Liczby pierwsze, złożone i rozkład na czynniki

Liczby pierwsze i liczby złożone to liczby naturalne większe od $1$, ale należą do dwóch różnych grup. Żeby rozpoznać, do której grupy należy liczba, sprawdzamy jej dzielniki.

Liczba pierwsza ma dokładnie dwa dzielniki: $1$ oraz samą siebie. Przykłady to $2$, $3$, $5$, $7$, $11$.

Liczba złożona ma więcej niż dwa dzielniki. Da się ją zapisać jako iloczyn mniejszych liczb naturalnych większych od $1$. Na przykład $12$ jest złożona, bo $12=3\cdot4$.

Warto też pamiętać o liczbie $2$. Jest to najmniejsza liczba pierwsza i jedyna parzysta liczba pierwsza.

Dzielnik to taka liczba, przez którą można podzielić inną liczbę bez reszty. Jeśli chcemy sprawdzić, czy liczba jest pierwsza czy złożona, zaczynamy właśnie od szukania dzielników.

Przykład: dzielnikami liczby $6$ są $1$, $2$, $3$ i $6$. Ponieważ są ich więcej niż dwa, liczba $6$ jest złożona.

Dzielnikami liczby $7$ są tylko $1$ i $7$, więc $7$ jest pierwsza.

Przy małych liczbach dobrze działa zwykłe sprawdzanie, przez jakie liczby da się podzielić daną liczbę bez reszty.

Rozkład na czynniki pierwsze polega na zapisaniu liczby złożonej jako iloczynu samych liczb pierwszych. Każda liczba złożona może być tak rozłożona.

Przykład dla liczby $18$:

• najpierw można zapisać $18=2\cdot9$
• potem rozkładamy dalej liczbę $9$, bo nie jest pierwsza
• $9=3\cdot3$
• więc ostatecznie $18=2\cdot3\cdot3$

Ważne jest, by nie kończyć za wcześnie. Zapis $18=2\cdot9$ nie jest jeszcze pełnym rozkładem na czynniki pierwsze, bo $9$ nie jest liczbą pierwszą.

Można też rozkładać liczbę etapami, dzieląc ją po kolei przez liczby pierwsze, na przykład przez $2$, potem znów przez $2$, potem przez $3$.

Spójrz na kilka typowych przykładów:

• $10=2\cdot5$
• $12=2\cdot2\cdot3$
• $15=3\cdot5$
• $20=2\cdot2\cdot5$
• $24=2\cdot2\cdot2\cdot3$

W każdym z tych zapisów wszystkie czynniki są pierwsze. Dzięki temu wiemy, że rozkład jest pełny.

Czasem ta sama liczba może być na początku rozłożona na różne sposoby. Na przykład $12$ można zacząć od $3\cdot4$ albo od $2\cdot6$. Ostatecznie i tak dojdziemy do tego samego pełnego rozkładu: $12=2\cdot2\cdot3$.

To bardzo przydatne w późniejszych zadaniach, na przykład przy szukaniu wspólnych dzielników lub wielokrotności.

Liczby względnie pierwsze to dwie liczby, które mają tylko jeden wspólny dzielnik: $1$. Nie oznacza to, że obie muszą być liczbami pierwszymi.

Na przykład liczby $8$ i $15$ są względnie pierwsze. Dzielniki liczby $8$ to $1$, $2$, $4$, $8$, a dzielniki liczby $15$ to $1$, $3$, $5$, $15$. Wspólny jest tylko $1$.

Z kolei liczby $8$ i $12$ nie są względnie pierwsze, bo mają wspólne dzielniki większe od $1$, na przykład $2$ i $4$.

To pojęcie pomaga porównywać liczby i sprawdzać, co mają wspólnego.

Przy zadaniach o liczbach pierwszych i złożonych uczniowie często mylą kilka rzeczy.

• Nie wolno uznać liczby $1$ za pierwszą.
• Nie każda liczba nieparzysta jest pierwsza, bo na przykład $9$ i $15$ są nieparzyste, ale złożone.
• Zapis $1\cdot12$ nie jest rozkładem liczby $12$ na czynniki pierwsze.
• Jeśli w zapisie pojawia się liczba złożona, na przykład $4$, $6$ albo $9$, to trzeba rozkładać dalej.

Najlepszy sposób to działać spokojnie: sprawdź dzielniki, zobacz, czy liczba jest pierwsza czy złożona, a potem rozkładaj ją tak długo, aż zostaną same liczby pierwsze.

Jeśli po rozłożeniu pomnożysz wszystkie czynniki i znowu otrzymasz liczbę początkową, to znak, że wynik jest poprawny.