Przekątna kwadratu i wysokość trójkąta równobocznego

1.Twierdzenie Pitagorasa

W trójkącie prostokątnym suma kwadratów długości przyprostokątnych równa się kwadratowi długości przeciwprostokątnej: $a^2 + b^2 = c^2$. Z niego wyprowadzamy oba wzory tego tematu.

2.Przekątna kwadratu

Odcinek łączący dwa przeciwległe wierzchołki kwadratu. Dzieli kwadrat na dwa jednakowe trójkąty prostokątne równoramienne, w których przekątna jest przeciwprostokątną, a boki kwadratu przyprostokątnymi.

3.Wzór na przekątną kwadratu

$d = a\sqrt{2}$, gdzie $a$ to długość boku kwadratu. Przekątna jest około $1{,}41$ raza dłuższa od boku.

4.Skąd się bierze $d = a\sqrt{2}$

Z twierdzenia Pitagorasa: $d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$. Stąd $d = \sqrt{2a^2} = \sqrt{a^2} \cdot \sqrt{2} = a\sqrt{2}$.

5.Przekątna kwadratu - przykład

Kwadrat o boku 5 cm ma przekątną $5\sqrt{2}$ cm, czyli około $7{,}07$ cm. Kwadrat o boku $3\sqrt{2}$ ma przekątną $3\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 3 \cdot 2 = 6$.

6.Bok kwadratu z przekątnej z pierwiastkiem

Gdy przekątna ma postać $k\sqrt{2}$, bok ma długość $k$. Np. $d = 7\sqrt{2}$, więc $a\sqrt{2} = 7\sqrt{2}$ i $a = 7$.

7.Bok kwadratu z przekątnej bez pierwiastka

Korzystamy z $2a^2 = d^2$. Np. $d = 8$: $2a^2 = 64$, $a^2 = 32$, $a = \sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}$.

8.Pole kwadratu z przekątnej

Kwadrat jest rombem, więc jego pole to połowa iloczynu przekątnych: $P = \frac{d \cdot d}{2} = \frac{d^2}{2}$. Np. przekątna 6 cm daje pole $\frac{36}{2} = 18\ \text{cm}^2$.

9.Trójkąt równoboczny

Trójkąt, który ma trzy boki równej długości. Wszystkie jego kąty mają po $60^\circ$. Ma trzy osie symetrii. Taki kształt ma np. drogowy znak ostrzegawczy.

10.Wysokość trójkąta równobocznego

Odcinek poprowadzony z wierzchołka prostopadle do przeciwległego boku. W trójkącie równobocznym dzieli ten bok na dwie równe części i jest osią symetrii trójkąta.

11.Wzór na wysokość trójkąta równobocznego

$h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$, gdzie $a$ to długość boku. Wysokość jest około $0{,}87$ długości boku, czyli jest krótsza od boku.

12.Skąd się bierze $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Wysokość dzieli trójkąt na dwa trójkąty prostokątne o przeciwprostokątnej $a$ i przyprostokątnej $\frac{a}{2}$. Z twierdzenia Pitagorasa: $h^2 = a^2 - \frac{a^2}{4} = \frac{3a^2}{4}$, więc $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

13.Wysokość trójkąta równobocznego - przykład

Bok 6 cm: $h = \frac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$ cm, czyli około $5{,}2$ cm. Bok 10: $h = 5\sqrt{3}$.

14.Bok trójkąta równobocznego z wysokości

Gdy wysokość ma postać $k\sqrt{3}$, połowa boku to $k$, więc bok ma długość $2k$. Np. $h = 5\sqrt{3}$, więc $a = 10$. Gdy wysokość nie ma pierwiastka, np. $h = 6$: $\frac{3a^2}{4} = 36$, $a^2 = 48$, $a = 4\sqrt{3}$.

15.Pole trójkąta równobocznego

$P = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$. Np. bok 4: $P = \frac{16\sqrt{3}}{4} = 4\sqrt{3}$.

16.Trójkąt prostokątny równoramienny

Połowa kwadratu przeciętego przekątną. Ma kąty $45^\circ$, $45^\circ$, $90^\circ$ i dwie równe przyprostokątne $a$. Jego przeciwprostokątna ma długość $a\sqrt{2}$.

17.Trójkąt o kątach $30^\circ$, $60^\circ$, $90^\circ$

Połowa trójkąta równobocznego. Krótsza przyprostokątna (naprzeciw kąta $30^\circ$) jest połową przeciwprostokątnej, a dłuższa przyprostokątna jest $\sqrt{3}$ razy dłuższa od krótszej. Np. przeciwprostokątna 12: przyprostokątne 6 i $6\sqrt{3}$.

18.Mnożenie pierwiastków

$\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$. W szczególności $\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2$ i $\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3$. Np. $4\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 4 \cdot 2 = 8$.

19.Wyłączanie czynnika przed pierwiastek

Liczbę pod pierwiastkiem zapisujemy jako iloczyn kwadratu i innej liczby: $\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$, $\sqrt{18} = 3\sqrt{2}$, $\sqrt{50} = 5\sqrt{2}$, $\sqrt{48} = 4\sqrt{3}$.

20.Skracanie wyrażeń z pierwiastkiem

W wyrażeniu $\frac{k\sqrt{3}}{2}$ dzielimy przez 2 tylko liczbę przed pierwiastkiem: $\frac{8\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$, $\frac{12\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$. Liczba pod pierwiastkiem się nie zmienia.

21.Przybliżenia $\sqrt{2}$ i $\sqrt{3}$

$\sqrt{2} \approx 1{,}41$, $\sqrt{3} \approx 1{,}73$. Używamy ich, gdy potrzebny jest wynik w centymetrach, np. przekątna płytki o boku 30 cm to około $30 \cdot 1{,}41 = 42{,}3$ cm.

22.Sześciokąt foremny

Wielokąt o sześciu równych bokach i równych kątach. Składa się z sześciu trójkątów równobocznych o boku równym bokowi sześciokąta, więc jego pole to $6 \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$. Np. bok 2: pole $6\sqrt{3}$.

23.Romb złożony z dwóch trójkątów równobocznych

Romb o boku $a$ i kącie $60^\circ$. Krótsza przekątna ma długość $a$ (wspólny bok trójkątów), a dłuższa jest sumą dwóch wysokości: $2 \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = a\sqrt{3}$.

24.Częsty błąd we wzorach

Mylenie wzorów: przekątna kwadratu to $a\sqrt{2}$ bez dzielenia przez 2, a wysokość trójkąta równobocznego to $\frac{a\sqrt{3}}{2}$. Wynik $a\sqrt{3}$ jako wysokość jest za duży, bo wysokość musi być krótsza od boku.

25.Obwód z przekątnej lub wysokości

Najpierw wyznacz bok, potem obwód. Kwadrat o przekątnej $6\sqrt{2}$ ma bok 6 i obwód $4 \cdot 6 = 24$. Trójkąt równoboczny o wysokości $4\sqrt{3}$ ma bok 8 i obwód $3 \cdot 8 = 24$.