Skracanie, rozszerzanie i wspólny mianownik

Ułamek zwykły opisuje część całości podzielonej na równe części. W zapisie $\frac{3}{4}$ liczba $3$ jest licznikiem, a liczba $4$ jest mianownikiem.

Mianownik mówi, na ile równych części podzielono całość. Licznik wskazuje, ile takich części bierzemy. Jeśli pizzę podzielono na $4$ równe kawałki i zjedzono $3$, zjedzono $\frac{3}{4}$ pizzy.

Ten sam fragment całości można zapisać na różne sposoby. Na przykład połowa czekolady to $\frac{1}{2}$, ale gdy każdą połowę podzielimy jeszcze na $2$ równe części, będzie to $\frac{2}{4}$. Są to ułamki równe.

Aby otrzymać ułamek równy danemu, można jednocześnie pomnożyć licznik i mianownik przez tę samą liczbę. Wartość ułamka wtedy się nie zmienia.

• $\frac{1}{3}=\frac{2}{6}$, ponieważ licznik i mianownik pomnożono przez $2$.
• $\frac{2}{5}=\frac{6}{15}$, ponieważ licznik i mianownik pomnożono przez $3$.

Rozszerzanie ułamka polega na mnożeniu licznika i mianownika przez tę samą liczbę. Robimy to często po to, aby uzyskać potrzebny mianownik.

Jeśli chcemy rozszerzyć $\frac{3}{4}$ przez $5$, wykonujemy dwa mnożenia: $3\cdot5=15$ oraz $4\cdot5=20$. Otrzymujemy więc $\frac{3}{4}=\frac{15}{20}$.

Przydatne jest pytanie: „Przez ile trzeba pomnożyć stary mianownik, aby dostać nowy?”. Gdy chcemy zamienić mianownik $3$ na $12$, mnożymy przez $4$. Tę samą liczbę trzeba pomnożyć przez licznik.

Skracanie ułamka jest działaniem odwrotnym do rozszerzania. Dzielimy licznik i mianownik przez tę samą liczbę większą od $1$. Wybrana liczba musi dzielić obie liczby bez reszty.

Na przykład w ułamku $\frac{12}{18}$ liczby $12$ i $18$ dzielą się przez $6$. Po podzieleniu otrzymujemy $\frac{12}{18}=\frac{2}{3}$.

Ułamek, którego nie da się już skrócić, to ułamek nieskracalny. Na przykład $\frac{3}{7}$ jest nieskracalny, bo liczby $3$ i $7$ nie mają wspólnego dzielnika większego od $1$.

• $\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$ po skróceniu przez $4$.
• $\frac{21}{28}=\frac{3}{4}$ po skróceniu przez $7$.

Skracanie warto wykonywać, gdy chcemy zapisać wynik w najprostszej postaci.

Czasem dwa ułamki mają różne mianowniki, np. $\frac{1}{2}$ i $\frac{2}{3}$. Aby łatwo je porównać lub później dodać, sprowadzamy je do wspólnego mianownika. Jest to taka sama liczba w mianowniku obu ułamków.

Dla mianowników $2$ i $3$ wygodnym wspólnym mianownikiem jest $6$. Rozszerzamy $\frac{1}{2}$ przez $3$, a $\frac{2}{3}$ przez $2$. Dostajemy $\frac{3}{6}$ i $\frac{4}{6}$.

Gdy ułamki mają już ten sam mianownik, porównujemy ich liczniki. Ponieważ $4$ jest większe od $3$, mamy $\frac{4}{6}>\frac{3}{6}$, czyli $\frac{2}{3}>\frac{1}{2}$.