Długość i środek odcinka w układzie współrzędnych

1.Układ współrzędnych

Dwie prostopadłe osie liczbowe: pozioma oś x i pionowa oś y. Przecinają się w punkcie $O(0, 0)$, który nazywamy początkiem układu. Dzięki nim każdy punkt na płaszczyźnie opisujemy parą liczb.

2.Współrzędne punktu $A(x, y)$

Pierwsza liczba $x$ mówi, ile jednostek w prawo (dodatnia) lub w lewo (ujemna) od początku układu leży punkt. Druga liczba $y$ mówi, ile w górę (dodatnia) lub w dół (ujemna). Np. $A(3, -2)$: 3 w prawo i 2 w dół.

3.Punkt kratowy

Punkt, którego obie współrzędne są liczbami całkowitymi, np. $(2, -3)$. Na kartce w kratkę leży dokładnie na przecięciu linii kratki. Punkt $(1{,}5;\ 2)$ nie jest kratowy.

4.Ćwiartki układu współrzędnych

Osie dzielą płaszczyznę na cztery ćwiartki. I: $x > 0$, $y > 0$. II: $x < 0$, $y > 0$. III: $x < 0$, $y < 0$. IV: $x > 0$, $y < 0$. Numerujemy je przeciwnie do ruchu wskazówek zegara, zaczynając od prawej górnej.

5.Punkt na osi x i na osi y

Punkt leżący na osi x ma drugą współrzędną równą zero, np. $(5, 0)$. Punkt leżący na osi y ma pierwszą współrzędną równą zero, np. $(0, -4)$.

6.Długość odcinka poziomego

Końce mają tę samą współrzędną y. Długość to różnica współrzędnych x (większa minus mniejsza). Np. $A(-3, 2)$, $B(5, 2)$: $|AB| = 5 - (-3) = 8$.

7.Długość odcinka pionowego

Końce mają tę samą współrzędną x. Długość to różnica współrzędnych y (większa minus mniejsza). Np. $C(1, -6)$, $D(1, 3)$: $|CD| = 3 - (-6) = 9$.

8.Odejmowanie liczby ujemnej

Odjęcie liczby ujemnej to dodanie liczby przeciwnej: $5 - (-3) = 5 + 3 = 8$. To częsta pułapka przy liczeniu różnicy współrzędnych, gdy jeden koniec leży po drugiej stronie osi.

9.Długość odcinka ukośnego (metoda trójkąta)

Dorysuj trójkąt prostokątny o bokach wzdłuż linii kratki. Pozioma przyprostokątna to różnica współrzędnych x, pionowa to różnica współrzędnych y. Szukany odcinek jest przeciwprostokątną, więc liczysz go z twierdzenia Pitagorasa.

10.Twierdzenie Pitagorasa

W trójkącie prostokątnym suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej: $a^2 + b^2 = c^2$, gdzie $c$ leży naprzeciw kąta prostego.

11.Wzór na długość odcinka $AB$

$|AB| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$. To skrócony zapis metody trójkąta: różnice współrzędnych to przyprostokątne, a pierwiastek z sumy ich kwadratów to przeciwprostokątna.

12.Kolejność odejmowania przy długości

Nie ma znaczenia, czy liczysz $x_B - x_A$, czy $x_A - x_B$, bo różnica zostaje podniesiona do kwadratu, a kwadrat liczby ujemnej jest dodatni: $(-6)^2 = 6^2 = 36$.

13.Trójka pitagorejska 3, 4, 5

Trzy liczby spełniające $3^2 + 4^2 = 5^2$. Gdy różnice współrzędnych wynoszą 3 i 4, odcinek ma długość 5. Podobnie działają 6, 8, 10 oraz 5, 12, 13. Np. $A(1, 1)$, $B(4, 5)$: $|AB| = 5$.

14.Wyłączanie czynnika przed pierwiastek

Liczbę pod pierwiastkiem rozkładamy na iloczyn, w którym jeden czynnik jest kwadratem: $\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$, $\sqrt{20} = 2\sqrt{5}$, $\sqrt{50} = 5\sqrt{2}$. Tak zapisujemy długość w najprostszej postaci.

15.Odległość punktu od początku układu

Dla punktu $A(x, y)$ odległość od $O(0, 0)$ to $|OA| = \sqrt{x^2 + y^2}$. Np. $A(6, -8)$: $|OA| = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$.

16.Środek odcinka

Punkt $S$ leżący na odcinku $AB$, który jest jednakowo oddalony od obu końców: $|AS| = |SB|$. Dzieli odcinek na dwie równe części.

17.Wzór na środek odcinka

$S = \left(\frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}\right)$. Każda współrzędna środka jest średnią arytmetyczną odpowiednich współrzędnych końców. Np. $A(2, 4)$, $B(8, 10)$: $S = (5, 7)$.

18.Średnia arytmetyczna dwóch liczb

Suma dwóch liczb podzielona przez 2: $\frac{a + b}{2}$. Na osi liczbowej to liczba leżąca dokładnie w połowie drogi między $a$ i $b$. Np. średnia liczb $-4$ i $2$ to $-1$.

19.Środek odcinka z ujemnymi współrzędnymi

Liczymy tak samo, uważając na znaki. $A(-4, 3)$, $B(2, -5)$: $x_S = \frac{-4 + 2}{2} = -1$, $y_S = \frac{3 + (-5)}{2} = -1$, więc $S = (-1, -1)$.

20.Środek, który nie jest punktem kratowym

Gdy suma odpowiednich współrzędnych końców ($x_A + x_B$ albo $y_A + y_B$) jest nieparzysta, środek ma współrzędną z połówką. $A(1, 2)$, $B(4, 7)$: $S = (2{,}5;\ 4{,}5)$. Przy ułamkach dziesiętnych współrzędne oddzielamy średnikiem, żeby nie pomylić przecinków.

21.Brakujący koniec odcinka

Znamy koniec $A$ i środek $S$. Drugi koniec: $x_B = 2x_S - x_A$, $y_B = 2y_S - y_A$. Np. $A(1, 2)$, $S(4, 5)$: krok z A do S to 3 w prawo i 3 w górę, więc $B = (7, 8)$.

22.Obwód wielokąta w układzie współrzędnych

Obliczamy długość każdego boku (poziome i pionowe z różnicy współrzędnych, ukośne z twierdzenia Pitagorasa) i dodajemy. Np. trójkąt $A(0, 0)$, $B(4, 0)$, $C(4, 3)$ ma boki 4, 3, 5 i obwód 12.

23.Trójkąt równoramienny w układzie współrzędnych

Aby sprawdzić, czy trójkąt jest równoramienny, obliczamy długości wszystkich trzech boków i szukamy dwóch równych. Np. $A(1, 1)$, $B(5, 1)$, $C(3, 4)$: $|AC| = |BC| = \sqrt{13}$.

24.Punkty kratowe na odcinku

Z $A(0, 0)$ do $B(6, 4)$ idziemy 6 w prawo i 4 w górę. Te liczby mają wspólny dzielnik 2, więc można iść dwoma równymi krokami po 3 w prawo i 2 w górę. Na odcinku leży więc jeszcze punkt kratowy $(3, 2)$.

25.Sprawdzanie sensowności wyniku

Długość odcinka jest zawsze dodatnia. Odcinek ukośny jest dłuższy od każdej przyprostokątnej, ale krótszy od ich sumy. Środek odcinka leży między jego końcami, więc jego współrzędne są między współrzędnymi końców.