót liczenia gałęzi drzewka.

6.Zestawy ubrań

$3$ bluzki i $4$ pary spodni dają $3 \cdot 4 = 12$ zestawów, bo każdą bluzkę można połączyć z każdą parą spodni.

7.Zestaw obiadowy

Zupa ($3$ rodzaje), drugie danie ($4$ rodzaje) i deser ($2$ rodzaje) dają $3 \cdot 4 \cdot 2 = 24$ różne obiady.

8.Wybór z powtórzeniami

Ten sam element można wybrać ponownie, np. cyfry w kodzie mogą się powtarzać, a na kostce może dwa razy wypaść to samo. W każdym kroku jest tyle samo możliwości.

9.Wybór bez powtórzeń

Raz wybranego elementu nie można użyć ponownie, więc w każdym kolejnym kroku jest o jedną możliwość mniej. Np. przewodniczący i zastępca z $5$ osób: $5 \cdot 4 = 20$.

10.Kiedy kolejność ma znaczenie

Gdy zamiana miejscami daje inną możliwość: liczba $12$ to nie $21$, przewodniczący to nie zastępca, złoty medal to nie srebrny.

11.Kiedy kolejność nie ma znaczenia

Gdy liczy się tylko to, kto lub co zostało wybrane: para dyżurnych, uścisk dłoni, mecz dwóch drużyn. Para Ola-Kuba to ta sama para co Kuba-Ola.

12.Liczenie par bez kolejności

Liczymy tak, jakby kolejność się liczyła, a potem dzielimy przez $2$, bo każdą parę policzyliśmy dwa razy. Pary z $4$ osób: $\frac{4 \cdot 3}{2} = 6$.

13.Ustawienia w rzędzie

Na pierwszym miejscu może stać każda z osób, na drugim jedna z pozostałych itd. $3$ osoby: $3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$ ustawień, $4$ osoby: $4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24$ ustawienia.

14.Zero na początku liczby

Liczba nie może zaczynać się od zera. Z cyfr $0, 1, 2$ (bez powtórzeń) da się ułożyć tylko $4$ liczby dwucyfrowe: $10, 12, 20, 21$.

15.Liczby dwucyfrowe z cyfr $1, 2, 3$

Z powtórzeniami: $3 \cdot 3 = 9$ liczb ($11, 12, 13, 21, 22, 23, 31, 32, 33$). Bez powtórzeń: $3 \cdot 2 = 6$ liczb ($12, 13, 21, 23, 31, 32$).

16.Ile jest liczb dwucyfrowych

$90$, od $10$ do $99$. Cyfra dziesiątek: $9$ możliwości (bez zera), cyfra jedności: $10$ możliwości, więc $9 \cdot 10 = 90$.

17.Kod PIN

$4$ cyfry, które mogą się powtarzać: $10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 10\,000$ kodów (od $0000$ do $9999$). W kodzie zero na początku jest dozwolone, bo kod nie jest liczbą.

18.Rzuty monetą

Każdy rzut ma $2$ wyniki: orzeł (O) albo reszka (R). Dwa rzuty: $2 \cdot 2 = 4$ wyniki (OO, OR, RO, RR), trzy rzuty: $2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$ wyników.

19.Dwa rzuty kostką

$6 \cdot 6 = 36$ wyników. Wynik $(2, 5)$ jest inny niż $(5, 2)$, bo liczy się, co wypadło w pierwszym, a co w drugim rzucie.

20.Mecze „każdy z każdym”

Każda drużyna gra z każdą jeden raz. Przy $5$ drużynach każda gra $4$ mecze: $5 \cdot 4 = 20$, ale każdy mecz policzono dwa razy, więc meczów jest $10$.

21.Uściski dłoni

Gdy każda z $6$ osób wita się z każdą: $\frac{6 \cdot 5}{2} = 15$ uścisków. Uścisk Ani z Olą to ten sam uścisk co Oli z Anią.

22.Liczby o danej własności

Wypisujemy systematycznie, zaczynając od najmniejszej cyfry dziesiątek. Liczby dwucyfrowe o sumie cyfr $5$: $14, 23, 32, 41, 50$ - jest ich $5$.

23.Liczenie z warunkiem

Zacznij od miejsca z warunkiem. Liczby dwucyfrowe parzyste o różnych cyfrach z cyfr $1, 2, 3, 4$: jedności $2$ lub $4$ ($2$ sposoby), dziesiątki - jedna z $3$ pozostałych cyfr: $2 \cdot 3 = 6$.

24.Podium (miejsca 1-3)

Medale złoty, srebrny i brązowy dla $5$ zawodników: $5 \cdot 4 \cdot 3 = 60$ możliwości, bo kolor medalu (kolejność) ma znaczenie i nikt nie zdobywa dwóch medali.

25.Sprawdzanie wyniku

Przy małych liczbach wypisz wszystkie możliwości i porównaj z obliczeniem. Gdy wyniki się różnią, sprawdź, czy nie liczysz par dwa razy albo nie dopuszczasz zabronionych powtórzeń.