Egzamin ósmoklasisty z matematyki - procenty, równania, figury i dane

1.Procent

Setna część całości: $1\% = \frac{1}{100} = 0{,}01$. Całość to zawsze $100\%$, połowa to $50\%$, ćwierć to $25\%$.

2.Procent danej liczby

Znasz całość, szukasz części: mnożysz liczbę przez procent zapisany jako ułamek. $15\%$ z $240$ to $0{,}15 \cdot 240 = 36$.

3.Jakim procentem jednej liczby jest druga

Dzielisz część przez całość i zamieniasz wynik na procenty. $12$ z $48$ to $\frac{12}{48} = 0{,}25 = 25\%$.

4.Liczba z danego procentu

Znasz część i jej procent, szukasz całości. Jeśli $30\%$ liczby to $45$, to $1\%$ to $1{,}5$, a cała liczba $150$. Można też rozwiązać równanie $0{,}3x = 45$.

5.Podwyżka o $p\%$

Nowa cena to $(100 + p)\%$ starej ceny. Podwyżka o $20\%$ to mnożenie przez $1{,}2$: $50\text{ zł} \cdot 1{,}2 = 60\text{ zł}$.

6.Obniżka o $p\%$

Nowa cena to $(100 - p)\%$ starej ceny. Obniżka o $30\%$ to mnożenie przez $0{,}7$: $80\text{ zł} \cdot 0{,}7 = 56\text{ zł}$.

7.Dwie kolejne zmiany procentowe

Drugi procent liczymy od nowej ceny. Podwyżka o $10\%$, a potem obniżka o $10\%$: $100 \cdot 1{,}1 \cdot 0{,}9 = 99$, więc cena spada o $1\%$, a nie wraca do początkowej.

8.Równanie pierwszego stopnia

Równanie, w którym niewiadoma występuje tylko w pierwszej potędze (bez $x^2$), np. $3x + 5 = 20$. Rozwiązanie to liczba, która po podstawieniu daje prawdziwą równość: tu $x = 5$.

9.Równania równoważne

Równania o tych samych rozwiązaniach. Otrzymujesz je, dodając lub odejmując tę samą liczbę po obu stronach albo mnożąc lub dzieląc obie strony przez tę samą liczbę różną od zera.

10.Przenoszenie wyrazów na drugą stronę

Wyraz przeniesiony na drugą stronę równania zmienia znak: z $2x + 7 = 15$ mamy $2x = 15 - 7$, czyli $2x = 8$ i $x = 4$.

11.Nawiasy w równaniu

Mnożymy przez liczbę przed nawiasem każdy wyraz w nawiasie: $3(x - 2) = 3x - 6$. Minus przed nawiasem zmienia znaki: $-(x - 4) = -x + 4$.

12.Równanie z ułamkami

Mnożymy obie strony przez wspólny mianownik, aby pozbyć się ułamków. Z $\frac{x}{3} + 1 = 5$ mamy $\frac{x}{3} = 4$, więc $x = 12$.

13.Sprawdzanie rozwiązania równania

Podstaw wynik do równania wyjściowego i oblicz obie strony osobno. Dla $2x + 7 = 15$ i $x = 4$: $2 \cdot 4 + 7 = 15$, równość prawdziwa. W zadaniu tekstowym sprawdź też wynik z treścią.

14.Plan rozwiązania zadania tekstowego

Oznacz niewiadomą (np. $x$ - cena zeszytu), wyraź pozostałe wielkości przez $x$, ułóż równanie, rozwiąż je, sprawdź wynik z treścią i zapisz odpowiedź zdaniem z jednostką.

15.Kolejne liczby naturalne

Jeśli najmniejsza to $n$, następne to $n + 1$ i $n + 2$. Kolejne liczby parzyste: $2n$, $2n + 2$, $2n + 4$.

16.Obwód figury

Suma długości wszystkich boków, w jednostkach długości (np. $\text{cm}$). Prostokąt o bokach $a$ i $b$ ma obwód $2a + 2b$, kwadrat - $4a$.

17.Pole prostokąta i kwadratu

Prostokąt: $P = a \cdot b$, kwadrat: $P = a^2$. Kwadrat o boku $7\text{ cm}$ ma pole $49\text{ cm}^2$. Pole podajemy w jednostkach kwadratowych.

18.Pole trójkąta

$P = \frac{1}{2} a \cdot h$, gdzie $h$ to wysokość opuszczona na bok $a$. Dla $a = 10\text{ cm}$ i $h = 6\text{ cm}$: $P = 30\text{ cm}^2$.

19.Pole równoległoboku

$P = a \cdot h$, gdzie $h$ to wysokość poprowadzona do boku $a$. Drugi, ukośny bok nie jest wysokością i nie wchodzi do wzoru.

20.Pole rombu

$P = \frac{e \cdot f}{2}$, gdzie $e$ i $f$ to długości przekątnych. Romb jest też równoległobokiem, więc działa również $P = a \cdot h$.

21.Pole trapezu

$P = \frac{(a + b) \cdot h}{2}$, gdzie $a$ i $b$ to podstawy (boki równoległe), a $h$ to wysokość. Np. $a = 9$, $b = 5$, $h = 4$: $P = 28$.

22.Pole koła i długość okręgu

$P = \pi r^2$, $L = 2\pi r$. Dla $r = 3\text{ cm}$: $P = 9\pi\text{ cm}^2$, $L = 6\pi\text{ cm}$. Uwaga: gdy podana jest średnica, promień to jej połowa.

23.Twierdzenie Pitagorasa

W trójkącie prostokątnym $a^2 + b^2 = c^2$, gdzie $c$ to przeciwprostokątna (najdłuższy bok, naprzeciw kąta prostego). Przyprostokątne $6$ i $8$ dają $c^2 = 100$, więc $c = 10$.

24.Jednostki pola

$1\text{ m}^2 = 100\text{ dm}^2 = 10\,000\text{ cm}^2$, $1\text{ a} = 100\text{ m}^2$, $1\text{ ha} = 10\,000\text{ m}^2$. Przed liczeniem pola sprowadź wymiary do tej samej jednostki.

25.Średnia arytmetyczna

Suma wszystkich wartości podzielona przez ich liczbę. Oceny $4, 5, 3, 4$: $\frac{4 + 5 + 3 + 4}{4} = \frac{16}{4} = 4$. Średnia leży zawsze między najmniejszą a największą wartością.

26.Diagram kołowy

Całe koło to $100\%$, czyli $360^\circ$. Wycinek $25\%$ ma kąt $90^\circ$, wycinek $10\%$ - $36^\circ$. Kąt wycinka obliczysz jako $p\%$ z $360^\circ$.

27.Odczytywanie wykresu

Sprawdź, co jest na osiach, w jakich jednostkach i ile wynosi jedna kratka podziałki. Linia w górę oznacza wzrost, w dół - spadek, a linia pozioma - wartość stałą.

28.„O ile więcej” a „ile razy więcej”

„O ile więcej” to różnica: $60 - 20 = 40$. „Ile razy więcej” to iloraz: $60 : 20 = 3$. „O ile procent więcej” to różnica podzielona przez wartość, z którą porównujemy.

29.Szacowanie i sprawdzanie wyniku

Przed liczeniem oszacuj wynik, np. $19\%$ z $410$ to około $20\%$ z $400$, czyli około $80$. Wynik daleki od szacunku albo niemożliwy w treści zadania (np. ujemna liczba osób) oznacza błąd.