Podwyżki i obniżki procentowe

Procent to setna część całości. Gdy mówimy o zmianie ceny o $10\%$, $20\%$ czy $50\%$, zawsze odnosimy się do jakiejś wartości początkowej. W zadaniach praktycznych najczęściej chodzi o cenę towaru, pensję, długość, masę albo liczbę osób.

Jeśli coś kosztuje $100$ zł, to $1\%$ tej ceny to $1$ zł, $10\%$ to $10$ zł, a $25\%$ to $25$ zł. Dzięki temu łatwiej zrozumieć, o ile rośnie albo maleje dana wartość.

Ważne jest rozróżnienie dwóch rzeczy: można liczyć ile wynosi procent danej liczby albo o jaki procent liczba się zmieniła. To nie jest to samo.

Podwyżka oznacza wzrost wartości. Gdy cena rośnie o $p\%$, najpierw obliczamy, ile wynosi $p\%$ ceny początkowej, a potem tę kwotę dodajemy.

Można też działać szybciej. Po podwyżce o $p\%$ zostaje $100\% + p\%$, czyli nowa cena to odpowiedni ułamek ceny początkowej. Na przykład po podwyżce o $15\%$ płacimy $115\%$ ceny, czyli mnożymy przez $1{,}15$.

Przykład: cena butów wynosi $200$ zł. Podwyżka o $10\%$ to $20$ zł, więc nowa cena wynosi $220$ zł. Tak samo można policzyć przez mnożenie: $200 \cdot 1{,}1 = 220$.

• podwyżka o $5\%$ oznacza mnożenie przez $1{,}05$
• podwyżka o $20\%$ oznacza mnożenie przez $1{,}2$
• podwyżka o $50\%$ oznacza mnożenie przez $1{,}5$

Obniżka oznacza spadek wartości. Gdy cena maleje o $p\%$, najpierw obliczamy wartość tej obniżki, a potem odejmujemy ją od ceny początkowej.

Można też od razu policzyć nową cenę. Po obniżce o $p\%$ zostaje $100\% - p\%$ ceny początkowej. Na przykład obniżka o $30\%$ oznacza, że zostaje $70\%$ ceny, więc mnożymy przez $0{,}7$.

Przykład: plecak kosztował $150$ zł i został przeceniony o $20\%$. Obniżka wynosi $30$ zł, więc nowa cena to $120$ zł. Można też policzyć: $150 \cdot 0{,}8 = 120$.

Czasem znamy starą i nową wartość i trzeba policzyć procent zmiany. Najpierw obliczamy, o ile dana wielkość wzrosła albo zmalała. Potem porównujemy tę zmianę z wartością początkową.

Przykład: cena wzrosła z $50$ zł do $60$ zł. Zmiana wynosi $10$ zł. Teraz liczymy, jaką częścią liczby $50$ jest $10$: $\frac{10}{50} = 0{,}2 = 20\%$. Cena wzrosła więc o $20\%$.

Jeśli cena spadła z $80$ zł do $60$ zł, to spadek wyniósł $20$ zł. Liczymy $\frac{20}{80} = 0{,}25 = 25\%$. Obniżka wyniosła $25\%$.

W niektórych zadaniach wiadomo, ile wynosi pewna część liczby, na przykład $15\%$ ceny albo $40\%$ pensji. Wtedy można znaleźć całość.

Jeśli $20\%$ pewnej kwoty to $50$ zł, to całość obliczamy tak: $50 : 0{,}2 = 250$ zł. Dzielimy znaną część przez procent zapisany jako liczbę dziesiętną.

Podobnie można sprawdzać, jakim procentem jednej liczby jest druga. Jeśli ktoś miał zapłacić $200$ zł, a zapłacił $150$ zł, to zapłacił $\frac{150}{200} = 0{,}75 = 75\%$ całej kwoty.

• gdy znasz procent i jego wartość, szukasz całości
• gdy porównujesz dwie liczby, dzielisz część przez całość
• wynik procentowy warto na końcu zapisać ze znakiem $\%$

W zadaniach praktycznych często pojawiają się dwie podwyżki albo dwie obniżki. Trzeba wtedy liczyć krok po kroku, bo każda kolejna zmiana odnosi się do nowej wartości.

Jeśli cena $100$ zł wzrośnie o $20\%$, otrzymamy $120$ zł. Gdy potem spadnie o $20\%$, to obniżkę liczymy od $120$ zł, więc nowa cena wyniesie $96$ zł. To pokazuje, że podwyżka i obniżka o ten sam procent zwykle nie „znoszą się”.

Podobnie przy dwóch obniżkach: cena $200$ zł po obniżce o $10\%$ wynosi $180$ zł, a po kolejnej obniżce o $10\%$ wynosi $162$ zł, a nie $160$ zł.