Wyrażenia z ułamkami i liczbami ujemnymi

Wyrażenie arytmetyczne to zapis liczb i działań, który trzeba obliczyć. Mogą w nim występować liczby naturalne, ułamki zwykłe, ułamki dziesiętne oraz liczby ujemne.

Liczby ujemne spotykamy na przykład przy temperaturze, wysokości poniżej poziomu morza lub długu. Liczba $-4$ oznacza wartość mniejszą od zera, a jej liczba przeciwna to $4$.

W dłuższym wyrażeniu nie liczymy działań przypadkowo. Obowiązuje kolejność działań:

• najpierw działania w nawiasach,
• potem potęgi, jeśli występują,
• następnie mnożenie i dzielenie od lewej do prawej,
• na końcu dodawanie i odejmowanie od lewej do prawej.

W wyrażeniu $2 + 3 \cdot (-4)$ najpierw liczymy iloczyn $3 \cdot (-4)$, a dopiero później dodajemy $2$. Nawias może całkowicie zmienić wynik, dlatego nie wolno go pomijać.

Przy dodawaniu liczb o tych samych znakach dodajemy ich wartości bezwzględne i zachowujemy wspólny znak. Dlatego $(-4) + (-3) = -7$.

Gdy liczby mają różne znaki, odejmujemy mniejszą wartość bezwzględną od większej. Wynik otrzymuje znak liczby o większej wartości bezwzględnej. Na przykład $(-9) + 5 = -4$.

Odejmowanie liczby ujemnej zamieniamy na dodawanie: $7 - (-3) = 7 + 3$. Dwa znaki obok siebie nie oznaczają jednak automatycznie, że można je pominąć - trzeba pamiętać, że jest to odejmowanie liczby ujemnej.

Przy mnożeniu i dzieleniu najpierw ustalamy znak wyniku, a potem liczymy wartości bez znaków.

• takie same znaki dają wynik dodatni,
• różne znaki dają wynik ujemny.

Na przykład $(-6) : (-2) = 3$, ponieważ oba znaki są ujemne. Natomiast $(-6) : 2 = -3$, bo znaki są różne.

Ta zasada działa także dla ułamków. Iloczyn $\left(-\frac{2}{3}\right) \cdot \frac{3}{5}$ jest ujemny, ponieważ jeden czynnik jest ujemny.

Aby dodawać lub odejmować ułamki zwykłe, potrzebujemy wspólnego mianownika. Dla ułamków o tym samym mianowniku dodajemy lub odejmujemy tylko liczniki. Na przykład $\frac{2}{7} + \frac{3}{7} = \frac{5}{7}$.

Przy mnożeniu mnożymy licznik przez licznik oraz mianownik przez mianownik. Wynik warto skrócić. Przy dzieleniu przez ułamek mnożymy przez jego odwrotność. Odwrotnością $\frac{2}{5}$ jest $\frac{5}{2}$.

Ułamek ujemny można zapisać ze znakiem minus przed całym ułamkiem, np. $-\frac{3}{4}$. W rachunkach wygodnie traktować ten znak tak samo jak znak przy liczbie całkowitej.

Długie wyrażenie rozwiązuj etapami. Zapisuj wyniki pośrednie, szczególnie gdy występują nawiasy i ułamki. Dzięki temu łatwiej zauważysz błąd.

Dla wyrażenia $\left[(-6) + 10\right] : 2$ najpierw obliczamy nawias. Dostajemy $4$, a potem dzielimy przez $2$. Wynik końcowy to $2$.

Na końcu warto wykonać sprawdzenie sensowności. Jeśli mnożysz liczbę dodatnią przez ujemną, wynik musi być ujemny. Jeśli odejmujesz liczbę ujemną, wynik powinien być większy niż liczba, od której odejmujesz.