Proporcjonalność prosta

1.Wielkości wprost proporcjonalne

Dwie wielkości, których odpowiadające sobie wartości mają stały iloraz. Ile razy wzrośnie jedna wielkość, tyle razy wzrośnie druga.

2.Współczynnik proporcjonalności

Stały iloraz $\frac{y}{x} = a$ odpowiadających sobie wartości. Przy zakupach jest to cena za sztukę, a przy jeździe ze stałą prędkością - prędkość.

3.Zapis proporcjonalności prostej

$y = a \cdot x$, gdzie $a$ to współczynnik proporcjonalności. Gdy bułka kosztuje $3$ zł, koszt $k$ za $n$ bułek to $k = 3 \cdot n$.

4.Sprawdzanie proporcjonalności w tabeli

Dzielimy każdą wartość drugiej wielkości przez odpowiadającą jej wartość pierwszej. Jeśli wszystkie ilorazy są równe, wielkości są wprost proporcjonalne: $\frac{8}{2} = \frac{12}{3} = \frac{20}{5} = 4$.

5.Ile razy więcej, tyle razy więcej

Gdy jedna wielkość wzrośnie 2, 3 czy 10 razy, druga wzrośnie tyle samo razy. Gdy jedna zmaleje 3 razy, druga też zmaleje 3 razy.

6.Zero odpowiada zeru

Przy proporcjonalności prostej, gdy jedna wielkość wynosi $0$, druga też wynosi $0$: za $0$ kg jabłek płacimy $0$ zł.

7.Metoda przez jedną jednostkę

Najpierw obliczamy wartość dla jednej sztuki lub jednostki, a potem mnożymy. $4$ kg kosztują $18$ zł, więc $1$ kg kosztuje $4{,}50$ zł, a $6$ kg - $27$ zł.

8.Stosunek

Iloraz dwóch liczb zapisany jako $a : b$ lub $\frac{a}{b}$. Stosunek można skracać jak ułamek: $6 : 4 = 3 : 2$.

9.Proporcja

Równość dwóch ilorazów: $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$, np. $\frac{2}{3} = \frac{8}{12}$.

10.Mnożenie na krzyż

W proporcji $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ zachodzi $a \cdot d = b \cdot c$. Dzięki temu obliczymy brakującą wartość: z $\frac{x}{6} = \frac{10}{4}$ mamy $4 \cdot x = 60$, więc $x = 15$.

11.Układanie proporcji

W obu ilorazach na górze piszemy tę samą wielkość (np. koszt), a na dole tę samą (np. liczbę kilogramów). Pomylenie kolejności daje błędny wynik.

12.Droga i czas

Przy stałej prędkości droga jest wprost proporcjonalna do czasu: $s = v \cdot t$. Rowerzysta jadący $15$ km/h w $2$ h pokona $30$ km, a w $3$ h - $45$ km.

13.Cena i ilość towaru

Przy stałej cenie za sztukę lub kilogram koszt zakupu jest wprost proporcjonalny do liczby sztuk lub kilogramów. Współczynnikiem jest cena jednostkowa.

14.Przepis kulinarny

Ilości składników są wprost proporcjonalne do liczby porcji: jeśli na $4$ porcje potrzeba $200$ g mąki, to na $6$ porcji potrzeba $300$ g.

15.Skala mapy

Odległość w terenie jest wprost proporcjonalna do odległości na mapie. W skali $1 : 50000$ odcinek $1$ cm oznacza $50000$ cm, czyli $500$ m, a $4$ cm - $2$ km.

16.Bok kwadratu a obwód i pole

Obwód kwadratu jest wprost proporcjonalny do boku: $L = 4a$. Pole kwadratu nie jest: gdy bok wydłużymy 2 razy, pole wzrośnie 4 razy.

17.Wielkości, które nie są wprost proporcjonalne

Na przykład wiek i wzrost człowieka, bok kwadratu i jego pole, koszt przejazdu z opłatą stałą i liczba kilometrów. Ich iloraz nie jest stały.

18.Opłata stała a proporcjonalność

Jeśli do kosztu doliczana jest stała opłata, np. $8$ zł za wejście i $5$ zł za godzinę, koszt nie jest wprost proporcjonalny do czasu: za $1$ h płacimy $13$ zł, a za $2$ h - $18$ zł, a nie $26$ zł.

19.Podział proporcjonalny

Podział wielkości w danym stosunku. Aby podzielić $50$ zł w stosunku $2 : 3$, dzielimy kwotę na $2 + 3 = 5$ części po $10$ zł: wychodzi $20$ zł i $30$ zł.

20.Proporcjonalność na wykresie

Pary wartości wielkości wprost proporcjonalnych zaznaczone w układzie współrzędnych leżą na jednej prostej przechodzącej przez punkt $(0, 0)$.

21.Zużycie paliwa

Przy stałym spalaniu ilość paliwa jest wprost proporcjonalna do przejechanej drogi: $6$ l na $100$ km oznacza $15$ l na $250$ km.

22.Iloraz, a nie różnica

Proporcjonalność sprawdzamy ilorazem. Pary $(2, 5)$ i $(4, 7)$ mają równe różnice, ale ilorazy $\frac{5}{2} = 2{,}5$ i $\frac{7}{4} = 1{,}75$ są różne, więc to nie jest proporcjonalność prosta.

23.Gdy jedna wielkość rośnie, a druga maleje

Takie wielkości nie są wprost proporcjonalne. Na przykład przy stałej długości trasy im większa prędkość, tym krótszy czas jazdy.

24.Sprawdzanie sensu wyniku

Wynik ma sens, jeśli większej wartości jednej wielkości odpowiada większa wartość drugiej, i to tyle samo razy większa. Więcej kilogramów musi kosztować więcej.