Liczby wymierne i niewymierne

1.Liczba wymierna

Liczba, którą można zapisać w postaci ilorazu $\frac{a}{b}$, gdzie $a$ i $b$ są liczbami całkowitymi, a $b$ jest różne od zera. Na przykład $\frac{3}{4}$, $-2$, $0{,}5$, $1\frac{2}{3}$.

2.Liczba niewymierna

Liczba, której nie da się zapisać jako ilorazu dwóch liczb całkowitych. Jej rozwinięcie dziesiętne jest nieskończone i nieokresowe, np. $\sqrt{2}$, $\pi$.

3.Rozwinięcie dziesiętne skończone

Rozwinięcie, które ma skończenie wiele cyfr po przecinku, np. $\frac{3}{8} = 0{,}375$. Liczba z takim rozwinięciem jest wymierna.

4.Rozwinięcie dziesiętne nieskończone okresowe

Rozwinięcie, w którym od pewnego miejsca bez końca powtarza się ta sama grupa cyfr, np. $\frac{1}{3} = 0{,}333\ldots = 0{,}(3)$. Liczba z takim rozwinięciem jest wymierna.

5.Okres rozwinięcia dziesiętnego

Grupa cyfr, która powtarza się bez końca; zapisujemy ją w nawiasie. $0{,}1666\ldots = 0{,}1(6)$, $0{,}181818\ldots = 0{,}(18)$.

6.Rozwinięcie dziesiętne nieskończone nieokresowe

Cyfry po przecinku nigdy się nie kończą i nie tworzą powtarzającego się okresu. Takie rozwinięcie mają liczby niewymierne, np. $\sqrt{2} = 1{,}41421\ldots$ lub $0{,}1010010001\ldots$.

7.Liczby całkowite są wymierne

Każdą liczbę całkowitą można zapisać jako ułamek o mianowniku 1: $-5 = \frac{-5}{1}$, $0 = \frac{0}{1}$, $12 = \frac{12}{1}$.

8.Kiedy ułamek ma rozwinięcie skończone

Gdy mianownik ułamka nieskracalnego rozkłada się tylko na czynniki 2 i 5. $\frac{7}{20} = 0{,}35$, bo $20 = 2 \cdot 2 \cdot 5$. W $\frac{1}{6}$ mianownik ma czynnik 3, więc rozwinięcie jest okresowe.

9.Zamiana ułamka zwykłego na dziesiętny

Dzielimy licznik przez mianownik: $\frac{5}{8} = 5 : 8 = 0{,}625$, $\frac{2}{3} = 2 : 3 = 0{,}666\ldots = 0{,}(6)$.

10.Pierwiastek z kwadratu liczby

Gdy pod pierwiastkiem kwadratowym jest kwadrat liczby wymiernej, wynik jest wymierny: $\sqrt{49} = 7$, $\sqrt{144} = 12$.

11.Pierwiastek z liczby, która nie jest kwadratem

Pierwiastek kwadratowy z liczby naturalnej, która nie jest kwadratem liczby naturalnej, jest niewymierny: $\sqrt{2}$, $\sqrt{5}$, $\sqrt{10}$.

12.Pierwiastek z ułamka

$\sqrt{\frac{9}{16}} = \frac{3}{4}$ i $\sqrt{0{,}25} = 0{,}5$ to liczby wymierne, bo pod pierwiastkiem stoi kwadrat liczby wymiernej.

13.Pierwiastek sześcienny a wymierność

$\sqrt[3]{27} = 3$ i $\sqrt[3]{0{,}008} = 0{,}2$ są wymierne, bo pod pierwiastkiem jest sześcian liczby wymiernej. $\sqrt[3]{2}$ i $\sqrt[3]{10}$ są niewymierne.

14.Liczba $\pi$

Stosunek długości okręgu do jego średnicy. Jest liczbą niewymierną: $\pi = 3{,}14159\ldots$. Jej przybliżenia $3{,}14$ i $\frac{22}{7}$ są liczbami wymiernymi.

15.Przybliżenie liczby niewymiernej

W obliczeniach liczbę niewymierną zastępujemy przybliżeniem: $\sqrt{2} \approx 1{,}41$, $\sqrt{3} \approx 1{,}73$, $\pi \approx 3{,}14$. Przybliżenie jest wymierne, a sama liczba - nie.

16.Szacowanie pierwiastka

Szukamy sąsiednich kwadratów liczb naturalnych: $4 < 7 < 9$, więc $2 < \sqrt{7} < 3$.

17.Liczba przeciwna do niewymiernej

Liczba przeciwna do liczby niewymiernej też jest niewymierna, np. $-\sqrt{3}$ i $-\pi$.

18.Suma liczby wymiernej i niewymiernej

Jest zawsze liczbą niewymierną, np. $2 + \sqrt{3}$, $1 - \sqrt{5}$. Liczby wymiernej nie dopisujemy pod pierwiastek: $2 + \sqrt{3}$ to nie $\sqrt{5}$.

19.Iloczyn liczb niewymiernych

Może być liczbą wymierną: $\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2$, $\sqrt{2} \cdot \sqrt{8} = \sqrt{16} = 4$. Dlatego rodzaj liczby oceniamy dopiero po obliczeniu.

20.Najpierw oblicz, potem oceniaj

Zanim stwierdzisz, że liczba jest niewymierna, wykonaj działania: $\frac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}} = \sqrt{9} = 3$, czyli liczba wymierna.

21.Ułamki ujemne i liczby mieszane

Są liczbami wymiernymi: $2\frac{1}{4} = \frac{9}{4}$, $-0{,}7 = -\frac{7}{10}$, $-\frac{3}{5}$.

22.Wyłączanie czynnika przed pierwiastek

$\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$. Iloczyn niezerowej liczby wymiernej i liczby niewymiernej jest niewymierny, więc $\sqrt{8}$ jest niewymierny.

23.Porównywanie liczb niewymiernych z wymiernymi

Korzystamy z przybliżeń lub kwadratów: $\sqrt{3} \approx 1{,}73$, więc $\sqrt{3} < 1{,}8$. Także $\pi > 3{,}14$, bo $\pi = 3{,}1415\ldots$.

24.Liczby niewymierne na osi liczbowej

Każda liczba niewymierna ma swoje miejsce na osi liczbowej. $\sqrt{2}$ leży między $1{,}4$ a $1{,}5$, bo $1{,}4 \cdot 1{,}4 = 1{,}96$, a $1{,}5 \cdot 1{,}5 = 2{,}25$.