Praktyczne zastosowania ciągów

Ciągi są użyteczne wtedy, gdy opisujemy zmiany pewnej wielkości w kolejnych etapach: miesiącach, latach, rzędach, ratach, stopniach schodów czy kolejnych pomiarach. W liceum szczególnie ważne są ciąg arytmetyczny i ciąg geometryczny, bo pozwalają modelować wiele praktycznych sytuacji bez skomplikowanych narzędzi.

Jeżeli wielkość zmienia się co krok o tę samą liczbę, mamy zwykle model liniowy i wtedy stosujemy ciąg arytmetyczny. Jeżeli natomiast wielkość w każdym kroku jest mnożona przez ten sam czynnik, zwykle mamy model wykładniczy i stosujemy ciąg geometryczny.

W zadaniach maturalnych najważniejsze jest nie tylko podstawienie do wzoru, ale najpierw rozpoznanie, z jakim typem zmiany mamy do czynienia.

Ciąg arytmetyczny to taki ciąg, w którym każdy kolejny wyraz różni się od poprzedniego o stałą wartość. Tę stałą nazywamy różnicą i oznaczamy najczęściej przez $r$. Wzór ogólny ma postać $a_n=a_1+(n-1)r$.

W zastosowaniach praktycznych taki ciąg pojawia się wtedy, gdy:

• wysokość, długość lub liczba zwiększa się o stałą wartość,
• opłata rośnie co rok o tę samą kwotę,
• wpłaty są co miesiąc większe o stałą sumę,
• kolejne elementy konstrukcji mają rozmiar zwiększany regularnie o ten sam dodatek.

Bardzo ważny jest też wzór na sumę początkowych wyrazów: $S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$. Używamy go, gdy chcemy policzyć łączną wartość wielu kolejnych elementów, na przykład całkowitą kwotę wpłat albo łączną długość odcinków.

Ciąg geometryczny powstaje wtedy, gdy każdy kolejny wyraz otrzymujemy przez pomnożenie poprzedniego przez stałą liczbę. Ta stała to iloraz $q$, a wzór ogólny ma postać $a_n=a_1\cdot q^{n-1}$.

To najważniejszy model dla zjawisk procentowych. Jeśli jakaś wielkość rośnie o stały procent, to jej kolejne wartości nie zwiększają się o tę samą liczbę, lecz za każdym razem są mnożone przez ten sam czynnik. Przy wzroście o $p\%$ mamy $q=1+\frac{p}{100}$, a przy spadku o $p\%$ mamy $q=1-\frac{p}{100}$.

Typowe zastosowania:

• oprocentowanie lokat i oszczędności,
• spadek wartości samochodu lub sprzętu,
• rozrost populacji lub liczby bakterii,
• kolejne wpłaty lub dawki, gdy każda jest wielokrotnością poprzedniej.

Jeśli trzeba obliczyć łączną sumę takich wyrazów, korzystamy ze wzoru $S_n=a_1\cdot \frac{1-q^n}{1-q}$ dla $q\neq 1$.

W praktyce największy problem nie polega na liczeniu, ale na poprawnym odczytaniu treści zadania. Trzeba zwracać uwagę na słowa kluczowe.

Na ciąg arytmetyczny wskazują sformułowania:

• „więcej o $20$ zł”,
• „mniej o $3$ cm”,
• „rośnie co rok o stałą kwotę”,
• „każdy następny element jest dłuższy o tyle samo”.

Na ciąg geometryczny wskazują sformułowania:

• „wzrost o $8\%$”,
• „spadek o $12\%$”,
• „każda następna rata jest $2$ razy większa”,
• „liczba podwaja się”, „maleje do $90\%$ poprzedniej wartości”.

Częstym błędem jest traktowanie procentowego wzrostu jak dodawania stałej liczby. Tymczasem procent odnosi się do aktualnej wartości, więc zmiana ma charakter mnożenia, a nie dodawania.

W zadaniach szkolnych i maturalnych spotyka się kilka powtarzających się schematów. Pierwszy to wyznaczanie konkretnego wyrazu, np. wartości po kilku latach, wysokości $n$-tego stopnia lub $n$-tej wpłaty. Wtedy zwykle korzystamy z wzoru ogólnego ciągu.

Drugi schemat to obliczanie łącznej wartości wielu kolejnych elementów. W takich zadaniach potrzebna jest suma wyrazów, np. wszystkich wpłat, całego kosztu lub całkowitej długości.

Trzeci typ polega na ułożeniu modelu z opisu słownego. Trzeba wtedy ustalić:

• co jest pierwszym wyrazem $a_1$,
• czym jest numer $n$,
• jaka jest różnica $r$ lub iloraz $q$,
• czy pytanie dotyczy jednego wyrazu, czy sumy wielu wyrazów.

Warto też sprawdzać sens wyniku. Jeśli cena maleje, a obliczenia dają wzrost, to model został źle dobrany albo źle odczytano procent.

Najczęstszy błąd to pomylenie zmiany o stałą wartość ze zmianą o stały procent. Drugi częsty problem to błędne liczenie numeru wyrazu: jeśli stan początkowy jest pierwszym wyrazem, to po kilku etapach wykładnik lub liczba dodanych różnic nie zawsze są równe liczbie etapów, lecz zwykle o $1$ mniejsze.

Warto pamiętać o kilku zasadach:

• najpierw wypisz kilka początkowych wyrazów z treści zadania,
• sprawdź, czy stała jest różnica, czy iloraz,
• dopiero potem wybierz wzór,
• przy zadaniach procentowych zamieniaj procent na czynnik mnożenia.

Dobrą metodą kontroli jest zapisanie dwóch lub trzech pierwszych etapów ręcznie. Jeśli z treści wynika ciąg $100$, $110$, $121$, ... to widać, że mamy mnożenie przez $1{,}1$, a nie dodawanie $10$.