Cechy podzielności liczb

Cechy podzielności to krótkie zasady, które pomagają szybko sprawdzić, czy liczba dzieli się przez inną liczbę bez wykonywania całego dzielenia. Dzięki nim można łatwiej rozwiązywać zadania, skracać ułamki i sprawdzać wyniki.

Najczęściej patrzymy na ostatnią cyfrę, dwie ostatnie cyfry albo na sumę cyfr liczby. To bardzo wygodne, bo nawet dla dużych liczb nie trzeba liczyć wszystkiego od początku.

W klasach $4$-$6$ trzeba dobrze znać cechy podzielności przez $2$, $3$, $4$, $5$, $9$, $10$ i $100$. Warto też umieć porównać te zasady i nie mylić ich ze sobą.

Te cechy są najłatwiejsze, bo patrzymy głównie na koniec liczby.

Liczba jest podzielna przez $2$, gdy jej ostatnia cyfra to $0$, $2$, $4$, $6$ albo $8$. Są to cyfry parzyste. Na przykład liczby $18$, $246$ i $930$ dzielą się przez $2$.

Liczba jest podzielna przez $5$, gdy kończy się cyfrą $0$ albo $5$. Dlatego $40$, $75$ i $120$ dzielą się przez $5$.

Liczba jest podzielna przez $10$, gdy jej ostatnia cyfra to $0$. Przykłady: $30$, $240$, $1510$.

Liczba jest podzielna przez $100$, gdy kończy się dwiema cyframi $00$. Przykłady: $500$, $1200$, $34000$.

Widzimy więc ważną zależność: jeśli liczba dzieli się przez $100$, to na pewno dzieli się też przez $10$. A jeśli dzieli się przez $10$, to dzieli się także przez $2$ i przez $5$.

Przy tych liczbach nie patrzymy na koniec, tylko na sumę cyfr.

Liczba jest podzielna przez $3$, gdy suma jej cyfr dzieli się przez $3$. Na przykład dla liczby $123$ liczymy: $1+2+3=6$. Ponieważ $6$ dzieli się przez $3$, to liczba $123$ też dzieli się przez $3$.

Liczba jest podzielna przez $9$, gdy suma jej cyfr dzieli się przez $9$. Na przykład dla liczby $729$ mamy $7+2+9=18$. Liczba $18$ dzieli się przez $9$, więc $729$ także dzieli się przez $9$.

Trzeba uważać, bo te dwie cechy są podobne, ale nie takie same. Jeśli suma cyfr dzieli się przez $9$, to liczba dzieli się też przez $3$. Ale odwrotnie nie zawsze. Na przykład suma cyfr liczby $12$ to $1+2=3$, więc $12$ dzieli się przez $3$, ale nie przez $9$.

Cechę podzielności przez $4$ sprawdzamy inaczej niż przy $2$ albo $3$. Patrzymy na dwie ostatnie cyfry liczby.

Liczba dzieli się przez $4$, gdy liczba utworzona z dwóch ostatnich cyfr dzieli się przez $4$. Na przykład:

• $316$ dzieli się przez $4$, bo $16$ dzieli się przez $4$.
• $712$ dzieli się przez $4$, bo $12$ dzieli się przez $4$.
• $905$ nie dzieli się przez $4$, bo $05$, czyli $5$, nie dzieli się przez $4$.

Ta zasada działa także dla dużych liczb. Nie trzeba sprawdzać całej liczby, tylko jej końcówkę. Dla liczby $123456$ wystarczy sprawdzić $56$.

Częsty błąd polega na dodawaniu cyfr, jak przy podzielności przez $3$ i $9$. Dla $4$ tego nie robimy.

Najlepiej zapamiętać, na co patrzymy przy każdej liczbie:

• przez $2$: na ostatnią cyfrę,
• przez $5$: na ostatnią cyfrę,
• przez $10$: na ostatnią cyfrę,
• przez $100$: na dwie ostatnie cyfry,
• przez $4$: na dwie ostatnie cyfry,
• przez $3$: na sumę cyfr,
• przez $9$: na sumę cyfr.

Dobrze jest też zauważyć podobieństwa. Liczby $3$ i $9$ mają wspólny sposób sprawdzania. Liczby $10$ i $100$ wiążą się z zerami na końcu. Liczby $2$ i $5$ sprawdzamy po ostatniej cyfrze.

Gdy rozwiązujesz zadanie, rób to spokojnie krok po kroku. Najpierw ustal, którą cechę masz sprawdzić. Potem zastosuj właściwą zasadę. Na końcu upewnij się, że nie użyłeś cechy innej liczby.

Jeśli masz sprawdzić liczbę $5400$, możesz od razu zauważyć kilka rzeczy. Kończy się cyfrą $0$, więc dzieli się przez $10$. Kończy się cyframi $00$, więc dzieli się przez $100$. Ostatnia cyfra jest parzysta, więc dzieli się też przez $2$. Kończy się na $0$, więc dzieli się przez $5$. Dwie ostatnie cyfry to $00$, a to liczba podzielna przez $4$. Suma cyfr to $5+4+0+0=9$, więc dzieli się także przez $3$ i przez $9$.

W zadaniach często trzeba wskazać wszystkie liczby spełniające dany warunek. Wtedy najlepiej szybko sprawdzać tylko to, co potrzebne. Dla podzielności przez $4$ nie licz całej sumy cyfr, tylko od razu spójrz na końcówkę.