Mnożenie i dzielenie ułamków dziesiętnych

1.Mnożenie przez 10, 100, 1000

Przecinek przesuwamy w prawo o tyle miejsc, ile zer ma liczba 10, 100 lub 1000. Przykład: $3{,}45 \cdot 10 = 34{,}5$, $3{,}45 \cdot 100 = 345$.

2.Dzielenie przez 10, 100, 1000

Przecinek przesuwamy w lewo o tyle miejsc, ile zer ma dzielnik. Przykład: $56{,}2 : 10 = 5{,}62$, $56{,}2 : 100 = 0{,}562$.

3.Dopisywanie zer przy przesuwaniu przecinka

Gdy przy przesuwaniu przecinka brakuje cyfr, dopisujemy zera. $2{,}4 \cdot 1000 = 2400$ (zera na końcu), $7 : 100 = 0{,}07$ (zera przed cyfrą).

4.Liczba naturalna razy 10, 100, 1000

Dopisujemy na końcu tyle zer, ile ma mnożnik: $45 \cdot 100 = 4500$. Liczba naturalna ma niewidoczny przecinek na końcu: $45 = 45{,}0$.

5.Liczba naturalna dzielona przez 10, 100, 1000

Gdy liczba ma na końcu co najmniej tyle zer, ile ma dzielnik, skreślamy tyle zer: $3200 : 100 = 32$. W innym przypadku przesuwamy przecinek w lewo o tyle miejsc, ile zer ma dzielnik: $345 : 100 = 3{,}45$, $3200 : 1000 = 3{,}2$.

6.Ułamek dziesiętny razy liczba naturalna

Mnożymy tak, jakby przecinka nie było, a w wyniku oddzielamy od prawej tyle cyfr, ile było po przecinku w ułamku. $1{,}25 \cdot 3$: $125 \cdot 3 = 375$, więc wynik to $3{,}75$.

7.Mnożenie dwóch ułamków dziesiętnych

Mnożymy liczby bez przecinków, a w wyniku oddzielamy tyle cyfr po przecinku, ile mają razem oba czynniki. $0{,}3 \cdot 0{,}2 = 0{,}06$, bo $1 + 1 = 2$ miejsca po przecinku.

8.Mnożenie pisemne ułamków dziesiętnych

Czynniki podpisujemy do prawej strony: ostatnia cyfra pod ostatnią cyfrą, a nie przecinek pod przecinkiem. Mnożymy jak liczby naturalne i dopiero na końcu stawiamy przecinek w wyniku.

9.Zera na końcu iloczynu

Najpierw stawiamy przecinek, a dopiero potem skreślamy zbędne zera na końcu części ułamkowej: $2{,}5 \cdot 0{,}4$, $25 \cdot 4 = 100$, więc wynik to $1{,}00 = 1$.

10.Mnożenie przez $0{,}1$ i $0{,}01$

Mnożenie przez $0{,}1$ daje ten sam wynik co dzielenie przez 10, a mnożenie przez $0{,}01$ - co dzielenie przez 100. $46 \cdot 0{,}1 = 4{,}6$, $46 \cdot 0{,}01 = 0{,}46$.

11.Ułamek dziesiętny dzielony przez liczbę naturalną

Dzielimy jak liczby naturalne, a przecinek w ilorazie stawiamy dokładnie nad przecinkiem dzielnej, czyli wtedy, gdy w dzielnej dojdziemy do przecinka. $8{,}4 : 4 = 2{,}1$.

12.Dopisywanie zer w dzielnej

Gdy dzielenie się nie kończy, do dzielnej dopisujemy zera po przecinku. Nie zmienia to jej wartości: $3 : 4 = 3{,}00 : 4 = 0{,}75$.

13.Zero w ilorazie

Gdy dzielna jest mniejsza od dzielnika, wynik zaczyna się od zera całości: $1{,}2 : 3 = 0{,}4$. Gdy w środku kolejna liczba nie dzieli się przez dzielnik, wpisujemy zero: $6{,}24 : 6 = 1{,}04$.

14.Dzielenie przez ułamek dziesiętny

Przesuwamy przecinek w prawo w dzielnej i w dzielniku o tyle samo miejsc, żeby dzielnik stał się liczbą naturalną. Iloraz się nie zmienia: $4{,}8 : 0{,}6 = 48 : 6 = 8$.

15.Dlaczego iloraz się nie zmienia

Gdy dzielną i dzielnik pomnożymy przez tę samą liczbę, np. przez 10 albo 100, iloraz zostaje taki sam: $12 : 4 = 120 : 40 = 3$. Dlatego wolno przesunąć przecinek w obu liczbach o tyle samo miejsc.

16.Dzielenie przez $0{,}1$ i $0{,}01$

Dzielenie przez $0{,}1$ daje ten sam wynik co mnożenie przez 10: $3{,}5 : 0{,}1 = 35$. Dzielenie przez $0{,}01$ - co mnożenie przez 100: $3{,}5 : 0{,}01 = 350$.

17.Mnożenie przez liczbę mniejszą od 1

Gdy liczbę dodatnią mnożymy przez ułamek mniejszy od 1, wynik jest mniejszy od tej liczby: $8 \cdot 0{,}5 = 4$.

18.Dzielenie przez liczbę mniejszą od 1

Gdy liczbę dodatnią dzielimy przez ułamek mniejszy od 1, wynik jest większy od dzielnej: $2 : 0{,}5 = 4$, bo w 2 mieszczą się cztery połówki.

19.Szacowanie wyniku

Przed liczeniem zaokrąglamy liczby, żeby wiedzieć, gdzie postawić przecinek. $4{,}9 \cdot 3{,}1$ to około $5 \cdot 3 = 15$, więc wynik $15{,}19$ jest sensowny, a $1{,}519$ nie.

20.Sprawdzanie dzielenia mnożeniem

Iloraz pomnożony przez dzielnik daje dzielną. Skoro $7{,}5 : 3 = 2{,}5$, to $2{,}5 \cdot 3 = 7{,}5$.

21.Zamiana jednostek a przecinek

Zamiana na mniejszą jednostkę to mnożenie (przecinek w prawo), na większą - dzielenie (przecinek w lewo). $2{,}5$ m to $250$ cm, a $750$ g to $0{,}75$ kg.

22.Ceny i ułamki dziesiętne

Cena za kilogram razy liczba kilogramów daje koszt: $3{,}20 \cdot 2{,}5 = 8$ zł. Kwota podzielona przez liczbę sztuk daje cenę jednej sztuki: $12{,}60 : 3 = 4{,}20$ zł.

23.Kolejność działań

Najpierw działania w nawiasach, potem mnożenie i dzielenie (od lewej do prawej), na końcu dodawanie i odejmowanie: $1{,}5 + 0{,}5 \cdot 4 = 1{,}5 + 2 = 3{,}5$.

24.Wartość cyfry zależy od jej miejsca

Przy mnożeniu przez 10 każda cyfra przechodzi o jedno miejsce w lewo i jej wartość rośnie 10 razy. W $0{,}7 \cdot 10 = 7$ cyfra 7 przechodzi z miejsca dziesiątych na miejsce jedności.