Wyrażenia algebraiczne: redukcja, mnożenie sum i wyłączanie czynnika

1.Wyrażenie algebraiczne

Zapis, w którym występują liczby, litery (zmienne), znaki działań i nawiasy, np. $2a + 3b$, $5(x - 1)$, $x^2 - 4x$.

2.Jednomian

Liczba, litera albo iloczyn liczb i liter, np. $7$, $x$, $-3ab$, $\frac{1}{2}x^2y$.

3.Współczynnik liczbowy

Liczba stojąca przed częścią literową uporządkowanego jednomianu. W $-5x^2y$ współczynnik to $-5$, w $x$ to $1$, a w $-a$ to $-1$.

4.Jednomian uporządkowany

Na początku jeden współczynnik liczbowy, potem litery w kolejności alfabetycznej, każda tylko raz (powtórzenia zapisujemy potęgą). $3a \cdot 2b \cdot a = 6a^2b$.

5.Suma algebraiczna

Suma jednomianów, np. $3x^2 - 2x + 5$. Jej wyrazy to $3x^2$, $-2x$ i $5$, zawsze razem ze znakiem stojącym przed nimi.

6.Wyrazy podobne

Jednomiany o identycznej części literowej, czyli o tych samych literach w tych samych potęgach, np. $4xy$ i $-7xy$ albo $2x^2$ i $5x^2$. Nie są podobne $3x$ i $3x^2$.

7.Redukcja wyrazów podobnych

Dodajemy lub odejmujemy współczynniki wyrazów podobnych, a część literową przepisujemy bez zmian: $5a + 3a - 2a = 6a$.

8.Wyrazy bez liter

Liczby bez liter są wyrazami podobnymi między sobą: $3x + 4 - x + 2 = 2x + 6$. Liczby nie łączymy z wyrazem zawierającym literę.

9.Znak należy do wyrazu

Znak stojący przed jednomianem jest jego częścią. W $7x - 3y - 2x$ wyrazy podobne to $7x$ i $-2x$, a ich suma to $5x$.

10.Nawias poprzedzony plusem

Opuszczamy nawias i przepisujemy wyrazy bez zmian: $2x + (3x - 5) = 2x + 3x - 5 = 5x - 5$.

11.Nawias poprzedzony minusem

Opuszczając nawias, zmieniamy znaki wszystkich wyrazów w nawiasie na przeciwne: $4a - (a - 3) = 4a - a + 3 = 3a + 3$.

12.Mnożenie liczby przez jednomian

Mnożymy liczbę przez współczynnik, a część literową przepisujemy: $-3 \cdot 4x = -12x$, $5 \cdot 2ab = 10ab$.

13.Mnożenie jednomianów

Mnożymy współczynniki przez siebie i części literowe przez siebie: $2x \cdot 3x = 6x^2$, $-4a \cdot 5b = -20ab$.

14.Zasady znaków przy mnożeniu

Iloczyn dwóch liczb o tych samych znakach jest dodatni, a o różnych znakach - ujemny: $-2 \cdot (-3x) = 6x$, $-2 \cdot 3x = -6x$.

15.Mnożenie sumy przez jednomian

Każdy wyraz sumy mnożymy przez jednomian (rozdzielność mnożenia): $3(2x - 5) = 6x - 15$, $-2a(a + 4) = -2a^2 - 8a$.

16.Mnożenie sumy przez sumę

Każdy wyraz pierwszej sumy mnożymy przez każdy wyraz drugiej, a potem redukujemy wyrazy podobne: $(x + 2)(x + 3) = x^2 + 3x + 2x + 6 = x^2 + 5x + 6$.

17.Mnożenie dwumianów z minusem

Pilnujemy znaku każdego wyrazu: $(a - 4)(a + 1) = a^2 + a - 4a - 4 = a^2 - 3a - 4$.

18.Sprawdzanie przez podstawienie

Podstawiamy tę samą liczbę do wyrażenia przed i po przekształceniu - wyniki muszą być równe. Dla $x = 1$: $(1 + 2)(1 + 3) = 12$ oraz $1 + 5 + 6 = 12$.

19.Wspólny czynnik

Liczba lub jednomian, przez który dzielą się wszystkie wyrazy sumy. W $6x + 9$ wspólnym czynnikiem jest $3$, a w $x^2 + 5x$ jest nim $x$.

20.Wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias

Zamiana sumy na iloczyn: wspólny czynnik piszemy przed nawiasem, a w nawiasie wyniki dzielenia każdego wyrazu przez ten czynnik: $6x + 9 = 3(2x + 3)$.

21.Wyłączanie litery

Jeśli każdy wyraz zawiera tę samą literę, też można ją wyłączyć: $x^2 + 5x = x(x + 5)$, $4ab - 6a = 2a(2b - 3)$.

22.Największy wspólny czynnik

Wyłączamy możliwie największy czynnik: NWD współczynników razy wspólne litery. $12x - 18 = 6(2x - 3)$, a nie tylko $2(6x - 9)$.

23.Jedynka w nawiasie

Gdy cały wyraz jest wspólnym czynnikiem, w nawiasie zostaje $1$, a nie $0$: $5a + 5 = 5(a + 1)$.

24.Obliczanie wartości wyrażenia

Najpierw upraszczamy, potem podstawiamy liczbę: $3x + 2 - x = 2x + 2$, a dla $x = 4$ mamy $2 \cdot 4 + 2 = 10$.

25.$x \cdot x$ a $x + x$

$x \cdot x = x^2$, a $x + x = 2x$. To różne wyrażenia: dla $x = 3$ mamy $x^2 = 9$, a $2x = 6$.

26.Wyrażenie z treści zadania

Obwód prostokąta o bokach $x$ i $x + 3$ to $2x + 2(x + 3) = 4x + 6$, a jego pole to $x(x + 3) = x^2 + 3x$.