Symetria osiowa i środkowa

1.Symetria osiowa

Przekształcenie względem prostej $k$ (osi symetrii), które działa jak odbicie w lustrze. Obrazem punktu $A$ jest punkt $A'$ po drugiej stronie prostej $k$, w tej samej odległości od niej.

2.Punkty symetryczne względem prostej

Punkty $A$ i $A'$ są symetryczne względem prostej $k$, gdy odcinek $AA'$ jest prostopadły do $k$, a prosta $k$ przechodzi przez jego środek. Oba punkty są jednakowo oddalone od $k$.

3.Punkt leżący na osi symetrii

W symetrii osiowej przechodzi sam na siebie: jego obrazem jest ten sam punkt.

4.Symetria środkowa

Przekształcenie względem punktu $O$ (środka symetrii): obrazem punktu $A$ jest punkt $A'$ taki, że $O$ jest środkiem odcinka $AA'$. Działa jak obrót o $180^\circ$ wokół punktu $O$.

5.Jak narysować obraz punktu w symetrii środkowej

Prowadzimy półprostą z $A$ przez $O$ i za punktem $O$ odkładamy odcinek długości $|AO|$. Na kratkach: ile kratek idziesz z $A$ do $O$, tyle samo idziesz dalej w tym samym kierunku.

6.Figura osiowosymetryczna

Figura, która ma co najmniej jedną oś symetrii: po złożeniu wzdłuż tej prostej obie części dokładnie się pokrywają. Przykłady: kwadrat, koło, serce, motyl, litera A.

7.Figura środkowosymetryczna

Figura, która ma środek symetrii: po obrocie o $180^\circ$ wokół tego punktu pokrywa się sama ze sobą. Przykłady: równoległobok, koło, litery N, S, Z.

8.Osie symetrii kwadratu

Kwadrat ma $4$ osie symetrii: dwie proste zawierające przekątne i dwie proste przechodzące przez środki przeciwległych boków.

9.Osie symetrii prostokąta (niebędącego kwadratem)

$2$ osie: proste przechodzące przez środki przeciwległych boków. Przekątne prostokąta NIE są jego osiami symetrii.

10.Osie symetrii rombu (niebędącego kwadratem)

$2$ osie: proste zawierające przekątne rombu. Proste przez środki przeciwległych boków nie są osiami rombu.

11.Osie symetrii trójkątów

Trójkąt równoboczny ma $3$ osie, trójkąt równoramienny (niebędący równobocznym) ma $1$ oś, a trójkąt różnoboczny nie ma żadnej osi symetrii.

12.Osie symetrii koła i okręgu

Nieskończenie wiele: osią jest każda prosta przechodząca przez środek koła (okręgu), czyli każda prosta zawierająca średnicę.

13.Oś symetrii trapezu równoramiennego

Trapez równoramienny ma $1$ oś symetrii: prostą przechodzącą przez środki obu podstaw, prostopadłą do nich. Trapez, który nie jest równoramienny ani nie jest równoległobokiem, nie ma osi symetrii.

14.Równoległobok a symetria

Równoległobok, który nie jest prostokątem ani rombem, nie ma żadnej osi symetrii. Każdy równoległobok ma natomiast środek symetrii - punkt przecięcia przekątnych.

15.Osie symetrii wielokąta foremnego

Wielokąt foremny o $n$ bokach ma dokładnie $n$ osi symetrii: trójkąt równoboczny $3$, kwadrat $4$, pięciokąt foremny $5$, sześciokąt foremny $6$.

16.Środek symetrii wielokątów foremnych

Mają go tylko wielokąty foremne o parzystej liczbie boków, np. kwadrat, sześciokąt foremny, ośmiokąt foremny. Trójkąt równoboczny i pięciokąt foremny nie mają środka symetrii.

17.Figury mające środek symetrii

Odcinek (jego środek), koło i okrąg (ich środek), każdy równoległobok, a więc też prostokąt, romb i kwadrat (punkt przecięcia przekątnych). Żaden trójkąt nie ma środka symetrii.

18.Osie symetrii odcinka

Odcinek ma $2$ osie symetrii: swoją symetralną oraz prostą, która go zawiera. Ma też środek symetrii - swój środek.

19.Symetralna odcinka

Prosta prostopadła do odcinka, przechodząca przez jego środek. Każdy jej punkt jest jednakowo oddalony od obu końców odcinka: jeśli $P$ leży na symetralnej $AB$, to $|PA| = |PB|$.

20.Dwusieczna kąta

Półprosta wychodząca z wierzchołka kąta, która dzieli go na dwa kąty równe. Każdy jej punkt jest jednakowo oddalony od obu ramion kąta, a prosta ją zawierająca jest osią symetrii kąta.

21.Symetria względem osi $OX$

$(x, y) \to (x, -y)$: pierwsza współrzędna się nie zmienia, druga zmienia znak. Np. $A = (3, 2)$ przechodzi na $A' = (3, -2)$.

22.Symetria względem osi $OY$

$(x, y) \to (-x, y)$: pierwsza współrzędna zmienia znak, druga się nie zmienia. Np. $B = (3, 2)$ przechodzi na $B' = (-3, 2)$.

23.Symetria względem początku układu współrzędnych

Symetria środkowa względem punktu $(0, 0)$: $(x, y) \to (-x, -y)$, obie współrzędne zmieniają znak. Np. $(3, -2) \to (-3, 2)$.

24.Własności obrazu figury w symetrii

W symetrii osiowej i środkowej obraz figury jest do niej przystający: ma takie same długości boków, miary kątów, obwód i pole.

25.Symetria osiowa a odwrócenie figury

Symetria osiowa odwraca figurę jak lustro: jeśli wierzchołki $A$, $B$, $C$ szły zgodnie z ruchem wskazówek zegara, to $A'$, $B'$, $C'$ idą przeciwnie. Symetria środkowa tylko obraca figurę, nie odwraca jej.

26.Obraz odcinka w symetrii środkowej

Odcinek tej samej długości, równoległy do wyjściowego (albo leżący na tej samej prostej, jeśli ta prosta przechodzi przez środek symetrii).

27.Uzupełnianie figury do osiowosymetrycznej

Dla każdego wierzchołka po jednej stronie osi rysujemy punkt symetryczny po drugiej stronie (tyle samo kratek od osi, wzdłuż prostej prostopadłej do osi), a potem łączymy obrazy w tej samej kolejności.