Proste dowody - podzielność i parzystość

1.Dowód matematyczny

Uzasadnienie, że zdanie jest prawdziwe dla wszystkich liczb, których dotyczy. W szkole zwykle zapisujemy liczby literami i przekształcamy wyrażenie, aż widać szukaną własność, np. czynnik 2 albo 3.

2.Przykład a dowód

Sprawdzenie kilku przypadków, np. $2 + 4 = 6$ i $6 + 8 = 14$, nie jest dowodem, bo liczb jest nieskończenie wiele i nie sprawdzimy wszystkich. Przykłady pomagają zrozumieć zadanie i skontrolować rachunek.

3.Kontrprzykład

Jeden przykład, dla którego zdanie jest fałszywe. Wystarczy, by obalić zdanie. Np. zdanie „każda liczba pierwsza jest nieparzysta” obala liczba 2.

4.Liczba parzysta $2n$

Każdą liczbę parzystą można zapisać jako $2n$, gdzie $n$ jest liczbą całkowitą. Np. $14 = 2 \cdot 7$, $0 = 2 \cdot 0$, $-6 = 2 \cdot (-3)$.

5.Liczba nieparzysta $2n + 1$

Każdą liczbę nieparzystą można zapisać jako $2n + 1$, gdzie $n$ jest liczbą całkowitą. Np. $15 = 2 \cdot 7 + 1$. Przy dzieleniu przez 2 daje resztę 1.

6.Kolejne liczby całkowite

$n$, $n + 1$, $n + 2$ i tak dalej. Każda następna jest o 1 większa od poprzedniej. Np. dla $n = 4$: 4, 5, 6.

7.Kolejne liczby parzyste i nieparzyste

Parzyste: $2n$, $2n + 2$, $2n + 4$. Nieparzyste: $2n + 1$, $2n + 3$, $2n + 5$. Sąsiednie liczby parzyste (i nieparzyste) różnią się o 2.

8.Różne litery dla różnych liczb

Dwie dowolne liczby parzyste zapisujemy jako $2n$ i $2m$. Zapis $2n$ i $2n$ oznacza dwa razy tę samą liczbę, więc dowód obejmowałby tylko ten szczególny przypadek.

9.Podzielność przez liczbę $k$

Liczba jest podzielna przez $k$, gdy da się ją zapisać jako $k \cdot c$, gdzie $c$ jest liczbą całkowitą. Np. $3(n + 1)$ dzieli się przez 3, bo $n + 1$ jest liczbą całkowitą.

10.Wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias

Zamiana sumy na iloczyn: $6n + 9 = 3(2n + 3)$, $10n + 15 = 5(2n + 3)$. To najważniejsze narzędzie w dowodach podzielności.

11.Suma dwóch liczb parzystych

$2n + 2m = 2(n + m)$, a $n + m$ jest liczbą całkowitą, więc suma jest parzysta. Np. $6 + 10 = 16$.

12.Suma dwóch liczb nieparzystych

$(2n + 1) + (2m + 1) = 2n + 2m + 2 = 2(n + m + 1)$, więc suma jest parzysta. Np. $3 + 5 = 8$.

13.Suma liczby parzystej i nieparzystej

$2n + (2m + 1) = 2(n + m) + 1$, więc suma jest nieparzysta. Np. $4 + 7 = 11$.

14.Iloczyn z czynnikiem parzystym

$2n \cdot m = 2(nm)$, więc iloczyn jest parzysty, gdy choć jeden czynnik jest parzysty. Np. $4 \cdot 7 = 28$.

15.Iloczyn dwóch liczb nieparzystych

$(2n + 1)(2m + 1) = 4nm + 2n + 2m + 1 = 2(2nm + n + m) + 1$, więc iloczyn jest nieparzysty. Np. $3 \cdot 5 = 15$.

16.Suma trzech kolejnych liczb całkowitych

$n + (n + 1) + (n + 2) = 3n + 3 = 3(n + 1)$. Dzieli się przez 3 i jest równa trzykrotności środkowej liczby, np. $4 + 5 + 6 = 15 = 3 \cdot 5$.

17.Suma dwóch kolejnych liczb całkowitych

$n + (n + 1) = 2n + 1$, więc jest zawsze nieparzysta. Np. $7 + 8 = 15$, $10 + 11 = 21$.

18.Iloczyn dwóch kolejnych liczb całkowitych

Jest zawsze parzysty, bo z dwóch kolejnych liczb jedna musi być parzysta. Dlatego np. $n^2 + n = n(n + 1)$ jest parzyste dla każdej liczby całkowitej $n$.

19.Suma trzech kolejnych liczb parzystych

$2n + (2n + 2) + (2n + 4) = 6n + 6 = 6(n + 1)$, więc dzieli się przez 6. Np. $2 + 4 + 6 = 12$, $8 + 10 + 12 = 30$.

20.Kwadrat liczby parzystej

$(2n)^2 = 2n \cdot 2n = 4n^2$, więc dzieli się przez 4. Np. $6^2 = 36 = 4 \cdot 9$. Częsty błąd to zapis $2n^2$, w którym do kwadratu podniesiono tylko $n$.

21.Liczba dwucyfrowa $10a + b$

Liczba o cyfrze dziesiątek $a$ i cyfrze jedności $b$, np. $47 = 10 \cdot 4 + 7$. Zapis $ab$ oznacza w algebrze iloczyn, a nie liczbę dwucyfrową.

22.Liczba i liczba o przestawionych cyfrach - suma

$(10a + b) + (10b + a) = 11a + 11b = 11(a + b)$, więc suma dzieli się przez 11. Np. $47 + 74 = 121 = 11 \cdot 11$.

23.Liczba i liczba o przestawionych cyfrach - różnica

$(10a + b) - (10b + a) = 9a - 9b = 9(a - b)$, więc różnica dzieli się przez 9. Np. $74 - 47 = 27 = 9 \cdot 3$.

24.Reszta z dzielenia w zapisie literowym

Liczba $3n + 1$ przy dzieleniu przez 3 daje resztę 1, a $3n + 2$ resztę 2 (zapis $a = b \cdot q + r$). Dlatego $3n + 1$ nigdy nie dzieli się przez 3.

25.Suma czterech kolejnych liczb całkowitych

$n + (n + 1) + (n + 2) + (n + 3) = 4n + 6 = 2(2n + 3)$, więc jest parzysta. Przez 4 się nie dzieli, bo $4n + 6 = 4(n + 1) + 2$ daje resztę 2. Np. $1 + 2 + 3 + 4 = 10$.

26.Schemat dowodu i wniosek

Oznacz liczby literami, zapisz wyrażenie, przekształć je (redukcja wyrazów podobnych, wyłączenie czynnika) i zapisz wniosek słowami, np. „Ponieważ $n + 1$ jest liczbą całkowitą, liczba $3(n + 1)$ jest podzielna przez 3”.